SA ^ SA' ^ SB SB

Ces diverses relations s'entraînent réciproquement.

La symétrie entre les deux côtés de l'angle au centre caractéristique des figures régulières est ici rompue mais l'égalité des angles homologues subsiste par le parallélisme des éléments périphériques homologues, et la situation sur un même rayon des éléments rayonnants homologues.

Si l'on juxtapose des triangles isocèles égaux par coïncidence de leurs côtés latéraux, on obtient une figure inscrite dans le cercle, et qui est de la famille des formes régulières.

Si l'on construit une série de triangles semblables juxtaposés en joignant les extrémités des rayons voisins faisant des angles égaux, mais étant de longueur croissante, le contour ainsi obtenu s'inscrit dans une spirale. Les sommets du contour exprimen-t les puissances entières d'une quantité imaginaire. Le contour s'ouvre dans le sens de l'angle périphérique le plus grand, et d'autant plus que l'angle au centre est plus grand . Quand un angle périphérique et l'angle au centre £ont droits en même temps, le segment a une longueur infinie. Quatre semi-tangentes à un cercle tournant dans le même sens, et menées des extrémités de deux diamètres perpendiculaires répondent ainsi au cas Hmite d'une juxtaposition de triangles semblables ayant deux angles droits. C'est la figure du Swastika, symbole très riche en significations, mais qui par là se rattache à l'homothétie.

Un autre cas limite se présente quand l'angle au centre tend vers zéro : les segments infiniment petits se confondent alors avec la spirale,et par là avec la direction des tangentes à cette courbe. Or ces directions font

avec les rayons vecteurs un angle constant. C'est alors la spirale logarithmique, et cette courbe exprime entre autre chose l'essence de la similitude par juxtaposition rayonnante. Les diverses spirales répondent à des altérations du rapport de similitude suivant des lois diverses, tandis que la spirale logarithmique conserve la constance de ce rapport. Les spirales traduisent donc la variation croissante (ou décroissante) de l'intensité de rotation : elles répondent par là à la force centrifuge. Les nébuleuses nous montrent le lien de la forme sphérique à la spirale ; et, dans le règne animal, après les Rayonnes aux formes régulières, viennent les Gastéropodes avec leurs coquilles en spirales.

L'Homothétie est le principe géométrique qui engendre le rapport métrique de Similitude,comme les formes régulières sont le principe géométrique de h congrueace entre figures. Congruence et Similitude font abstraction de cette situation primitive, et ne comparent que les figures en les plaçant d'une façon quelconque. Mais les déplacements n'empêchent pas le centre d 'homothétie de persister et d'être le pivot d'une rotation toujours possible,qui ramènera les figures en situation d 'homothétie. Le centre d 'homothétie, nommé alors centre de simihtude, est le point qui considéré tour à tour comme appartenant à chacune des figures demeure son propre homologue. Le rapport de ses distances à n'importe quel couple de points homologues est le rapport constant K de simihtude de figures. Il se trouve à l'une des intersections S de deux cercles, menés chacun par un couple

Schéma de l'Homothétie

Schéma de l'Inversion

de points homologue AA', BB' et ayant pour seconde intersection le point de concours Ides droites homologues correspondantes AB, A'B'.

Dans la Similitude, l'intensité de qualification d'un être varie seule; la qualité reste la même. La Similitude entre figures implique ainsi que les données angulaires homologues soient égales, et que les données linéaires homologues soient proportionnelles. S'il n'existe dans la détermination d'un type de figures qu'une seule dojinée linéaire, celle-ci ne peut donner lieu à aucun rapport, et toutes les figures du type sont semblables. Tels sont : le cercle, la parabole, la lemniscate, la spirale d'Archimède.

Appliquant oe principe aux genèses biologiques, on peut peïiser que les espèces, divisées en de nombreuses variétés différant par les proportions, résultent d'un concours d'actions très complexes dont les rapports d'intensité ont varié beaucoup.

L'Inversion

L'Inversion correspond à l'opération algébrique opposée de celle de l'Homothétie : au lieu de la constance d'un quotient, c'est la constance d'un produit. La formule de l'Homothétie étant ôtTït = ^> celle de l'Inversion est SM X SM' = K. Ce sont les deux voies régressive et progressive de l'eJgorithme de la reproduction.

Dans la Simihtude,les deux termes homologues croissent ou décroissent en même temps ; dans l'Inversion,

l'un croît quand l'autre décroît et vice versa. L'identité des termes dans la Similitude réalise l'égalité ; dans l'Inversion, elle donne la moyenne géométrique. Cettemoyenne se nomme puissance d'inversion. C'est la racine carrée de la constante K. Si les deux facteurs sont de même signe, cette racine est réelle et la puissance est positive ; s'ils sont de signe contraire,la racine est imaginaire et ïa puissance est négative.

