POINTS DOUBLES REELS

vont à l'infini, I et J' y vont aussi, O' est indéterminé ; les d i Visio ns sont égales et d e même sens . Si l'un des points doubles va à l'infini et l'autre au poiat central 0,1 et J' se confondent à l'infini; tous les couples de points homologues deviennent symétriques par rapport àO, et les homographies sont égales et de signes contraires. Si J' et O' sont de signes contraires, c'est-à-dire séparés par O, les racines et les points doubles sont imaginaires.

Les homographies de même base, en ce cas, répondent à la double division homographique établie sar une transversale ou base, parles deux côtés d'un angle tournant autour de son sommet situé dans le plan. Alors, chacun des côtés engendre un faisceau ; les deux côtés pris dans une même position de l'angle sont rayons homologues, et déterminent sur la baseles points homologues delà double division homographique. L'angle étant constant, les côtés homologues ne peuvent coïncider pour aucune position ; les points et rayons doubles sont imaginaires.

Les points doubles sont : l'un I3 sommet de l'angle, l'autre le point symétrique par rapport à la base situé sur la perpendiculaire élevée du point milieu du segment des points limites, à une distance égale à la constante homographique.

Les points limites I et J' sont donnés par les positions de l'angle où l'un de ses côtés est parallèle à la base. Pour l'angle de 45°, le point 0' coïncide avec J'; pour 135° , il coïncide avec I ; de 0° à 45° et de 135° à 180°, le point O' est en dedans des points limites ; de 45° à 135°, il est en dehors. Pour l'angle droit, on retombe

'mV)

HOmOGBAPHiES DE mÊmES BASES A POIHTS DOUBLES IRIAGiN&IRES

M . N Points doubles imaginaires conjugués

O Milieu des points doubles

O' [Homologue dans le système de O

Les 2 faisceaux de mëma base sont engendrés exceptionnellement par les 2 côtes d'un angle constant tournant autour de son sormnet placé à l'un des points doublés Qei système représente le côté SroU de l'angle.) ,;

Les angles supplémentaires inierchangent f et J Les angles complémentaires intercMngent I et O' \ et O' sont toujours du même côté de O

Pour 45° O' coïncide avec I.

Pour 90° o coincide avec \ et J 0' coïncide 'avec la (parallèle à la base. (Involution.)

tJ' est en dehors de I pour les angles compris entre 46° et 13S°, en dedans de ^ et O' à 15° e«.135° à 180°.

dans l'involutioti, I et J' coïncidant avec O, 0' va à l'infini.

Connaissant 0', I et J', on détermine M et N aisément : ils se trouvent à l'intersection de la circonférence décrite sur 0' J' comme diamètre avec la perpendiculaire à la base élevée en 0.

La position des points et des rayons doubles ne dépend pas de la grandeur de l'angle, mais seulement de la distance d u sommet de l'angle àla base. Les rayons doubles imaginaires sont appelés droites isotropes, et leurs points à l'infini, ombilics ou points cycliques du plan. De position invariable, les droites isotropes ont, avec deux droites réelles, un rapport anharmonique qui dépend exclusivement de l'angle et des droites réelles. La formule du rapport anharmonique des angles donne ici pour résultat e'^^" (1).

Le rapport anharmonique de 4 droites qui joignent à 4 points fixes d'une courbe du 2® degré un point mobile de la courbe est constant ; quand deax des points fixes sont les points cycliques, la constance du rapport anharmonique exige la constance de l'angle qui tombe sur les deux autres points fixes. Le point mobile réalise ainsi un angle constant en décrivant la courbe ; cette

(1) Voir pour la démonstration de cette formule établie par Lag'uerre: Les Premiers principes de géométrie moderne (p. 22) p. DuPORCQ, ou, d'une autre manière, le Traité de géométrie (T. II, p. 45o) par RoucHÉ et Comberodsse.

courbe est donc un cercle. Et ainsi, tous les cercles d'un plan passent par les deux point cycliques .

Ces d eux poiûts imaginaires sont les points de liaison de tous les cercles possibles du plan. Ils expriment ainsi le centre d'émanation de toute rotation pure dans le plan. C'est à eux qu'aboutissent les tangentes imaginaires menées à une conique par ses foyers. Ils réa.lisent ainsi,à travers une dimension supérieure, l'irréalisable tangence menée à une courbe de son intérieur le plus intime. Et toutes les hyperboles équilatères sont conjuguées aux points cycliques. Ces points sont donc aussi le germe de la proportion harmonique ; et les hyperboles équilatères appa,raissent comme la Uaison haimonique de tout le planai synthétisa*» par ces deux points remarquables.

Dans le cas général de deux divisions homôgraphiques de même base, le point m de ]& 1^' division coïncide avec un point n' de la 2®, et l'homologue m' de la 2^ division ne coïncide pas avec l'homologue n du point n', mais avec un autre point pdeh, 1'^ division dont le conjugué p' ne coïncide pas avec m. Mais, si les deux divisions ont 3 points doubles, les deux divisions se confondent; tous les points ne deviennent pas doubles, mais réciproques, c'est-à-dire que, si m coïncide avec n', leurs homologues m' et n coïncident également. Cela définit rinvolution que nous avons vue précédemment sous l'aspect d'un produit consta,nt entre couples de points sur une droite. C'est qu'une de ces propriétés entraîne l'autre. Cela se produit quand les points Hmites I et J' se confondent ; le point milieu de leur segment (q ui ser-

vait d'origine aux homographies de même base) devient centre de l'involution ; ce centre est donc Un point triple.

