S A — SC^ S A — S D
SB— se SB— SD mais cela n'est pas nécessaire. Comme on le voit, les segments consistent seulement dans les distances de 4 points ABCD entre eux, et ces 4 points suffisent à établir la relation. Le point S, pris pour origine commune,n'est qu'un repère arbitraire qui ne tient pas à l'essence de la relation. Au contraire, le sommet S est indispensable à l'établissement de l'Homothétie.
Ainsi, le changement de signe dans l'égalité de deux quotients entre longueurs substitue à la centralisation
la relation réciproque de deux couples entrelacés. Cela se conçoit, puisque l'opposition du positif et du négatif répond à une sjmthèse de complémentaires, tandis que l'égpJité entre rapports de même signe ne donne qu'une échelle d'intensité. l
Cependant, une centralisation d'un autre genre peut découler de la proportion harmonique, et cela de deux manières différentes.
Si l'on subordonne tout le système au milieu I de l'un des couples AB, ce couple donne par sa moitié la moyenne géométrique entre les deux autres seg-
ments. On a lA = IB, et lA = IC. ID.
Ce retour vers l'homogénéité, qui caractérise les moyennes géométriques et qui transforme deux points soit en un point double, soit en points symétriques (carrés négatifs), se rapproche du principe centrahsateur. C'est par la moyenne géométrique-type que l'on obtient le pentagone et les suites du dodécaèdre et de l'icosaèdre.
Nous retrouvons ici cet agent d'homogénéité sous une forme plus générale, et la Proportion Harmonique se lie étroitement à l'Inversion et à l'Involution.En effet, les points doubles d'une involution positive sont : moyenne géométrique entre tous les couples ; ces couples sont réciproquement liés entre eux par la Proportion Harmonique. On voit aussi que, dans une proportion harmonique, le point milieu ne se sépare jamais des couples, et qu'ils s'enveloppent tous et ne s'entrelacent
jamais, enfin que le point milieu I du segment AB a pour conjugué le poiat à l'infini.
En résumé, les divisions harmoniques établies en fonction du couple fixe AB jae sont autre chose que l'involution positive ayant pour points doubles A et B, et pour point central , par conséquent, le point I.
L'involution (et l'Inversion) est donc l'accomplissement de tous les rapports pouvant former Proportion Harmonique avec un couple donné. La moyenne géométrique marquée par le segment des points doubles,établit au milieu des faisceaux de cercles comme un astre central au sein d'une émanation d'ondes divergentes, oscillant autour de l'unité. L'involution exprime ainsi le développement universel à travers les alliages en proportions diverses de la relation réciproque de deux couples, dont l'équilibre est marqué par la Proportion Harmonique, et dont letjrpe pur est donné par la Moyenne Géométrique.
La Moyenne Géométrique est un agent d'individualisation et d'autonomie, sorte d'équihbre de soi, réahsé par l'homogénéité de qualité. La Moyenne Arithmétique est un agent de centralisation, pour ainsi dire hétéronome et donnant un équilibre statique par rapport au milieu.
La Proportion Harmonique fait apparaître une autre moyenne ayant des caractères spéciaux : la Moyenne Harmonique entre 4 segments. En généralisant, on obtientt^un centre des moyennes harmooiques, entre n segments issus d'un même point.
La Moyenne Harmonique est égale à deux fois {n fois pour la relation générale )1 'inverse de la distance du point pris pour centre à son conjugué. Cette quantité est aussi égale à la somme des inverses de toutes les distances des autres points au point pris pour centre. Ainsi, A étaht pria pour centre et formant couple avec le point B, la Moyenne Harmonique consiste dans l'égalité établie , d'une part, entre 2 (ou n fois) l'in* Verse du segment AB, et, d'autre part, la somme des inverses des 2 (ou des *i) segments formés avec A par d'autres points substitués à B.
Ainsi, la moyenne harmonique entre 4 points d'un tapport harmonique a pour formule :