Tandis que le schéma de l'Homothétie est un angle coupé par des parallèles, celui de l'Inversion est un angle coupé par des antiparallèles. Quand la puissance est positive, les points homologues d'un rayon sont du même côté du pôle d'inversion S : l'ordre est SMM' ; quand elle est négative, le centre S les sépare : l'ordre est MSM'.

Géométriquement, l'Inversion positive s'obtient en menant du pôle d'inversion un faisceau de rayons. Oa choisit un rayon de longueur \/K, et tous les cercles tangents à ce rayon en son extrémité couperont les autres rayons suivant la relation SM x SM' = K. Le pôle d'inversion S est extérieur à ces cercles.

Quand l'inversion est négative, on mène par S une droite MM' dont S est le milieu et dont chaque moitié a pour longueur y/lK^; on trace tous les cercles ayant leur centre sur la perpendiculaire à cette droite élevée en S sur MM' et passant tous par MM' ; toutes les cordes passant par S donneront la relation SM x SM' = — K La demi-corde, perpendiculaire à l'axe des centres des cercles et commune à tous ces cercles, corde minimum de celles qu'on peut mener par S, donne la moyenne géométrique. 1 Il Les deux tangentes (pour + K), la cordefminimunr

(pour — K) forment donc un pivot, un élément centralisateur de la relation d'inversion.

L'Inversion conserve les angles en changeant leur orientation ; il en résulte « la similitude des triangles infiniment petits, de sorte que deux figures inverses l'une de l'autre sont deux figures semblables dont le rapport de similitude varie d'un lieu à un autre ». L'Inversion représente donc le devenir, la transformation de la similitude ; et ainsi, la relation dHntus ad extra, qui oppose la division d'un tout à la multiplication d'un élément (inversion) n'est autre chose que la synthèse de toutes les étapes de la croissance marquées par la Similitude. La constante d'inversion est la norme de cette variation, et les diverses valeurs qu'elle peut prendre traduisent la rapidité plus ou moins grande des variations de la Similitude ; elle marque en même temps le cas moyen commun des combinaisons équivalentes de tous les couples.

L'InversioQ transforme les propriétés métriques de

la façon suivante ; AB devient : ^;— 7 ^-^5^» autre-

ment dit,à toute grandeur ,on substitue le rapport de cette grandeur à l'inversion déterminée par ses deux termes pris comme homologues par rapport au centre S.

L'Inversion transforme la translation eu rotation; car toute droite a pour inverse un cercle, et une droite peut avoir pour inverse un cercle quelconque de son plan en prenant pour centre d'inversion l'extrémité du diamètre perpendiculaire à la droite. Mais, hors ce cas où

le cercle passe par le centre d'inversion, l'inverse du cercle est unautrecercle.il devient son propre inverse si le centre d'inversion coïncide avec le centre du cercle. Le centre d'invf/Ysion est d'un ordre plus virtuel et plus élevé qu'un centre de figure, car c'est le centre d'un système de figures dont il règle la subordination à un même principe. Et ce principe consiste à relier les deux zones de la quantité séparées par l'unité, l'une, domaine de la division intérieure, ayant pour limite le continu, l'autre, domaine de la multiplication extérieure, ayant pour limite l'infini.

L'Involution

Rabattons sur une droite appelée base le faisceau qui règle une inversion. Tous les points homologues formeront sur cette droite des couples satisfaisant à la relation d'inversion. On dit alors qu'ils forment une Involution. L'Involution s'étend à des figures de toute espèce, mais c'est toujours en se rapportant à la droite involutive qu'on évalue cette relation.

Le pôle d'inversion devient point central de l'involution. Il y a sur la base deux points doubles (c'est-à-dire deux points qui sont leurs propres homologues). Ces points répondent au rabattement des tangentes ou de la corde minimum ; ils sont réels ou imaginaires, suivant que la puissance est positive ou négative, et donnent la moyenne géométrique qui caractérise la constante K.

Quand la puissance est positive, les points homologues ne sont pas séparés par le pôle,les couples ne se ohevauchent pas,mais ils sont tous compris les uns dans les autres, de sorte que les cercles décrits sur chaque couple pris comme diamètre s'enveloppent tous ; ils ne sont pas concentriques,mais forment un faisceau de cercles du l^"" genre. La construction est symétrique des deux côtés du pôle S.

Chacun de ces cercles représente ainsi le rayonnement d'un couple. Les points doubles sont les points limites du faisceau, c'est-à-dire que tous les centres des cercles (ou des couples) sont en dehors du segmeut compris entre les points doubles.

Ces points sont comme les gardiens du seuil d'une zone qui se laisse pénétrer par le rayonnement des couples mais jamais par leurs centres. Les circonférences se resserrent donc de plus en plus dans la région voisine du pôle (ou point central d'involution), sans jamais se croiser avec celles de la région symétrique, tandis qu'elles s'écartent de plus en plus du côté de l'infini.

