CHAPITRE m

Transformations et lieux géométriques

Transformations corrélatives

Les transformations homographiques font correspondre des éléments de même ordre dimensionnel: les points aux points, les lignes aux lignes, les plans aux plans. Mais il existe un autre genre de transformations, dites corrélatives, par lesquelles on relie les éléments de dimensions différentes entre deux figurer, et cela réciproquement, de telle sorte que, dans l'espace à trois dimensions, les points de la 1^^ figure correspondent aux plans de la 2®, et les points de la 2^ aux plans de la l""^. Les droites correspondront alois à des droites. A deux dimensions, les droites correspondent à des points et les points à des droites. On peut étendre le procédé à un espace à n dimension ; les éléments également distants des dimensions extrêmes se correspondent.

La corrélation existe à l'état de germe dans la correspondance entre la division anharmonique des transversales et celle des faisceaux : un faisceau coupé par une transversale établit une relation corrélative entre

les angles et les segments, entre les é lé méats de rotation et les éléments de transk.tion. Une des manifestations les plus simples qui en découlent c'est la correspondance entre les deux propriétés suivantes : concours de droites en un même point, corrélatif d'une série d'intersections en ligne droite (et, plus généralement, concours de courbes sur une certaine figure, corrélatif de l'intersection de diverses courbes suivant une certaine autre figure.)

Dans l'espace à trois dimensions, une courbe plane a pour corrélative une surface enveloppée par des plans issus d'un point commun, c'est-à-dire par un cône ; une courbe gauche a pour corrélative une surface qui peut s'étaler sur un plan, c'est-à-dire une surface développable.

De même que l'homographie à trois dimensions offre 4 éléments doubles, de même la transformation corrélative établit, dans chacune des figures, 4 points tels qub les plans corrélatifs dans l'autre figure coïncident.

Transformation par polaires réciproques

Le faisceau de 4 droites devient, lorsqu'il est harmonique, le fondement d'une des tra-nsformations corrélatives les plus remarquables : la transformation par polaires réciproques. Un faisceau harmonique de 4 droites dans l'ordre A B C D divise harmoniquement toutes les transversales qu'on lui mène, (donc, en pa-rticulier, toutes les transversales concourantes en un point P, pris sur la droite A du faisceau).Toutes les proportions harmoniques relatives à ces transversales auront en «ommun le point P, qui sera conjugué sur divers points

de C pa.r rapport aux couples de points de B et de D. La droite C tout entière est donc associée au seul point A, pa,r rapport au couple des droites (B,D). A est le pôle, C la pola,ire ; le couple des droites (B,D) est la directrice. Ce couple de droites est une sorte de conique, et il peut être remplacé par une conique quelconque. La relation est réciproque, car la droite A est la polaire d'un pôle quelconque pris sur la droite C, et le couple des droites (A, C) est la directrice vis-à-vis des droites B et D, prises, l'une comme pôle, et l'autre comme polaire.

On peut enfin généraliser cette transform.ation corrélative en prenant pour directrices des courbes d'un degré plus élevé : la polaire devient alors une courbe d'un certain degré, et l'on peut avoir un système de pôles distribués sur certaines courbes.

La relation de pôle à polaire, par rapport à une conique, est l'expression la plus élémcnto.ire de la corrélation entre le principe de rotation et le principe de translation. Pour la déterminer, il faut un agent intermédiaire servant de support et participant des deux principes, c'est-à-dire une courbe directrice. La directrice est une sorte de balancier réglant l'équilibre des deux principes extrêmes : l'être individuel et le devenir perpétuel représentés par le pôle et la polaire. Elle sépare le pôle et la polaire, qui sont, l'un intérieur, l'autre extérieur à la courbe. C'est une sorte de membrane à travers laquelle s'accomplit l'osmose par laquelle se relient la rotation et la translation, et c'est la proportion ha.rmonique qui donne la mesure constante de cet échange.

La relation de pôle à polaire représente la proportion harmonique pour ainsi dire sur un plan supérieur, car elle subordonne deux faisceaux entiers de propor-

iiions harmoniques à deux foyers mobiles chg,cun sur les ra3'-ons conjugués d'un 3^ faisceau harmonique. Ce faisceau fixe est ainsi le fondement unique d'un développement doublement infini du quaternaire harmonique. Quand la polaire devient tangente à la courbe, le pôle vient au point de contact, et, ainsi considérée à ce point de vue, la tangence n'est plus seulement la fusion de plusieurs intersections en un point multiple, mais en outre la copulation d'une polaire et de son pôle par rapport à leur directrice. Là est la source de la notion d'élément de contact que nous retrouverons plus loin (1).

