LES RELATIONS SPATIALES

Nature des Relations spatiales

Nous avons défini l^Espace, indépendamment de toute représentation sensible et de toute subjectivité mentale, comme étant V universel deS' conditions de coexistence d^une pluralité d^individus et d^exclusion d'une pluralité de formes en un même individu. Toutes les relations spatiales doivent découler de ce double caractère, dont la résultante est la persistance, tandis que la variation est la résultante des caractères essentiels du Temps. — V Individualité est ce qu'il y a d!'ea>clusij dans une détermination d'existence. C'est cette exclusion qui nécessite pour la diversité des formes «oit le Temps, soit l'Espace.

(i) Oa objectera que plusieurs formes peuvent se superposer ou se combiner en un même individu. Mais cette superposition ou cette combinaison constitue alors une nouvelle forme, qui est la synthèse des formes plus abstraites qui la composent. Et cette synthèse n'est possible que si les formes composantes ne sont pas

Ce qui assimile les individus malgré leur exclusivisme^ ;'est la Quantité. La quantité compatible avec cet exclusivisme, c'est l'Intensité. L'Intensité est la quantité intériorisée dans l'individu. Sous cette forme,la Quantité ne peut faire cesser l'isolement individuel. Pour que l'Individuel reflète l'Universel, la Quantité doit s'extérioriser ; elle devient alors Grandeur et Nombre. Comme Grandeur, elle développe l'unité individuelle vers l'expansion totale ; comme Nombre, elle pluralise l'Individuel, L'Individuel n'atteint l'Universel que pa.r la synthèse de ces deux développements. La Grandeur devient Durée dans le Temps, Etendue dans l'Espace ; le Nombre devient Suite dans le Temps, Ensemble d,ans l'Espace.

Ce qui différencie les individus malgré leur pluralité, c'est la Qualité. Le caractère univeisel des essences ne peut se conserver en mode d'existence individuelle que par la pluralité d'individus de mêm^e qualité ; et il faut que la Qualité soit extériorisée pour que cette pluralité constitue une totalité. Elle s'exprime alors par une Distribution et par une Forme. La Distribution devient Ordre dans le Temps, Situation dans l'Espace ; la Forme devient Mode dans le Temps, Figure dans l'Espace.

Le Temps et l'Espace a-pportent ainsi le complément d'homogénéité et d'hétérogénéité nécessaires pour relier les individus complètement dissemblables, et pour distinguer les individus complètement semblables. Ils

contradictoires entre elles. Sinon, ces composantes demeurent distinctes, et ne peuvent affecter un même individu que successivement.

sont l'un et l'autre caractérisés par les expressions les plus abstraites et les plus générales de la Quantité et de la Qualité. Vis-à-vis du milieu universel constitué par le Temps et l'Espace, l'autonomie et l 'hétéronomie des individus se caractérisent par des fonctions inverses au m.oyen de la Figure et du Mode s 'opposant à la Succession et à la Collection, au moyen de l'Ordre et de la Situation s'opposant à l'Etendue et à la Durée. Le Nombre et la Grandeur réunis engendrent la Mesure, et par là intègrent dans les individus une quantité tirée du Temps et de l'Espace. La Forme et la Distribution réunies différencient, au sein du Temps et de l'Espace, ime qualité individualisée.

Le Temps et l'Espace accordent la pluralité des individus et la diversité des formes avec l'unité d'existence et la. pureté d'essep.ce ; ils sont les racines virtuelles de l'univers, qui doit recevoir son accomplissement par la réunion de tout l'Individuel et réaliser ainsi la synthèse du Kosmos.

L'Etendue, dans son mode le plus élémentaire, c'est le Segment ou la Distance, suivant qu'on l'attribue à un individu ou à la région de J'espace qui sépare les individus. La Situation, dans son mode le plus élémentaire, c'est la Direction ou l'Orientation,suiva.nt qu'on la considère comme un caractère propre à l'individu ou comme la position assignée à l'individu dans l'espace. Segment et Direction sont synthétisés par la notion de Vecteur. La Distance et l'Orientation (qui sont équivalentes au Segment et à la Direction) expriment les deux principes universels qui sont la source d&

toutes les relations d'espace : la Translation et la Rotation.

Nous avons défini la Translation et la Rotation en fonction de l'existence individuelle (c'est-à-dire en fonction de ce qu'il y a d'exclusif dans une détermination d'existence) : la Translation répondant aux modifications d'un sujet qui fonctionne comme unité élémentaire et indivisible; la Rotation, répondant aux modifications d'un sujet qui fonctionne comme unité synthétique.