Le cercle de rayon infini, celui décrit sur le couple formé par le point central S et le point à l'infini, est la perpendiculaire à la base élevée en S ; c'est l'axe radical du faisceau, c'est-à-dire le lien des points d'égale puissance par rapport aux cercles symétriques deux à deux du faisceau. Et tous les cercles du faisceau coupent à angle droit le cercle décrit du point central S, sur le segment des points doubles.

INVÛLUTIOM à

Faisceau du 1^ Genre ayant ses centre.

Faisceau du S^"** Genre ayant ses centres

f B ' sont les points limités du i*»" Genre et les points fondamentau

ËOËJ^ofetEfteLg

l'axe horizontal. {Involution positivé) l'axe vertical. (^Involution négative) faisceau du 2®'^ Genre. — S est le centre des deux involutions.

Quand la puissance est négative, les points homologues de chaque couple soat situés de part et d'autre du point central S ; tous les couples, au lieu de s'envelopper, se chevauchent, et par conséquent, les cercles ayant pour diamètre les segments de chaque couple se croisent. Ils forment un faisceau du 2« genre ayant pour corde commune et pour axe radical la perpendiculaire à labase élevée de S ; et leurs points d'intersections, points fondamentaux du faisceau,sont situés,de part et d'autre de S,à une distance égale à la puissance d'inversion. Ce sont les points doubles imaginaires de l'involution.

Ici, pas de zone interdite. Ce n'est plus une suite d'enveloppements se densifiant contre l'axe radical et se dilatant vers l'infini.C'est un entre lacs universel qui forme un fuseau d'arcs de cercles se densifiant autour de l'axe radical. Le cercle construit sur le segment des points doubles appartient au faisceau : c'est celui de rayon minimum ; dans le faisceau de 1" genre, au contraire, le cercle construit sur le segment des points doubles ne fait pas partie du faisceau, et le cercle de rayon minimum se réduit aux points limites. Dans le faisceau du P' genre, les rayons de tous les cercles qui déterminent les couples sont donnés par les tangentes menées de leurs centres au cercle des points doubles ; dans le faisceau du 2« genre, ils sont donnés par la distance de ces centres aux points fondamentaux, et si l'on joint les deux points homologues d'un couple à l'un des points fondamentaux, ces deux droites sont perpendiculaires.

Ainsi, l'involution est liée étroitement à l'angle droit de deux ma,nières différentes. Da-ns l'involution à puissance positive (faisceau du l®' genre), l'angle droit enveloppe le cercle des points doubles :un de ses côtés glisse comme tangente, te.ndisquel'a.utre, de longueur constante, décrit le cercle des points doubles dont il constitue le rayon. Dans l'involution à puissance négative (faisceau du 2« genre), l'aagle droit se balance autour de son sommet. Ici, le point double, au lieu de tourner autour du centre d 'inversion, sert de pivot, et l'angle oscille autour de l'axe radical.

C'est donc le contraste simultané, principe des dimensions, qui se m^anifeste ici, non pas fixe, mais réalisant de deux manières différentes le mouvement de rotp.tion nécessaire pour relier les contrastes et constituer l'espace dimensionnel. On peut rapprocher la révolution périphérique de l'angle droit,dans l'involution à puissance positive,du principe du ca.rré et de la série hex8,éd ri que, et sa rotation dans l'involution à puissance négative, du principe de la croix perpendiculaire et de la série octaédrique.

L'involution marque la trace sur une droite (et plus généralement, l'empreinte sur un élém^ent de translation pure) du principe des contrastes maximum simultanés ou de la perpendicularité soumis au principe de rotation.

L'axe radical perpendiculaire à le. base d'involution répond^ danslesdeuxcas, au couple formé pa.r le centre d 'involution, et son conjugué,qui est le point à l'infini .Et ainsi, la base et l'axe radical étabhssent au sein de la perpendicularité mobile, qui détermine tous les couples, une perpendicularité fondamentale qui régit tout le système.

L'involutioii à puissance négative répond à un levier du premier genre, coudé ; le point d'appui marqué par le point central sépare la puissance et la résistance, marquées par les points homologues de chaque couple. L'involution à puissance réelle répond à un levier du 2« ou du 3« genre, le point d'appui se trouvant à l'un© des extrémités.

Prenant la puissance donnée pour unité, l'involution exprime, par chacun de ses couples, la liaison entre deux zones séparées par l'unité : l'une, limitée par zéro, l'autre, par l'infini. L'Inversion exprime une des lois d'opposition les plus fondamentales, celte du dedans au dehors, du convergent au divergent, de la division à la multiplication, source de l'opposition de l'infini et du continu. L'involution exprime l'Inversion au sein de la première dimension, et les faisceaux de cercles traduisent l'essence de ce principe en donna nt le schéma le plus simple de son développement à travers l'espace.