Degrés et classes des courbes

Il existe dans l'espace à deux dimensions, entre la directrice et les deux facteurs de l'élément de contact (ligne et point), une relation corrélative des plus remar- -quables. Une courbe (la directrice) peut être considérée soit comme la trajectoire d'un point (pôle devenu point de contact), soit comme l'enveloppe d'une droite mobile (la polaire tangente). Elle peut dériver ainsi soit du mouvement d'un point, soit du mouvement d'une droite. -C'est toujours l'opposition des deux principes de rotation et de translation ; mais ici, ils interchangent leurs rôles : le point élément de rotation se meut par transla-

(1) La transformation par polaires réciproques, la notion d'éiémentsde contact et les relations étudiées ici s'appliquent à l'espace à 5 dimensions. Il suffirait de remplacer les droites par des plans, les courbes par des surfaces. Mais pour simplifier l'exposé et rendre plus aisées et plus schématiques les re présentations qui servent à découvrir la métaphysique de cette géométrie, nous nous en tenons à Tespace à deux dimensions.

tion, la droite élément de translation est assujettie à une rotation : translation^t rotation qui varient, et par conséquent, s'influencent sans cesse réciproquement. La courbe est donc un élément mixte, qui synthétise la corrélation de la droite et du point. Cette corrélation se manifeste en elle par son degré (ou ordre) et par sa classe.

Le degré (ou Tordre) d'une courbe plane algébrique est déterminé par le nombre d'intersections maximum (réelles ou imaginaires) qu'une courbe peut avoir avec une droite quelconque. Il exprime donc combien de points en ligne droite une courbe peut donner ; c'est son potentiel en fonction de l'unité de direction, c'est la mesure de son affinité pour l'essence rectiligne. La classe d'une courbe plane est déterminée par le nombre de tangentes (réelles ou imaginaires) qu'on peut lui mener par un point quelconque. Elle exprime le nombre de directions auxquelles une courbe peut satisfaire ; c'est son potentiel en fonction de l'universalité des directions possibles émanant d'un point.

Ces deux coefficients corrélatifs sont entre eux comme netn {n — 1) = n^ — n, c'est-à-dire comme un nombre avec le produit de lui-même par le nombre immédiatement inférieur, (ou avec la différence de lui-même avec son propre carré). Les produits et les différences de ce genre, rencontrés dans la genèse des suites de Ficosaèdre et du dodécaèdre, ont été interprétés comme figurant l'écart entre un germe et son éclosion sur un plan supérieur d'existence, et rattachés indirectement à l'algorithme des moyennes raisons qui caractérise l'autonomie individuelle. La classe et le degré auratient, l'un vis-à-vis de l'autre, quelque chose d'analogue avec

la relation d'une quantité avec sa moyenne raison, et cela réciproquement.

Quand n exprime le degré, n^ exprime le nombre des intersections de la courbe avec une courbe du même degré : cela se conçoit, car cette 2^ courbe équivaut à n droites intersectant chacune la première en n points.

Quand n exprime la classe, 7^^ éclosion de ce faisceau de tangentes qui constitue la classe, exprime le nombre des foyers. Or la classe exprime uqc loi applicable à un nombre infini de faisceaux. Le carré de la classe individualise cette loi universelle en an seul système de points déterminés. On saisit ici une fois de plus la nature de l'algorithme des puissances, qui réalise, en individualité sur un plan supérieur, une , virtualité universelle du plan inférieur. Ceci vient à l'appui de la thèse réaliste, qui admet l'existence objective des universaux. On peut les concevoir comme des individualités, ou mieux comme des personnalités qui appartiennent à un monde plus concret et se révèlent, dans un monde plus abstrait, comme loi universelle imposée- à des individualités de ce monde.

Cette quantité 9^^ qui exprime tantôt le système des foyers, tantôt celui des intersections de deux courbes du même degré, est la somme de la classe et du degré. Elle apparaît comme la synthèse de deux complémentaires. La classe et le degré sont comme deux coordonnées déterminant l'allure d'une courbe en fonction de la translation :. le degré évalue la courbe par rapport au mode individuel, la classe par rapport au mode universel . La somme de ces coordonnées traduit ainsi la situation delà courbe entre l'individuel et l'universel des translations. .