Dans une involution, entre les points doubles a, 6 efc un couple de points m et m\ considérés tour à tour comme appartenant aux deux divisions, il y a l'homographie suivante :

{abmm') — {ahm'm). Ces deux divisions sont égales,

sauf le changement de signe. D'où — = — ; — = — 1,

° abmm '

et les 4 points a, 6, m, w' sont conjugués harmoniques^ Le couple m, m' étant quelconque, tous les couples dans une involution sont conjugués harmoniques par rapport aux points doubles.

L'homographie engendrée par un angle pivotant sur son sommet devient une involution quand cet angle est droit, car la correspondance est ici réciproque (l'angle droit étant égal à son complément). Deux droites rectangulaires sont donc conjuguées harmoniques par rapport aux droites isotropes de leur plan issues de leur point commun, et leurs points à l'infini sont conjugués aux points cycliques»

Aiïisiyl'mvolution. et les homographies de mêm©^ bas© repré^ntent le germe des sectioios coniques dans laJ \^ dimension. L'involution correspond- : dans le cas des points .doubles réels, au Cercle ; dans le cas des points imaginaires, à deux droites- rectangulaires. Les hwcao^ ^aphiesi de m«me base à poinit limfi/tes distincts répoiH

dent à l'eJlipse et à l'hyperbole, et, dans le cas de similitude, à la parabole.

Les points IJ', conjugués des points à l'infini, correspondent aux foyers. Et ainsi, les divisions homographiques de même base apparaissent comme l'ingérence du principe de translation au sein de la rotation, ingérence qui se manifeste par la formation d'un axe déterminé par deux foyers (les points limites), et se traduisant sous deux formes différentes : écartement (cas des points réels) ou symétrie par rapport à un axe perpeadiculaire (cas des points imaginaires). Les points doubles répondent aux sommets des coniques.

Le couple des points doubles et le couple des points limites ont même centre ; les points doubles sont les nœuds des deux systèmes ; les points limites, conjugués de l'infini, rattache ut à un centre les bornes de chaque système : c'est l'étirement extrême faisant traction entre un point déterminé de l'un des systèmes et l'extrémité de l'autre.

Les points doubles relient les systèmes par élimination de la quantité spatiale (distances), et conservent distincte la qualité spatiale ( allure dans la l''^ dimension, orientation dans les dimensions supérieures). Les points à l'infini représentent l'élément qualitatif pur de chaque système (leur direction), réalisé par l'absolu de la quantité ; les points limites transposent en quantité finie la quafité pure pleinement manifestée par l'expansion à l'infini.

Si les deux systèmes représentent des objets dont les valeurs sont exprimées par les points homologues, les points doubles représentent l'équivalence évidente entre objets que la destination et la provenance seules

différencient ; les points à l'infini traduisent l'inestimable, ce qui vaut par sa qualité seule, ce qui est toujours un doQ, quelque prix qu'oQ en donne, mais qui pourtant trouve dans les points limites une équivalence que,ntitative dont le taux est réglé par les ressources bornées qu'on peut lui appliquer.

Homographie expriméo comme relation de réciprocité

La Proportion Harmonique se présente, nous l'avons vu, sous deux formes : l'une marque la relation réciproque entre 4 éléments ; l'autre, au moyen du point central de l'un des couples, consiste en une moyenne géométrique et exprime l'élément centralisateur, synthétique, de toute la relation. Les homographies de même base définissent leur norme par l'établissement des points limites et des points doubles, et c'est une moyenne géométrique qui exprime encore cette détermination. Enfin, c'est sous la forme synthétique et unificatrice de moyenne géométrique que nous avons envisagé l 'in volution ,rp,pportant chaque couple à un point central et à un segment moyen.

Mais, de même que le rapport harmonique et la relation anharmonique (qui est la base de l'homographie) s'expriment, indépendamment d'un élément centralisateur, par une réciprocité entre 4 éléments accouplés deux à deux, de même l'involution est la relation Bntre 6 éléments accouplés deux à deux.

En effet, au lieu d'exprimer un couple en fonction du centre S et de l'élément double K, sous la forme

SK^ = SA. SA', on peut établir l'égalité de deux couples entre eux,tous deux rapportés au centre SA,SA'= SB,SB'. Mais on peut encore substituer au point central un 3« couple, et exprimer l'involution par une relation entre 6 points. La formule est alors

AB', BC, CA' = — A'B, B'C, C'A, forme analogue à celle de la proportion harmonique entre 4 points, qui peut s'écrire AB, A'B' = — AB', BA'.

Et, comme l'a montré Chasles, l'involution implique toujours 6 points. Quand on l'exprime par 4 points, l'un d'eux est un point double, l'autre est le centre, qui a pour homologue le point à l'infini. En effet, <je caractère même définit le centre.

Dans la formule ci-dessus, les segments donnés par chaque membre de l'égalité sont constitués par les points n'ayant pas d'extrémité commune.

