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Ainsi, la Similitude et la Proportion Harmonique apparaissent commedes cas particuliers d'une relation plus générale, celle du quotient de deux quotients de segments. Cette relation générale n'exige que 4 points, sauf pour trois valeurs du quotient, qui sont -f- 1, 0 et oo .

+ 1 est le cas de la Similitude; il exige la coïncidence de A avec B, (ou bien l'ingérance d'un 5« point, S) soit le 1^' couple condensé en un point double.

La valeur zéro donne la coïncidence de D et de B points voisins. « ^ j

La valeur infinie donne la coïncidence de D et de A, points extrêmes.

La valeur — 1 n'implique pas coïncidence du point mais symétrie : les 4 points demeurent distincts, et on a le Rapport Harmonique.

Et ainsi, entre ces 4 valeurs cardinales 0, oo, -j" 1, — 1, de tonte quantité, la dernière, qui représente l'opposition qualitative pure,permet la dualité de deux couples en relations réciproques. Les trois autres impliquent retour au ternaire ou subordination des deux couples à un 5® élément (Similitude).

Dans un rapport anharmonique, on peut intervertir deux points, pourvu qu'on intervertisse aussi les deux autres.

Ainsi, -^jT- '. :^^ répondant à la formule (CDAB),

on peut écrire (CDAB) =(BADC) =(DCBA) =(ABCD) De là, 4 manières de présenter le même rapport (1). Les 4 points peuvent être combinés de 24 manières et donneront ainsi 6 rapports anharmoniques ayant des valeurs distinctes et jouissant tous des mêmes propriétés. Si l'on attribue au rapport (ABCD) la valeur m, les 6 rapports distincts avec leurs valeurs correspond,ante8 seront :

(ABCD)= Y ; (CBAD) = -^-^; (DBCA) = ^ ~ ^

(BACD) =— ; (BCAD) =^???^; (BDCA) =~

Ces 6 valeurs se groupent en couples, car elles sont deux à deux les inverses les unes des autres.

De plus, les 4 dernières se déduisent des deux premières en remplaçant m par 1 — m et l par {m — 1.), en définitive, par la diÊEérence de m et de l'unité.

(i) Voir Richard, Leçons sur les méthodes en géométrù moderne.

Les 6 rapports distincts obtenus par le même algolithme se groupent ainsi autour de l'unité en opposant l'extérieur à l'intérieur, et la valeur primitive à son complément en fonction de l'unité. Et ces 6 valeurs peuvent être accouplées deux à deux de manière à former l'unité, soit par leur produit, soit par leur somme, soit par leurs inverses» L'unité apparaît ainsi comme le pivot de toutes ces évolutions.

Les 4 substitutions qui sont réalisables dans chacun de ces rapports sans en changer la valeur, ont pour condition de procéder par symétrie binaire. Le rapport anharmonique lui-même est basé sur la répartition de 4 éléments en deux couples. Et ainsi, ce senaire de rapports à quadruples faces exprime la synthèse des relations réciproques par couples d'ua quaternaire d'individus, et ces relations accouplées réalisent l'unité.

La relation anharmonique, ce quotient de quotient, manifeste le quaternaire obtenu comme carré de 2, par superposition de deux relations binaires de même nature. Il doit être un pantacle remarquable des principales conditions de l'existence spatiale, et il est à croire que la place prépondérante qui lui est reconnue par la géométrie moderne n'exprime encore qu'une partie de ses propriétés.

La constance du Rapport Anharmonique répond à une propriété géométrique des plus remarquables : la Perspective. La relation métrique qui correspond à la perspective et qui permet d'amener par déplace-

ment deux figures en situation perspective, c'est l'Homographie, appelée aussi Projectivité et Collinéarité.

Ces trois noms expriment par trois propriétés qui s'impliquent réciproquement la relation générale d'un quaterne,c'est-à-dire de quatre éléments distribués en deux couples. Et ce ternaire de propriétés inséparables définit l'essence du quaterne. La Projectivité exprime la possibilité d'amener deux quaternes liés par la constance métrique de leur rapport anharmonique à être pris comme perspective l'un de l'autre.

L'Homographie exprime la constance du rapport anharmonique entre deux quaternes. La CoUinéarité exprime qu'entre figures homographiques, les éléments se correspondent un à un, et que, si les figures comparées sont de même espèce, par exemple, des systèmes de lignes, de plans, etc., la correspondance s'accomplira entre éléments de même espèce, point à point droite à droite, plan à plan.

Ainsi, outre la synthèse numérique réalisée sur l'unité par les 6 rapports anharmoniques de 4 points^ la constance de ce rapport entraîne la synthèse géom,étrique des figures qu'elle embrasse par rapport à un point central, (perspective), et ensuite l'accouplement (figure à figure) de tous les éléments, sans altérer la hiérarchie des éléments propres à chacun des systèmes (collinéarité et homographie).