Il en résulte que,dans la Translation, la relation entre individus a le caractère de réciprocité; dans la Rotation, celui de subordination. De là une division des figures géométriques en deux classes : les figures périphériques et les figures centrales.

Les périphéries, les contours courbes ou brisés représentent l'influence du principe de rotation dans un élément de translation ; les rayonnements, les axes, les plans de symétrie, les éléments bissecteurs, médians, perpendiculaires, les lieux de concours représentent l'influence du principe de translation dans un élément •de rotation,

L a relation la plus si mple qui existe entre une figure périphérique et une figure centrale est la perspective, relation dont les formes régulières offrent le cas extrême où la rotation prédomine. Dans la perspective, les figures planes (cas de la périphérie où la translation est indépendante de la rotation) sont des sections d'une figure centrale projetante, à laquelle elles sont subordonnées. Cette relation commune vis-à-vis de la projetante, établit des relations réciproques entre ces diverses sections.

La Translation possède cependant en elle-même un principe centralisateur ; mais ce principe se manifeste virtuellement, comme acte et comme chose : il consiste dans l'unité de direction. Il en résulte que plusieurs figures centrales se subordonnent à leur tour à une seule figure périphérique. Cette subordination réciproque entre les centres et les périphéries est manifestée dans la perspective par la constance du rapport anharmonique , qui s'étend, d'une part, à toutes les transversales d'un faisceau, et d'autre part, à tous les faisceaux passant par les mêmes points d'une transversale.

Une réciprocité d'ordre supérieur s'établit entre deux figures composées de centralisation et de périphérie, celle qui unit les éléments centraux de l'une aux éléments périphériques de l'autre, et réciproquement. Cette réciprocité,dont l'état le plus simple,est manifestée dans [un faisceaa coupé par une transversale, est le germe des transformations corrélatives.

Dans ces relations, translation et rotation restent distinctes ; dans la construction dimensionnelle, elles s'identifient pour ainsi dire, et c'est pour cela que le dimensions donnent l'expression la plus explicite de l'essence de l'Espace.

Isolées, la translation et la rotation sont deux principes polaires du développement spatial. La translation dans son état élémentaire se réduit à la ligne ; elle établit la P^ dimension. EUe est le fondement des contrastes, puisqu'elle substitue intégralement les relations les unes

aiïx autres. Elle introduit les contrastes dans la rotation au moyen de l'angle, et de cette combinaison résulte la 2« dimension.

Mais ce n'est pas dans le cercle, qui représente ce principe da^ns la 2« dimension, qu'il faut placer l'origine de la rotation. Son essence ne provient pas du rayon; car rien dans le rayon, considéré comme segment, ne permet de concevoir une pluralité de directions et ne fournit le germe de la rotation. Le cercle a sa genèse véritable dans la section de la sphère par l'élément de translation à deux dimensions, le plan. A son tour, la sphère à trois dimensions provient d'une section euclidienne de la sphère à quatre dimensions, et ainsi de suite.

La rotation implique la totalité des directions possibles. La ligne bipolarisée de la 1^^ dimension n'est pas son germe ; c'est au contraire la projection du cercle sur son diamètre. Le résidu ultime de la rotation, aboutissant à sa dissociation, est l'opposition du positif et du négatif. C'est dans l'espace homogène supérieur, indivisé en dimensions et dont les espaces de toutes dimensions sont des sections plus ou moins abstraites, que réside le principe de rotation.

On comprend que la rotation, relation d'une universalité d'antécédents (les directions) à un seul conséquent (le centre), ne peut provenir de la dualité, mais, au contraire, que celle-ci est son état d'épuisement ; et ainsi, la polarité binaire, qui se manifeste comme une des lois fondamentales de l'univers, se révèle comme résultant d'une restriction, comme un principe de distinction extrême, et non comme un principe de développement primordial. Mais, par la dis-

tinction qu'il établit, il prépare la transformation de la totalité indivise en unification complexe et synthétique.

Revenant à la géométrie, si l'on considère la rotation comme originaire de l'espace de l'ordre le plus élevé au lieu de la faire sortir de l'angulaison, on fait disparaître l'anomalie apparente qui exige pour la rotation une dimension de plus que pour la translation ; et nous avons vu que les malentendus soulevés par les géométries non euclidiennes venaient de ce qu'on voulait faire dériver l'angle de la droite et la rotation de la translation, au lieu de les établir comme deux principes du même degré.

L'expression de cette polarité, qui marque les deux extrémités de l'échelle dimensionnelle,rune fixée par le point (unité élémentaire itiétendue, indivisible et multipliable) , l'autre, occupée par l'immensité globale (illimitée, divisible et non multipliable), nous est donnée, avec sa loi de développement et de combinaison, par le binôme (1 — 1)", qui est la loi de la série tétraédrique, et à laquelle se rattachent également les deux autres séries illimitées de formes régulières : l'hexadérique et l'octaédrique.