Dans chaque membre, "les segments homologues se croisent deux à deux, si la constante est positive. Si la const&Tïite est négative, deux des couples de segments homologues se croisent; le 3* couple donne un segment qui enveloppe les deux segments qui sont ses facteurs, tandis que son homologue est enveloppé par les homologues de ces facteurs.

La relation entre les 6 points a la propriété métrique suivante : est nulle la somme des trois produits formés chacun par les deux segments d'un couple et par la demi-distance des tnilieux des deux autres couples. Soit AA', BB', ce, les couples de segments. Soit :

ïn valut ion à pm^smc^ pQSttiuf

Inuofuttûn i g^uiSSancè né^atm

Proportion harmonique

<* la distance des milieux des deux couples BB', CG\ p la distance des milieux des deux couples AA', CC, y la distance des milieux des deux couples AA', BB' , On aura AA' a + BB' p 4- CC 7 ^ 0. Ici, le principe centralisateur se trouve subdivisé en trois éléments, qui sont les milieux des segments, et qui sont comme les pôles des segments opposés.

De cette formule, on tire trois groupes de deux relations anharmoniques égales et quatre couples de produits de 3 segments égaux avec signes contraires. Enfin, ]Sk relation des 6 points en involution peut s'exprimer de 12 manières djjBFérentes par une équation entre trois termes,

La Proportion Harmonique est donnée par un angle et ises deux bissectrices coupés par une transversale, ou par une diagonale de quadrilatère intersectée par les deux autres.

L'Involution apparaîtj quand on inscrit le quadrilatère dans une conique, par les intersections opérées par une transversale quelconque (Desargues-Sturm) ; les diagonales peuvent remplacer la conique circonscrite (Pa/ppiis), (c'est le cas où la conique se réduit à deux droites.) Par corrélation, l'Involution s'applique aux faisceaux de tangentes menées d'un point fixe aux coniques tangentes à quatre droites fixes.

Un triangle dont les côtés sont supposés prolongés indéfiniment fournit deux relations d 'involution, l'une positive^ l'autre négative.

1° Par une transversale coupant les côtés {Théor. de Menelaus), 2° par les trois droites concourantes menées de chacun des sommets [Théor. de Jean de Ceva)^ on ^dé termine, sur les côtés, des segments tels que le produi t

des 3 segments, n'ayant pas d'origine commune, est égal au produit des trois autres. (Le signe dépend du sens des segments.) Appelant donc A, B, C, les sommets, a, b,c, les points d'intersections sur les côtés opposés, on a aB, bC, cA = aC, bA, cB (Théor. de Menelaus). aB, bC, cA = — aC, bA, cB {Théor. de Jean de Ceva). Ces théorèmes entraînent les théorèmes réciproques( 1).

Ces théorèmes sont, pour un groupe de six points et de six segments, ce que la Proportion Harmonique et la Similitude sont pour un groupe de 4 ou de 5 points et de 4 segments. Mais ici, le signe — correspond au concours des éléments en un centre {théorème de Jean de Ceva)^ tandis que, pour le quaternaire, ce concours (homothétie) répond au signe + ; et inversement, la distribution en ligne droiterépond au signe + pourles6points(<y^éorème de Menelaûs)^Qi au signe — pour les 4 points (proportion harmonique).

Ici,comme dans la plupart des cas,l'involution répond à un concours de droites en un point ou à une répartition,

(1) Le théorème de Menelaus a été généralisé par Carnot en considérant un triangle intersecté par une conique qui rencontre ces côtés en 3 couples de points. La relation est alors :

A6. Ab' Çg Ca' Bc Bc'

C6 C6' * Ba Bo' * kc Ac' "" relation qui est projective.

On en déduit que si, dans le plan d'une conique,on mène par un point quelconque deux parallèles à^deux axes fixes, le rapport des produits des segments (réels ou imaginaires) que la courbe détermine avec ces droites à partir de leurs points communs est constant. (Newton.)

de points en ligne droite. Ces théorèmes ont du reste pour coroUg-ires le concours des médianes, des bissectrices et des ha^uteurs d'un triangle, et la répartition en ligne droite des milieux des trois dia,gonales d'un quadrilatère complet.

L'Involution et la Proportion Harmonique sont des cas centraux de la Relation Anharmonique,et les théorèmes de Menelaus et de Jeaa de Ceva ne sont que les cas centraux des relations déterminées par 3 points pris sur les côtés d'un triangle et joints entre eux, ou joints aux sommets opposés.

La Proportion Harmonique est une involution dans laquelle un couple est formé par les éléments doubles ; or, une involution est caractérisée par l'égalité de deux rapports anharmoniques de 4 quelconques d'entre les 6 points de trois couples. De telle sorte que l'on a, par exemple, (a6c 6') = (a'ô'c'ft). Donc, un quelconque (ici le couple b 6') des 3 couples figure par ses deux éléments dans chacun des rapports anharmoniques, tandis que les deux autres ne mettent qu'un élément dans chacun d'eux. C'est là le retentissement dans l'Involution de la constitution de la Proportion Harmonique.

Celle-ci se manifeste à son tour comme un senaire condensé en quaternaire, puisque l'un des couples {aa*) est constitué par la fusion de deux couples involutifs, chacun en un point double.