On constate immédie-tement que les courbes du 2« degré (coniques) sont en même temps celles de la 2« classe. Elles représentent donc l'équilibre entre les deux relations de la rotation avec la translation considérée en modes individuel et universel. La, courbe du l^'^ degré est la ligne droite, elle est de classe zéro., et réciproquement; la courbe de la V^ classe, c'est le point, qui est de degré zéro. Ainsi, dans l'espace à deux dimensions, le point et la droite sont complémentaires par rapport à ces deux aspects de la rotation. La, droite ici figure comme transversale, le point comme élément de contact.

Les tangentes et les points d'intersections qui déterminent la classe et le degré peuvent être réels ou imaginaires, tous distincts ou quelques-uns confondus ensemble. Et de là résulte des subdivisions dans les familles de courbes répondant à ces conditions variées.

Coordonnées, homogènes, cartésiennes, tangentielles.

Une même équation exprime deux propositions corrélatives, l'une ayant pour objet des points et des intersections, l'autre des droites et des tangentes. Une équation entre n variables exprimera une courbe dans l'espace k {n — 1) dimensions ; l'élément défini par les n variables détermine soit un point de la courbe, soit une de ses tangentes. Dans le premier cas, le degré d'une équation algébrique répond au degré de la courbe ; l'équation du l^"" degré exprime donc une droite ; dans le second cas, le degré de l'équation répond à la classe de la courbe et l'équation du 1^' degré exprime un point.

; De là deux systèmes de coordonnées, le premier déterminantune droite et toute courbe en général parles coordonnées de ses divers points, le second déterminant un point par l'intersection de plusieurs lignes droites ou courbes.

L'homographie, contenant le germe de toute transformation corrélative fournit, comme l'a montré Chasles, ces deux types de coordonnées, types dont les coordonnées usuelles ne sont que des cas particuliers.

On peut prendre pour équation d'une droite une relation homogène et du l®*" degré entre les distances d'un point vaiiable de cette droite à 3 axes fixes. Ce point m est alors déterminé par ses 3 distances p, p'j q aux 3 axes fixes formant un triangle de référence (ou par 3 fonctions définies de ces 3 distances). Ces 3 distances sont les coordonnées trilinéaires du point. Les deux premiers axes peuvent être considérés comme rayons homologues de deux faisceaux ayant pour rayon homologue commun le 3« axe (celui des q). Le point m est alors considéré comme appartenant k la transversale qui joint les points d'intersection des rayons homologues des deux faisceaux. On déduit de là la relation homographique

— 4- "X -*— = u soit p-|->p' — wq = o q q 1 jr -1

relation qui donne ainsi 3 coordonnées homogènes

p, p', q, ou deux coordonnées non homogènes f et p\

Si l'axe des q est rejeté à l'infini, la coordonnée q est

infinie pour tous les points ; elle disparaît comme,

facteur commun dams le rapport des coordonnées— et-f-.

Les coordonnées p et p' sont alors les coordonnées

cartésiennes, qui déterminent un point par sa distance

à deux axes. Ces deux coordonnées suffisent à déterminer

un point ; la 3« n'a pour résultat que de rendre les expressions homogènes en servant de mesure commune aux deux autres.

Corrélativement, on peut prendre pour équation d'un point une relation homogène du premier degré entre 3 variables représentant les distances d'une même droite à 3 points fixes. Ei le passera toujours par le même point représenté par l'équation.

On détermine la position d'une droite qiii coupe en a et en 6 deux axes fixes limités, S A et S B, par les

rapports des segments — ^ et . Ces deux rapports

sont les coordonnées de la droite, qu'on peut exprimer par « et p .

Si les points A et B sont rejetés à l'infini, les numérateurs des rapports deviennent infinis, donc égaux ; on peut alors, quand on compare deux rapports, éliminer ce facteur commun et prendre pour coordonnées « et |3

les valeurs — ^ ,, ^ , c'est-à-dire l'inverse des disa S b S

tances de a et de 6 au point S, autrement dit l'inverse de l'abscisse cartésienne du point a et l'inverse de l'ordonnée cartésienne du point b, où la droite a b coupe les axes. Telles sont les coordonnées tangentielles de Pliioker ; mais dans le cas général, celui où A, B et S sont tous à distance finie, on a 3 coordonnées tangentielles homogènes.

