CHAP TRE

L'Homographie

L'homographie (projectivité, ou collinéarité) est à la perspective ce que la similitude est à l'homothétie. Elle compare les mesures et la. disposition des parties entre les figures et fait abstraction de Ip^relp.tion de situation qui est le principe de ces rapports. La perspective ou projection centrpie est la cause géométrique de l'homographie. Elle consiste à relier tous les points d'une figure à un même poiAt S pa.r un faisceau de rayons. Les intersections de ces rayons par un plan ou par une dfoite transversale quelconque donnent une figure nouvelle, qui est une projection psrspective de la première, et réciproquement. Une infinité de figures peuvent ainsi être des projections les unes des autres ; elles ont toutes pour figure projetante le même faisceau.

La projectivité conserve les propriétés descriptives, c'est-à-dire les relations définies par une qualité géométrique, par une situation. Ainsi, en projection, les systèmes de points en ligne droite, les systèmes de. droites concourantes ou de plans concourants sont conservés.

Au contraire, les seules relatiojis métriques qui subsistent sont celles qui dépendent exclusivement des angles au centre du faisceau projetant. Elles s'expriment par une fraction dont les deux termes sont composés par un produit de segments pris sur les mêmes lignes se correspondant uae à une, et déterminés par un même groupe de points différemment associés. Le rapport anharmonique (et, a fortiori ^ la proportion harmonique) et autres relations de la même famille sont à peu près les seules qui satisfassent à cette condition.

Les propriétés métriques qui ne dépendent pas exclusivement des angles au centre du faisceau ne peuvent se conserver ; car, ainsi que le fait observer Reye, il n'existe dans le faisceau aucun élément qui occupe, par rapport aux relations métriques une situation analogue à ceUe du point à l'infini propre aux figures rectiligne8;et réciproquement, dans les figures rectilignes, aucun segment ne peut, par rapport aux relations métriques, se définir et se distinguer d'une façon spéciale, comme l'angle droit dans le faisceau. En un mot, il faut comparer uae rotation, (c'est-à-dire uïie totalité divisible) à une translation,(c 'est-à-dire à un élément multipliable). L'angle possède une unité absolue dans laperpeudicularité : les segments n'ont pas d'unité absolue. L'opposition qui existe entre ces deux facteurs de la projectivité est donc une inversion. Et les seules propriétés métriques qui peuvent subsister à travers une inversion sont celles qui, comme la relation anharmonique, se composent de deux rapports opposés, et sont en quelque sorte réversibles. On peut rapprocher ce caractère métrique du caractère descriptif des

figures anallagmaticLties, figures qui demeurent invariables dans une inversion.

Formule de l'Homographie

L'homographie s'exprime en fonction de la constance du rapport anharmonique par la formule AC BC A'C B' C „ AD '^D ^'â^* : WW ^immédiatement

qu'à un couple donné, on peut en associer une infinité d'autres ; mais que, si 3 éléments sont déterminés, le 4« l'est aussi. Il s'easuit que 3 couples déterminent une homographie. Cette loi découle également de l'équation que nous allons voir, parce qu'elle contient 3 coefficients indépendants.

L'homographie se définit algébriquement en fonction de la coUinéarité, c'est-à-dire de la correspondance univoque et réciproque des éléments entre deux figures. Cette propriété exprime l'homographie par la généralité de son domaine. C'est une liaison entre deux variables m et m', telle qu'à toate valeur de l'une corresponde une valeur unique de l'autre, et réciproquement. Or, algébriquement, cela répond, à une équation du 1^^ degré en m et m', qui sera de la forme

mm' — J'm — Im' 4-D = 0. (l)

Choisissons, dans chacune des deux divisions FetE*,

(1) Le coefficient du l*' terme peut toujours être ramené à l'unité et les coefficients des autres termes choisis de manière à pouvoir être affectés du signe — .)

un point origine pour évaluer tous les points de sa division. Les deux points origines ne sont pas nécessairement homologues entre eux.

Le point m de F, et et le point m' de F' étant deux points homologues, l'équation montre que le coefficient J' est la valeur de m' quand m devient infini, et le coefficient I, la valeur de m quand m' devient infiûi. Les points I et J' sont respectivement les points homologues des points à l'infini des divisions F' et F. On les appelle points limites.