Le quaternaire de la Proportion Harmonique apparaît donc comme constitué de deux couples n'ayant pas la même valeur. Mais,comme on peut prendre pour points doubles l'un ou l'autre des couples à volonté, eUe n'en reste pas moins équilibrée. Elle constitue ainsi un équilibre dynamique et non inerte, équihbre rompu dès

qu'on veut le fixer. Elle exprime ainsi d'une manière remarquable le principe quaternaire du KosmoB qui, tout en polarisant, entretient le mouvement et l'évolutiou que l'opposition pure et simple tend à empêcher. Elle décèle, dans l'essence de ce quaternaire dynamique, un principe ternaire dédoublé, et montre le senaire comme sa contre-partie explicite, relation déjà observée en étudiant les polyèdres.

La Perspective

Nous avons vu sur une droite l'expressioa élémentaire, la plus simple de l'Homographie, donnée par la relation enharmonique de 4 points. Dans le plan, la manifestation la plus élémentaire est celle du faisceau de 4 droites, Ï4V relation des angles de ce faisceau exprime son rapport anharmonique et le définit. Toutes les transver» sales menées à ce faisceau sont divisées suivant le même rapport anharmonique que la transversale qui exprimerait les sinus des angles. Toutes ces transversales, quelles que soient leurs directionB,sont donc des figures homographiques entre elles. Le faisceau synthétise, dans l© rapport de ses angles, toutes les divisions opérées sur ses transversales.

D'autre part, une transversale étant divisée suivant un certain rapport anharmonique, tous les faisceaux dont les 4 rayons homologues couperont la transversales ^ux mêmes points auront le même rapport anhar-. mouique, quels que soient leurs angles.

Dans l'homothétie, il n'y a qu'un angle au centre r la constance du quotient des longueurs implique le parallélisme des transversales, et entraîne la constance des angles périphériques ; Pangle est l'invariant du groupe. Dans la perspective, il y a quatre angles au centre qui se chevauchent. Leur rapport seul est constant ; les transversales peuvent se mouvoir en tous sens en rotation et en translation; la relation est toujours satisfaite, mais les angles périphériques ne sont pas conservés :1e rapport anharmonique est l'invariant du groupe.

Dans la perspective, le principe centralisateur commence à se dissocier. Le centre n'exerce plus la même prépondérance : une part de la rotation cesse de se subordonner au point central pour s'attacher à la transversale. En effet, après l'égale intensité des rayons caractéristiques de la rotation absolue, dans les formes réguUères, la centralisation diminue dans l'homothétie : les rayons devieonent inégaux ; les angles que font avec eux les éléments périphériques varient d 'un rayon à l'autre, mais restent fixes pour chaque rayon.Ce paralléhsme des transversales conserve encore une orientation subordonnée au oentre,et les juxtapositions homothétiques donnent la spirale qui gravite encore autour du centre.

Avec la perspective, la périphérie devient rectiligne j elle ne gravite plus autour du centre, et ne lui demeure subordonnée que par la constance du rapport anharmonique. Or cetteconstance ne porte plus que médiatement sur les éléments [géométriques, puisqu'elle ne s^attaohe qu'à^leura quotients. Une part/du principe de

rotation se trouve communiquée aux transversales puisqu'elles peuventtourner sur elles-mêmes sans altérer le rapport anharmonique. Et nous touchons peutêtre ici au principe métaphysique des mouvements des planètes, qui se meuvent à la fois par rotation et translation, et dont les orbites sont des coniques, courbes qui sont le véritable domaine de la projectivité.

La perspective réunit deux sortes de relations : 1° les relations réciproques des transversales à un même faisceau ; 2° une double relation de subordination. D'abord, la relation des transversales au faisceau caractérise le principe centralisateur du faisceau ; elle rattache une infiaité d'êtres différenciés à un même principe formateur, et réalise l'universel d'une espèce constituée par des individus variés, mais tous assujettis à un même caractère.

Ensuite, on peut réciproquement subordonner à une même transversale une infinité de faisceaux de centres différents, mais dont les rayons couperont la transversale aux mêmes points. Tous ces faiseaux auront un même rapport anharmonique. Ici, c'est la transversale devenue axe qui règle une infinité de faisceaux par le li en quaternaire du Rapport Anharmonique : c'est-là le ^erme de la Relation Homologique.

L'Homologîe

Nous avons considéré la constance du rapport anharmonique entre tous les segments homologues déterminés sur

un nombre quelconque de transversales par 4 rayons fixes d'un faisceau. Nous avons vu aussi ce rapport exprimé par les éléments de périphérie.

Examinons maintenant la constance du rapport anharmonique exprimé par les éléments de rayonnement. Il s'agit de sectionner un nombre quelconque des rayons d'un faisceau S suivant le même rapport anharmonique, déterminé par le centre du faisceau et par 3 transversales. Pour cela, il suffit de former un faisceau T en faisant concourir les 3 transversa.les en un même point, le 4« rayon de ce fa.isceau étant la droite qui joint le sommet des deux faisceaux S et T. La condition requise est que les 3 transversa,les concourent en un même point. Si l'une de ces transversales reste fixe, les deux autres ne pourront donner divers ra.pports anharmoniques constants pour chaque situation qu'à la condition de s'intersecter sur la transversale fixe .