Loi de Dualité

Le principe des transformations corrélatives est ejcprimé par une loi nommée loi de dualité, applicable aux propriétés projectives, c'est-à-dire aux situations géomé-

triques, loi en vertu de laquelle certaine relation entre éléments géométriques de l'ordre (— -f~ P) entraîne certaine autre relation qui lui est corrélative entre éléments de l'ordre {- p), de telle sorte qu'il suffit d'établir

l'une pour que l'autre soit prouvée. Ainsi, pour passer d'une proposition à la propositioa corrélative, il suffit de substituer les noms des éléments corrélatifs entre eux, et d 'interchanger les centralisations et les translations. Dans l'espace à 3 dimensions, par exemple, on échangera les points avec les plans (ou les surfaces) et les intersections sur un même plan (ou sur une même sut'face) avec les concours en un même point. A deux dimensions, les intersections d'une droite avec une courbe C seront corrélatives des tangentes à une courbe C concourantes en un point.

Cette possibilité a servi d'argument à la thèse nominaliste, qui prétend que les notions d'éléments géométriques sont des notions purement arbitraires et dépendant uniquement des définitions qu'on leur donne. Nous combattrons plus loin cette thèse. Ici, nous chercherons seulement quel est le principe sur lequel est basée la loi de dualité.

L'expression essentielle de la loi de dualité est donnée par le développement du binôme (1 — 1)°, sur lequel repose, comme nous l'avons vu, toute la genèse des formes régulières. Dans toute sa pureté, ce binôme donne toute la série tétraédrique et rentre dans le cas de la corrélation birationnelle, les éléments corélatifs se correspondant un à un. Les séries hexa — et octaédrique, où intervient un coefficient étranger, sont des cas de corré-

lation plus complexe, un seul élément de la l^e espèce ayant alors pour corrélatif plusieurs éléments de l'espèce corrélative. Et toutes les formes régulières répondent aux cas de corrélation où les grandeurs des éléments d'une même espèce sont toutes égales et où, par conséquent, toutes leurs données métriques sont toutes représentées par l'unité. Ces formes représentent la synthèse d'une sérié de figures corrélatives, puisqu'elles sont constituées par la hiérarchie de tous les couples corrélatifs.

Dans les transformations corrélatives en générai, le? grandeurs des éléments (et par conséquent, les relations métriques) demeurent indéterminées. On ne retient que la loi même du développement du binôme (1 — l)"*, loi que nous avons étudiée et qui exprime l'équilibre permanent de deux tendances inverses dont l'une croît tandis que l'autre décroît d'un bout à l'autre du développement. Or nous avons vu également que les termes des diverses puissances correspondent aux divers ordres dimensionnels,et que ces deux tendances, dont résultent les figures régulières, sont l'expansion et la centralisation.

C'est là le principe de la loi de dualité; on peut dire qu'il est traduit avec le plus haut degré de généralisation: V équilibre essentiel entre l'expansion et la concentration, équilibre qui produit l'espace dimensionnel, équilibre mobile dont la structure correspond au développement des puissances d'un binôme. A. tout rayonnement correspond un enveloppement ; et, nous basant sur les définitions que nous avons données de la rotation et de la translation en fonction de l'individualité, nous pouvons dire que l'individualité se constitue et se

conserve par l'opposition entre une subordination à l'nnité du sujet et une séparation établie avec l'universalité des objets.

Le caractère binaire qui se trouve à la racine de r individualité et à la source de l'espace apparaît encore ici, et l'on voit que l'e&pace, ainsi que le développement concret de l'individualité, répond aux puissances de ce binaire radical. La corrélation établit le concret en reliant les diverses puissances de ce binaire. Et l'espace, avec ses ordres dimensionnels, est l'ensemble des conditions qui rendent explicites et distinctes les divers degrés d'existence dont la synthèse constitue le concret. C'est par la coexistence de ces degrés et la corrélation qui les relie que l'e&pace agfeure la coexistence explicite de cette hiérarchie. I^ corrélation implique donc au moins. deux puisf ances du binaire radical de la rotation et de la translation, et ainsi, la corrélation dévoile l'essence de là constitution quaternaire de tout espace, en même temps qu'elle met en lumière la synthèse ternaire de ce quaternaire, sjTithèse qu'exprime la formule :

R * — 2 RT. + T^ (le terme 2 RT pouvant s'écrire RT H- RT).