Il y a deux cas extrêmes où la puissance d'inversion ne peut être prise pour unité, c'est lorsqu'elle a une valeur infinie ou nulle.

Pour une puissance infinie, l'involution positive devient un carré infini ; l'involution négative , une croix à branches infinies. Ce sont les racines des développements hexaédriques et ootaédriques ; c'est l'affirmation du schéma dimensionnel dans toute sa plénitude et sous sa double forme périphérique et axiale.

Pour une puissance nulle, les deux faisceaux conjugués s'identifient et deviennent d'un genre intermédiaire ; ils constituent 4 groupes de cercles ayant leurs

FAISCEAU Mine i /mium de

puissance zéro)

<îentres sur l'un ou l'autre des deux axes et tous tangents à l'autre axe au point central. Ici, c'est le principe dimensionnel s'incarnant pour ainsi dire dans la rotation,et chaque axe émettant des ondes circulaires croissantes jusqu'à l'infini. Les cercles s'intersectent 8uiv8,nt les quatre bissectrices, et dessinent ainsi une nouvelle croix diagonale formée par les nœuds vibratoires.

Dans son schéma le plus élémentaire, cette figure constitue le trèfle à 4 feuilles, et peut-être la superstition qu'on y attache et l'usage fréquent des rosaces quadrilobées dans l'art ogival tiennent-ils au profond symbolisme de cette figure !

Hors ces deux cas, la symétrie est binaire, et autour des deux axes perpendiculaires! un faisceau du 1" genre a pour conjugué un faisceau du 2« genre, l'axe radical de l'un étant la base de l'autre.

Dans l'involution positive, l'onde partant du point limite sur le cercle unité s'amplifie de plus en plus à mesure que son centre s'éloigne ; elle tend vers le contact avec l'onde symétrique, mais ce contact s'accomplit par les faces convexes ; les deux ondes tendent à s'accoler en se tournant le dos ; elles regardent vers l'infini comme des réflecteurs convergents ; leur axe radical est un appui pris en recul pour bander^par une gerbe de ressorts serrés et divergents autour de cette tig3 comprimée comme par un laminoir, la tension qui fait face aux émanations venant de l'infini. La zone

interdite aux centres est le domaine s'étendant de zéro à l'unité ; elle a.git comme force répulsive, refoulant la vibration initiale jusqu'aux points limites situés sur l'unité. Celle-ci part d'une amplitude nulle : c'est la tension opérée entre les deux points limites par la zone interdite qui provoque l'impulsion.

Dans l'involution négative, au contraire, les points limites devenus fondamentaux jouent le rôle de nœud, et la vibration initiale part du centre, et remplit d'un coup la zone comprise s'étende^nt jusqu'à l'unité. La dualité se manifeste,non plus comme impulsion motrice, mais, au contraire, comme fixation. Au lieu d'une gerbe divergep,nt autour de l'axe radical, il se forme ici un fusea.u dense d'arcs convergeant autour de l'axe radica,!. Ici, les ondes symétriques se regardent et se complémentent ; elles vont les unes vers les autres en enferma.nt dans une trame de plusen plus serrée la région fuselée du pivot,tandis qu'elles s'écartent vers l'infini, regardant toujours le centre. Enfin, les arcs infinis s'accolent sur l'axe radical par leurs côtés concaves.

L'ensemble des deux fp,isceaux conjugués montre les deux manifestations opposées de l'expansion circulaire ad.'^.ptée au contraste maximum simultané des dimensiotis.il y a là comme deux forces complémentaires qui s'équilibrent : tels le magnétisme et l'électricité. Et sans doute, ces relations géométriques sont les hiéroglyphes de quelque profond arcane des lois fondamentales de l'univers. Et nous n'avons examiné pourtant que les manifestations élémentaires de l'involution et de l'Inversion^sans remonter aux principes plus généraux auxquels elles se rattachent.. !

La Proportion harmonique

La similitude\s 'exprime par l'égalité de deux quotients, de telle sorte que, si on divise l'un par l'autre, le produit est égal à l'unité. Changeons cette unité de signe et nous avons la Proportion Harmonique A G ^ — B C AD B D

Supposons donc un angle de sommet S, ayant sur l'un des côtés les points A et B, sur l'autre C et D, de telle sorte qu'en rabattant l'un des côtés sur l'autre, C tombe entre A et B, et D au delà de B, nous aurons une division de 4 points sur une droite, qui pourra, dans certains cas, donner l'égalité des rapports

En ce cas, A et B sont conjugués harmoniques par

rapport à C et D et réciproquement. On peut exprimer

la Proportion Harmonique en fonction du point S pris

pour origine, on aurait alors :