Donc, la condition générale, pour que les rayons d'un faisceau S, limités d'une part par leur sommet, de l'autre par une transversale fixe (ou axe),soient divisés en un même rapport anharmonique par deux autres transversales, est que ces deux transversales s'intersectent en un même point de l'axe.

Ces transversales mobiles et l'axe sont coupés à leur tour par le même faisceau S, et les rayons homologues déterminent sur elles un même rapport anharmonique. '^l Les figures qui répondent a ce cas particulier de la perspective, où la constance du rapport anharmonique s'est étabhe en périphérie et en rayonnement, sont dites homologiques entre elles. Géométriquement, la relation homologique est caractérisée par la situation sur un même rayon de tous les couples de points homologues.

^t par l'intefsectiofi sur la même droite de toutes le* droites homologues. Oeô deux ptopriétés s'entraînent réciproquement (1). Le centre S du faisceau primitif âe nomme centre d'homologie, l'axe qui est le lien des sommets de tous les faisceaux Tn est dit axe d'homologie. Dans l'espace, une relation analogue a lieu .' l'axe est remplacé par Un plan.

L'Homologie représente donc pour ainsi dire la Relation Anharmonique et la Projectivité soUs forme réci^ proque ; car on peut dire que 4! deux divisions sont homologiques quand elles sont la perspective l'une de l'autre ». Mais elle combine la constance anharmonique définie pat un faisceau unique S à la constance anharmonique définie par une infinité de sectionnements opérés sur* ses rayons au moyen de tous les faisceaux: ayant leurs centres sur un même axe. Ici donc, le principe centralisateur se manifeste sous deux me des à la fois : le mode individuel, représenté par le centre d'homclogie et le mode universel, du l^' ou du 2^ degré, représenté par l'axe ou par le plan d'homologie. ]

Le rapport anharmonique d'un système homologique est donc constant. Appelant S et S' les distances respectives des points homologues d'un même rayon au centre

(1) La relation homologique a été établie en constatant la réciprocité des deux relations suivantes entré deux triangles : i» côtés situés deux à deux sur 3 droites concourantes, 2° intersection des côtés deux à deux sur une même droite (Théorèmes de Desargu«s et de Poncelet.)

d'homoJogie, M et M' leurs distances respectives à l'axe d'homologie (distances comptées sur le rayon où ils se trouvent), la constance anharmonique K prend ici le nom de constance d'homologie, et l'on a la formule

Les deux figures homologues F et F* ont chacune une droite à l'infini dont les homologues J' et I sont en général des droites à distance finie. Les droites de l'infini doivent rencontrer leurs homologues I et J' sur l'axe d'homologie, et cela sur un point à l'infini de cet axe : c'est dire que I et J' sont parallèles à l'axe d'homologie. Pour déterminer leur distance à cet axe, il sufiit

de partager suivant les rapports K et -^ la perpendiculaire abaissée du centre d'homologie S sur l'axe d'homo-

logie X; car, dans la relation -rj- : -iri^ = K, S' et M'

S' devenant infinis, le rapport -:rj^ devient égal à l'unité.

g et il reste -^ = K, ou inversement, S et M étant infi-

nis, le rapport devient ^ = ^. Cette perpendiculaire

abaissée du sommet sur l'axe est ainsi le pivot de la relation d'homologie, l'expression condensée en binaire die la relation quaternaire.

Les droites I et J' sont donc équidistantes du milieu de la distance du sommet à l'axe. Quand la constante K = — 1, elles se confondent toutes deux avec la parai-

CtiS 9Ù tet draitn limUtt l ttj «oiU Gompri$ti entft I* Centre S eC J'aXSiP

Affinité

Homoùhêtn

oo

A4 cû/istûfiti' d te t^^ppork

çù les drin.tçs limites Î^T'soni. tn dehçars lifin^qnf compris» eotrf /# rtnifpS^i'n^tt X

Schéma cfe

Schéma ds J'^nversion

)èle à l'axe menée par le milieu de cette distance. L'homologie est alors harmonique.

Quand la constante est négative, les droites limites I et J' sont compiises dans la région qui sépare le centre S et l'axe X, et les points homologues se trouvent placés de part et d'autre de cet axe. Quand la constante est positive, le sommet S et l'axe X sont situés entre les droites I et J', et les points conjugués sont tous deux du même côté de l'axe X.

Quand le centre S est seul rejeté à l'infini, la relation

- . M T^ , ^ devient yFr= ^> les figures sont en relation à affinité ;

les rayons sont parallèles à la direction du sommet, qui est exprimé par la constante K. La projection devient cylindrique. Les lignes à l'infini sont homologues entre elles. Quand l'affinité est en même temps harmonique, le système devient une symétrie par rapport à un plan. Quand, au contraire, l'axe seul est rejeté à l'infini,

la relation se réduit à ^ = K. Les droites homologues

sont parallèles à l'axe. C'est l'homothétie. L'homothétie qui est en même temps harmonique devient symétrie par rapport à un point.

Enfin, si l'axe et le centre sont rejetés tous deux à l'infini, les deux figures sont égales et parallèles (ou perspectivement congruentes).