Les transformations homographiques et corrélatives (et celles de toute nature) peuvent être généralisées et cf-nduire à des relations très complexes. Les concours en un même point, les intersections sur une même droite, les centres de moyennes harmoniques, les pôles uniques, les polaires et les diamètres rectilignes ne sont que les cas élémentaire-s d'un© hiérarchie de relations où les mêmes fonctions sont remplies par des courbes de divers

degrés et par des systèmes de points. Mais les cas élémentaires ont le privilège de mettre en lumière I* essence géométrique des transformations ; ils ne retiennent du nombre que le minimum inséparable de la relation géométrique elle-même. Leur étude suffit donc ici.

Les généralisations introduisent les développements du Nombre dans la relation géométrique en faisant jouer par des éléments multiples les rôles remplis chacun par un seul élément dans la relation simple. Elles font intervenir dans la géométrie Falgorithme des combinaisons. Mais, par ces combinaisons, le nombre atteint certaines valeurs remarquables qui se révèlent géométriquement par des figures typiques ; ces valeurs et ces figures servent de voies et moyens pour Faccomplissement de la finalité au sein de la quantité par la Forme et le Nombre, considérés comme qualités.

Un ensemble des transformations corrélatives peut être remplacé par une seule transformation, qui est homographique ou corrélative, suivant que le nombre des transformations successives est pair ou impair. C'est une sorte d'oscillation binaire analogue à l'alternance des signes des puissances d'une quantité négative. Et en effet, chaque transformation corrélative étant le passage d'une dimension A à une dimension B, un nombre égal d'aller et retour ramène à la dimension initiale.

La possibilité de pouvc ir substituer à tout le cycle des transformations opérées la relation directe entre deux transformations quelconques et, par conséquent, de relier directement deux transformations extrêmes est ce qui définit un groupe. La notion de groupe implique

donc un cycle fermé et, par corséquent, le pri icipe de rotation.

Les transformations homographiques et corrélatives répondent donc à des propriétés synthétiques de l'espace, tendant à établir des relations définies entre les éléments qui s'y trouvent. Les transformations homographiques relient les éléments d'un même ordre dimensionnel, et constituent pour ainsi dire l'équilibre de niveau dans chaque ordre dimensionnel. Les transformations corrélatives, au contraire, rendent réciproquement solidaires les divers ordres dimensionnels ; elles réunissent les ordres supérieurs aux inférieurs, et équilibrent de haut en bas cet ensemble, en associant les ordres par couples, qui s'enveloppent comme dans une involution à puissance positive. Elles établissent une pondération entre les tendances centralisatrices et les tendances expansives. Les espaces à nombre impair de dimensions contiennent, un ordre médian qui se transforme en lui-même par corrélation. Ils présentent ainsi un caractère de contraction, tandis que les espaces à nombre pair de dimensions sont entièrement épanouis. Nous avons déjà constaté ces caractères en étudiant les polyèdres.

Ainsi, le groupe des transformations homographiques et corrélatives représente deux modes fondamentaux de relations qui constituent toute organisation et toute vie : attaches entre individus de même espèce, solidarité entre individus de divers ordres hiérarchiques. Nous avons là le schéma de deux grandes lois qui régissent le Kosmos tout entier, mais dont le jeu synthétique nous est particulièrement manifeste en biologie et en sociologie. Et c'est la corrélation qui paraît l'emporter ici sur l'homographie, car la vie chez les êtres

supérieurs s'accomplit principalement par des réactions de la périphérie au centre et du centre à la périphérie. L'homographie apparaît dans le balancement des organes, mais sa manifestation principale consiste à se substituer à la corrélation en vertu de la propriété que possède un groupe de relier deux transformations extrêmes en supprimant les intermédiaires. A ce titre, l'homographie est représentée par toutes Iss abréviations qui permettent à la vie une économie d'effort : accélération embryogéniqae, phénomènes réflexes, habitude, instinct, etc., qui rapprochent les deux termes extrêmes de l'impression et du mouvement.

Transformations quadratiques

Deux transformations corrélatives d'une même figure plane (F) font chacune correspondre une droite à un point M da (F). Ces deux droites s'intersectent en un point M', qui est le transformé quadratique du point M. Ainsi, la transformation quadratique s'obtient par l'intersection de deux transformations corrélatives. Elles établissent une correspondance univoque de point à point. Mais cette correspondance est indirecte ; elle s'offre comme une résultante, comme une condensation de deux transformations corrélatives : c'est un retour de l'ordre ponctuel sur lui-même par la polarisation d'une double expansion linéaire.