L'équation précédente peut être amenée à la forme suivante :

(m — I) (m' — J') = IJ' (qui est une constante).

Elle peut alors s'énoncer ainsi : le produit formé par les distances qui séparent respectivement deux points homologues du point limite de leur division est constant et égal au produit des points doubles.

Cette forme de l'équation n'a pas de sens quand les points à l'infini des deux divisions sont homologues. En ce cas, les deux divisions homographiques sont semblables, et réciproquement. Si IJ' = + 1, les divisions sont égales et de même sens ; si IJ' = — 1, elles sont égales et de sens contraire.

La formule (m — I) (m' — J') = IJ' exprime l'homographie d'une manière synthétique, chaque couple de points homologues étant rapporté aux points limites, points qui lient entre elles les deux divisions par un pioduit constant, c'est-à-dire par une relation d'inversion ou d'involution.

Homographie dans la i^'> dimension

Examinons d'abord l'homographie dans la 1™ dimension : c'est-à-dire deux divisions homogfaphiques établies sur une droite servant de base commune. On appelle alors point double tout point d'une division qui coïncide avec son homologue. Quand les deux divisioas ont une même base, il ne peut y avoir plus de deux points doubles sans que les divisions coïncident, cela en vertu du rapport anharmoniqae, qui se trouve entièrement déterminé par 3 points.

D'autre part, il y a toujours en ce cas deux points doubles réels ou imaginaires, e a vertu de l'équation générale de l'homographie ; car, si on fait m = m', elle devient équation du 2^ degré en m et a donc deux racines réelles ou imaginaires.

Les deux divisions ayant même base et les origines pouvant être arbitraires, nous pouvons choisir pour origine commune le point milieu du segment des points limites. Alors, les grandeurs I et J' seront égales et de signes contraires, et exprimeront la demi-distance des points limites. Le point origine (de valeur zéro), considéré comme appartenant à la même division que T, aura pour homologue un point de valeur O', qui, généralement, ne coïncidera pas avec lui.

Donc, si J' = — I, l'équation

(w — I) (w' — J') = I J' devient : (1)

Faisant varier le couple m, m', amenons m à l'origine ; m' tombe alors en O', homologue de l'origine.

L'équation précédente devient m 0'+ J'(0'~in)= 2 J'*. et comme m = o, elle se réduit à J' O' = 2 J",

Puis, pour que m soit point double, il faut que m =m\ Opérant cette identification dans l'équation (2) et remplaçant en même temps son 2« membre 2 J" par sa valeur J' 0', l'équation (2) devient m' = J' 0', d'où

m = ± \/rw.

Et ainsi, les homographies de même base ont leur principe centralisateur dans une moyenne proportionnelle représentée par les points doubles, moyenne établie entre les points limites et l'homologue du centre de symétrie commun aux points doubles et aux points limites.

On voit que l'équation a deux solutions égales et de signes contraires ; donc, il y a deux points doubles symétriques comme les points limites par rapport à un même point O.

Si J' et O' sont de même signe, c'est-à-dire situés du même côté du point milieu, les points doubles sont réels. On les obtient alors en rabattant autour du point milieu la tangente menée de ce point au cercle décrit sur O' J' comme diamètre.

Le segment m étant moyenne proportionnelle entre le segment 0' et le segment J', si l'un des segments 0' ou J' est plus grand que le segment w, l'autre est plus petit, et vice versa. On aura donc l'une des deux suites I w O J' m 0' ou I w 0 0' m J' (les lettres représentant ici les points et Qon les segments) et n étant l'autre point double.

Si l'un des points doubles est relégué à l'infini, I et J' coïncident les deux divisions sont semblables. (0, O') est alors l'autre point double. Si les deux points doubles

:S.:eJi

Suivant la région occupée par un point (abc etc) de la i" division son homologue (a b' c' etc) se situe diversement par rapport aux points doubles et aux points limites. Pour déterminer cette situation nous avons reporte sur une droite pointillée^ tournant autour du point double N, les points J,' M'etO'. Cela a permis de déterminer le point S, sommet d'un faisceau qui donne la position des points (a' b' c' etc) raBattus ensuite sur la base primitive.

HOMOGRAPHIES DE MÊME 8