Et, de cette combinaison d'un axe fixe et d'un centre fixe, on déduit comme cas limite l'homothétie (qui peut se déduire aussi de la perspective seule,puisqu'eUe relègue l'axe à l'infini), l'affinité et la congruence avec parallélisme. La Proportion Harmonique apparaît à travers ces divers cas comme le principe de l'équilibre

symétrique dont là basé efet évidetnment -^ 1, c'està-dire i'oppositioQ purement qualitative du uositif atl négatif.

Mais lé principe de l'homôlogie, aiasi que l'ô moatré Chasles, réside dans la perspective. Prenons deux figures ABC et A'B'C, qui sont dans des plans dilïérents P et P' et perspectives l'une de l'autre par rapport à un point central. Les droites AA', BB', CC, qui joignent les points homologues, concourent au point Central. Par contre les droites homologues, c'est-à-^dite AB et A'B',AC et A'C',BC et B'C, s'intersectent par couples stir une même droite qui est l'intersection des plans P et ï*'. Si l'on rabat les deux plans P et P^ sur un plaii quelconque en les faisant pivoter sur leur ligne d 'in ter* section, cette ligne devient l'axe d'homologie. Le point central se projette en un point du nouveau plan qui est le centre d'homologie, point de concours des droite» joignant les points homologues.

Mais deux figures homologiques correspondent à une infinité de centres perspectifs, et, réciproquement, deux figures planes en perspective peuvent se rabattre sut une infinité de plans et fournir divers systèmes homologiques. Et l'homôlogie, vis-à-vis de tous les centres perspectifs de l'espace, est la propriété du plan qui cor* respond à la propriété de la division atiharmonique d'une droite par rapport â tôits les centres perspectifs du plan.

La perspective simplifie la perception de l'espace à 3 dimensions en confondant les points qui se trouvent sur un même rayon visuel. Elle superpose ainsi une série de plans sur un même tableau, et les distances des objets au sujet percevant disparaissent, L'homologie établit un axe en dehors du sujet auquel se subordonnent tous les objets et le sujet lui-même ; et elle rabat le tout dans un même plan. Les divers objets superposés dans la perspective primitive se juxtaposent alors, et les relations du sujet aux objets et des objets entre eux deviennent explicites. Cela s'opère en transférant à l'axe une part du principe centralisateur dévolu au centre perspectif.

C'est là le schéma d'une opération mentale des plus importantes.il représente le pouvoir que possède le sujet de se placer en face des objets divers et à de se prendre luimême comme un objet spécial, objet qui continue de centraliser les rapports existant entre tous les autres,mai8 qui ne s'oppose plus à eux par un caractère irréductible. La perception concrète et spontanée s'analyse alors en images multiples, comparables entre elles et avec le sujet. Mais cette opération nécessite une base prise hors du sujet,et cette base,c'est l'axe autour duquel ont pivoté tous les plans. Dans la perspective, le sujet figuré par le point central, fonctionne comme unité irréductible et condensée,s 'opposant un champ d'images où il simplifie pa,r superpositions.

L'Homologie ne conserve ce pouvoir centralisateur que dans le milieu réduit du plan qui représente le champ des images mentales. L'axe, qui, dans la perspective,apparaissait comme un élément de concentration relative, devient maintenant la norme universelle qui va repé-

rer toutes les relations des objets soit entre eux, soit vis-àvis du sujet devenu lui-même uq objet : base plus abstraite que le tableau perspectif. Ce tableau est le champ des images typiques formées par les impressions les plus répétées et constituées par l'expérience, fournit une condensation et une simplification des objets réduits aux seuls arrêts qu'ils produisent suivant le rayonnement du sujet. L'axe d'homologie est la règle où sont imprimés les concepts fondamentaux résultant des implantations communes aux divers plans des objets, axe indépendant du sujet, qui grave à travers le champ des images les notions a priori qui s'imposent au sujet comme nécessaires.

L'Homologie réalise explicitemeat, suivant les rayons, c'est-à-dire dans toutes les relations d'objet à sujet,la constance du rapport anharmotiique, qui n'est ma oifestée dans la perspective que sur les transversales, c'est-à-dire dans les relations entre objets.

Ici, les objets servent d'intermédiaires entre le support des notions nécessaires et le sujet, devenu centre d'objectivité, qui se trouve intégré sous la loi kosmique. Et le rapport anharmonique apparaît , par le rabattement, sur un plan d'un faisceau de plans; il se révèle ainsi, dès qu'un rayonnement est projeté sur un élément rectiligne, comme le transpositeur de la rotation en translation. -

A un point de vue pi us objectif, le système homologique du plan ou la division anharmonique d'une droite expriment la norme imposée à tous les impacts des rayons qui émanent de l'espace ou du plan tout entier pour atteindre le plan ou la droite, C'est l'expression synthétique dajis l'universel des translations d'un certain ordre (plan ou droite)desrayonnements émanéspar la pluralité infinie des

centres de rotation répandus an sein de l'universel d'ordre supérieur. Système Homologique et Division A nharmonique sont comme des plaques et des tiges vibratoires accordées pour un certain mode, et réfléchissant dans un ton défini les projections d'éîiergieplus ou moins diffuses qui viennent tomber sur elles.