Cette polarité explique encore pourquoi la géométrie métrique, qui s'appuie sur la translation, est surtout constructive et étudie les soKdes en se basant sur les figures planes, tandis que la géométrie projective, qui s'appuie sur la rotation, explique plus simplement les combinaisons à 3 dimensions, et découvre dans un même soHde l'origine commune de plusieurs figures planes. Tel le cône si riche en propriétés projectives, qui appar-

tiennent au cercle, à l'ellipse, à l'hyperbole, à la parabole et au système de deux droites.

De même, les propriétés projectives (1) d'un système de 6 points ou de 6 droites dans le plan, caractérisées par les hexagrammes de Pascal et de Brianchon, ne paraissent liées à aucun principe bien net en 2« dimension ; la synthèse se prépare en 3e dimension au moyen d'une forme spéciale de la surface du 3® degré, celle qui a un point nodal ; mais les autres formes de cette surface donnent d'autres combinaisons jouissant des propriétés de l'hexagramme. Enfin, M. Jouffret établit la S3m,thèse complète de ces diverses combinaisons en considérant la surface du 3® degré comme section de la figure très simple formée par 6 points répartis dans les 4 dimensions, nommée l'hexastigme. Et par là, M. JoujBfret découvre le principe de l'Involutioa tout entière : le sénaire à 4 dimensioas. M. Joufifret remarque encore que le principe des figures homologiques dans le plan est donné par la relation de 5 points dans l'espace à 3 dimensions ; enfin, que le principe du rapport anharmonique sur une ligne est doimé par la relation de 4 points dans l'espace à 2 dimensions. On remarquera que ces relations fondamentales font intervenir un point de plus que les formes régulières de la série tétraédrique, autrement dit, un point de plus qu'il n'est nécessaire pour déterminer un élément à n dimensions.

La Translation se rapporte primitivement à la quantité

(i) V. Jouffret, Mélanges de géométrie à 4 dimensions, p. 147 et suiv.

de l'espace et à l'action. En effet, en elle, aucun point ne demeure fixe: l'élément commun de comparaison ne peut être qu'un facteur dynamique et les relations entre les états s'expriment par des différences d 'intensité ► La Translation est la base des relations métriques. La qualité lui est apportée par les Nombres, et surtout, probablement par la f onctioQ exponentielle .

La Rotation se rapporte primitivement à la qualité de l'espace et aux idées. EUe ne connaît pas d'intensité, puisqu'elle ne franchit aucune étendue, mais eUe distingue des directions diverses. EUe ne peut s'évaluer en quantité que comme rapport entre deux translations. Dans ce rapport, les éléments de translation peuvent isolément être nuls en grandeur ; c'est le qualificatif numérique exprimé par le rapport qui définit la direction. Là est le principe du calcul différentiel. Si les quantités comparées sont considérées comme de véritables grandeurs, il faut les exprimer- en fonction d'une unité commune, et l'on a les fonctions trigonométriques. Le Nombre joue donc, vis-à-vis de la translation, un rôle qualitatif, et, vis-à-vis de la rotation, un rôle quantitatif.

L'antinomie entre la Translation et la Rotation, exprimée dans son aspect contradictoire par les géométries non euclidiennes, se trouve résolue par les Dimensions. Et dans le schéma dimensionnel l'union de ces deux principes se manifeste dans sa plus parfaite harmonie par les figures où domine le plus la congruence, c'està-dire par les formes régulières et par les réseaux.

Les formes sphériques suppriment la distinction des éléments et éliminent toute translation. Le paralléhsme supprime toute fusion des éléments et élimine toute

rotation. L'homogénéité obtenue en alliant la Rotation et la Translation est réalisée au maximum par la congruence géométrique. Or les formes régulières réalisent C3tte congruence au maximum, car elles l 'étendent aux éléments de tous les degrés qui les composent et à leurs relations avec leurs centres de tous degrés.

La formule de la congruence entre deux figures exprime l'égalité entre éléments homologues SA = SA', SB = SB' ; mais, dans les formes régulières, on a de plus SA = SB = K, (K désignant une constante S, le centre commun).

Les formes régulières réalisent ainsi le maximum de synthèse possible au moyen d'éléments de translation, car tous les éléments sont égaux et ils demeurent distincts en se subordonnant de la même manière à un centre unique et à une série de centres intermédiaires. (Dans les réseaux, la subordination est la même, mais par rapport à une infinité de centres.)