Homographie non perspective

L'homographie dans le cas général est à la perspective ce que la similitude est à l'homothétie.La relation métrique des figures entre elles persiste, tandis que la position qui est leur source disparaît. Néanmoins, comme pour la Similitude, la centralisation géométrique se manifeste encore. EUe est constituée par les points doubles, autremeût dit pa.r les points qui coïncident avec leurs propres homologues. Or le nombre des points doubles est égal au nombre de points minimum pour déterminer un élément rectiHgne.il y en a 2 pour l'homographie sur une droite, 3 pour l'homographie dans le plan, 4 pour l'homographie dans l'espace. De là, pour le plan, un triangle, pour l'espace un tétraèdre qui sont communs aux deux figures. Les sommets seuls de ces triangles et de ce tétraèdre sont points doubles ; leurs arêtes et leurs plans sont, comme tels, des éléments doubles. La similitude répond au cas où deux des points doubles (dans le plan) sont les points cycliques ; le 3« est alors le centre de similitude.

S'il y a 3 points doubles en ligne droite (ou 4 points doubles dans un même plan), tous les points de la droite (ou du plan) sont doubles; la droite (ou le plan) devien--

Bent axe (ou plan) d'homologie. Un autre point double constitue le centre d'homologie. S'il y a 4 points doubles en ligne droite (ou 5 dans le même plan), les figures coïncident.

L'homographie non perspective exprime l'objectivité indépendante. On voit qu'elle est régie par la série tétraédrique, c'est-à-dire que tout système de correspondance un à un entre éléments d'un même ordre gravite autour de la figure rectiligne de contraste maximum successif, figure de périmètre et de capacité minimum, et la plus réduite en sommets.

Les sommets (qui sont les points doubles) indiquent le nombre et la disposition des liens nécessaires pour établir cette correspondance univoque et réciproque entre éléments de même espèce qu'est l'Homographie. Et le contraste maximum successif apparaît, encore ici, comme l'agent qui laisse le plus d'indépendance compatible avec la liaison la plus élémentaire et la plus égale de deux systèmes.

Les intersections des rayons homologues de deux faisceaux de centre différents constituent une conique ellipse, parabole ou hyperbole suivant que les deux faisceaux ont zéro, un ou deux couples de rayons parallèles. Dans le cas où les deux faisceaux ont un rayon double, la conique devient une droite, et l'on se trouve dans le cas des figures homologiques.

Analogiquement, les droites communes aux plans homologues de 2 faisceaux de plans décrivent une surface du second ordre, et les points communs aax plans homologues de 3 faisceaux de plans décrivent une cubique gauche.

Les coniques apparaissent comme la résultante, comme la liaison de deux émissions rayonnantes indépendantes réglées par le Rapport Anharmonique. Elles synthétisent les applications de cette même propriété appartenant au faisceau et à la transversale, qui sont l'un et l'autre Je support d'un rapport anharmonique déterminé.

Si l'on prend 4 points fixes sur une conique, tous les faisceaux menés en les joignant à un 5^ point quelconque auront même rapport anhaT-monique. C'est la même.propriété que celle de la transversale, mais le lieu du sommet, au lieu d'être ici le plan tout entier, est restreint au périmètre de la conique. Il en résulte qu'une conique est déterminée par 5 points. Pour le cercle, deux de ces points sont rejetés à l'infini ; ce sont les points cycliques, points communs à tous les cercles du plan.

La cubique gauche est déterminée par 6 points.

Le cône, qui est le principe de toutes les sections coniques est en même temps principe de la perspective à 3 dimensioBls. Il est remarquable que l'intersection de 2 faisceaux dans le plan de sommets différents s'intersectent justement sur la projection perspective du cône sur un plan. Ne serait-oe pas là le principe métaphysi-

que de la vision binoculaire aboutissant à une image unique et donnant en même temps l'idée du relief ?

Quoi qu'il en soit, le cône est la figure géométrique qui répond à l'essence de la Perspective : un rayonnement émis d'un centre unique. La Perspective subordonne ainsi à l'unité d'uQ sujet la pluralité des situations de J'espace. Elle transforme le parallélisme en convergence, et obtient ainsi une représentation condensée de l'infini. Elle ramène à deux dimensions l'espace à trois dimensions et répond ainsi, tant au point de vue objectif que physiologique et psychologique, à la représentation d'une réalité concrète pPir des images plus abstraites qui déforment le concret pour rendre assimilable l'infinité de l'univers àPunité d'un sujet et former en lui un microcosme.

Les orbites des planètes sont des sections coniques, «t cela semble indiquer que la force agissant dans le plan de l'orbite, à laquelle on attribue leur trajectoire, n'est que la composante d'une force émanant du sommet d'un cône dont les orbites sont les sections p8,r un plan. Le système planétaire tout entier apparaîtrait ainsi comme le plan de projection d'un faisceau perspectif ayant pour point central un œil invisible, les corps célestes représentant l'intensification sur ce plan d'une série d'objets multiples et plus subtils répartis sur les génératrices de cette gerbe conique. Et le lien des sections coniques avec l'homographie pourra.it fg,ire pressentir que les orbites résultent des intersections des rayons homologues émis par deux centres de forces situés dans leur pla.n. On voit le nombre de problèmes que peut soulever cette propriété des coniques, problèmes intéressant l'astronomie et l'astrologie.

Dans la S^ dimension, les plans homologues de deux faisceaux de plans se coupent suivant une surface réglée du second ordre. Si 3 droites appartenant à la surface réglée passent par un même point, toutes y passent. Ce sont alors des cônes, et l'on rentre dans le cas de la perspective.

Dans le cas contraire, on obtient une surface réglée proprement dite , qui est engendrée concurremment par deux systèmes de génératrices recti] ignés. Par un point quelconque de la surface, il passe une seule génératrice de chaque système, et ces deux génératrices sont dans le plan tangent à la surface en ce point; une génératrice quelconque de l'un des deux systèmes n'en rencontre aucune autre de son propre système, et rencontre toutes celles du système opposé. Et, comme 3 droites suffisent pour régler le mouvement d'une droite mobile, une surface réglée peut être considérée comme engend-tée par une droite mobile assujettie à rencontrer trois droites fixes (l'une d'elles pouvant être à l'infini).

Ainsi, les surfaces réglées jouent, par rapport aux faisceaux de plans, le rôle rempli par les coniques par rapport aux faisceaux.de droites dans le plan. C'est le lieu des droites qui divisent homographiquement deux droites fixes ; elles sont donc une généralisation de la Relation Anharmonique. Leur génération manifeste ce caractère de deux couples associés de la même manière que dans la relation anharmonique, et leurs sections par des plans sont des coniques. Si la section par le plan de l'infini est ane conique ordinaire, la surface réglée est un hyperboloïde à une nappe (surface en forme de poulie à profil hyperbolique). Si la section par le plan de l'infini se réduit

à deux droites, la surface réglée est un paraboloïde hyperbolique (surface affectant la. forme d'une selle). Cela répond au cas où les divisions homographiques sont Bemblables

Les autres surfaces de second ordre (ellipsoïde, paraboloïde elliptique, hyperboloïde elliptique) ne peuvent contenir aucune ligne droite. Les surfaces réglées représentent, au contraire, la relation réciproque dans l'espace à 3 dimensions de deux divisions homographiques non perspectives.

L'hyperboloïde à une nappe est la surface engendrée par une ellipse variable dont le plan reste perpeadiculaire à l'axe imaginaire de deux hyperboles, qui sont les trajectoires décrites par les sommets de cette ellipse. Les deux systèmes de génératrices qui le décrivent par orrespondance homographique forment, autour de cet axe imaginaire, un double tourbillon de lignes droites en sens inverse, dont l'eiisemble constitue les sections elliptiques de la surface, toutes semblables, et dont la plus petite est l'ellipse de gorge passant parle point central. Cela suggère l'unification confuse et relative d'une vision qui n'est pas mise au point, ou encore la connaissance sensitive, qui donne des images génériques sans atteindre les concepts. Ce n'est pas Je désordre chaotique, mais UQ système dont l'unification spirituelle n'est pas accomplie et demeure encore virtuelle.

Le paraboloïde hyperbohque est la surface engendrée par une parabole dont le sommet décrit une autre parabole : toutes les deux ayant leur axe parallèle et de sens contraires et leurs plans perpendiculaires. Les deux systèmes de génératrices concourent à réaliser cette vallée cruciale, caractéristique de la figure.

Dans l'hyperboloïde à une nappe, les génératrices sont parallèles deux à deux, et que les génératrices d'un système ne peuvent être parallèles à un même plan ; dans le pe.raboloïde h3rperbolique, les génératrices de chaque système sont toutes parallèles à l'un des plans directeurs, et pai contre, il n'y a pas de couples de génératrices parallèles entre elles. La parabole ramène ici toutes les propriétés de l'homothétie comme cas spécial de l'homographie. Cette propriété essentielle se révèle dans une autre génération du paraboloïde hyperbolique. On l'obtient en divisant en un même nombre de parties égales les quatre côtés d'un quadrilatère gauche, et en joignant les divisions correspondantes des côtés opposés. C'est la similitude homographique la plus élémentaire et l'expression la plus simple du quaternaire anharmonique réalisé avec 3 dimensions.

D'autre part, la génération du paraboloïde hyperbolique par les deux paraboles révèle cette surface comme l'une des manifestations fondamentales du constraste simultané maximum dans l'espace à trois dimensions.

La réalisation de ce constraste par 3 axes perpendiculaires, ou par la translation perpendiculaire à l'un d'eux du plan formé par les deux autres, a pour schéma 8 trièdres droits accolés et de mêmes sommets. Cette génération est liée à l'essence du cercle, et à la congruence géométrique. Le paraboloïde hyperbolique substitue à deux des axes les droites de l'infini tangentes à ses deux paraboles : ces courbes remplacent les deux angles droits opposés par le sommet et situés dans des plans perpendiculaires qui sont le germe des 8 trièdes droits. Cette génération est liée à l'essence de la parabole et à l'homothétie.

Le paraboloïde hyperbolique, c'est la croix parabolique dans les 3^ dimensions ; c'est le quaternaire du constraste maximun simultané adapté à la similitude, c'est-à-dire compatible avec les différences d'étendue entre objets de mêmes directions.