8 points donnés et 8 droites corrélatives assujetties à passer par 8 points donnés définissent une transformation corrélative. Si l'on n'a que 7 couples de points, il y aura une infinité de droites corrélatives pour un 8^ point M, qui toutes passeront par un même point M'.

M et M' réalisent la transformation quadratique, qui se trouve ainsi définie par 7 couples de points porrespondants.

Or, entre deux corrélations, il y a 3 points ou pôles ayant les mêmes droites poar corrélatives dans les deux systèmes. Dans la tr?«nsformation quadratique, il y aura donc 3 points dont les homologues demeurent indéterminés sur ces di'oites, qui se nomment dymtes singulières. Les intersections de deux d'entre elles correspondent à tous les points de la droite qui joint les deux pôles correspondants. Donc, dans chacun des systèmes en correspondance quadratique, il y a '5 pôles, A B C, A'B'C, formant respectivement deux triangles principaux. A chaque pôle correspond a,insi le côté opposé du triangle. Au sein de la transformation quadratique, qui établit une correspondance de point à point, les pôles, eux, correspondent à des droites et ms-intiennent intacte une transformation corrélative, qui sert de pivot au système entier.

On peut amener deux systèmes semblables en sitnatio d'homothétie en faisant coïncider les sommets et un couple de rayons homologues. On peut amener deux systèmes homographiques en situation perspective en faisant coïncider les sommets de leurs faisceaux homologues. On peut ausrfi, par une transformation homographique, faire coïncider, dans deux systèmes en correspondance quadratique, les triangles, droites et points f/rincipaux. On obtient alors une transformation qua-

dratique de second ordre, avec 3 pôles formant rn triangle fondamevtal.

Cette transformation devient alors involntive, car les faisceaux A et A' se trouvent réciproques. Une telle transformation est définie par son triangle fondam^jntal et par un couple de points conjugués. Les trois droites fondamentales constituent les diagonales du quadrilatère formé pe,r les 4 points doubles, cela parce que les rayons correspondants de deux couples de faisceaux s'intersectent suivant deux coniques, et que cell3s-ci se coupent en 4 points.

L'inversion ordinaire n'est qu*un cas particulier de l'inversion quadratique.

Dans la transformation quadratique, à un point M décrivant une droite correspondent, dans les deux corrélatives d.ont la réunion forme la correspondance quadratique, deux droites décrivant chacune deux faisceaux homographiques, et dont les rayons homologues se coupent sur une conique passant par les pôles et qni est la trf.nsformée de la droite M.

Les droites de l'infini de chaque système ont pour transformée une conique circonscrite aux points principaux. La conique transformée d'une droite quelconque sera hyperbole, ellipse ou parabole, suivant que cette droite rencontre la conique transformée de la droit© de l'infini en deux points réels, imaginaires ou confondus.

Ainsi, une droito se transforme en une conique passant par les pôles, et généralement, à ane courbe de degré n correspond une courbe (C) de degré 2 n passant par les pôles, car toute conique circonscrite au triangle fondamental coupe (C) en 2 » points ; et, comme la transformée d'une telle conique est une droite, cette droite

coupera (C) aux 2 n points correspond,ants. Les pôles sont, pour (C), des points multiples de degré n, car chacun d'eux correspond aux n points d'intersection de (C) avec le côté du triangle fondamental.

Le degré de (C) s'abaisse quand M passe par un des pôles, et le degré de multiplicité des autres pôles sur (M') s'abaisse du même nombre.

Ainsi, une droite issue du pôle A a pour transformé? une droite issue du même pôle. Une conique a pour transformée : l'' si elle passe par les trois pôles : une droite, 2° par deux pôles : une conique passant par ces pôles, 3° par un pôle : une cubique passant par les deux autres et ayant pour point double le premier. Une conique ne passant par aucun pôle a pour transformée une quartique admettant les pôles pour points doubles.

Ainsi, l'essence de la transformation quadratique ponctuelle consiste à transformer une courbe quelconque en une courbe de degré double assujettie à passer par les 3 pôles.

Le point se transforme en point, mais le \^^ point est donné comme simple distance sur xine droite déterminée ; son transformé résulte de l'intersection de deux droites : c'est en quelque sorte un point du second degré. Et ainsi, les éléments points suivent la même loi que les éléments lignes.

Doubler le degré d'une courbe, c'est doubler le nombre de ses intersections possibles avec une droite. Or, chaque fois qu'une courbe traverse une ligne droite (que cela s'opère par des inflexions, par des rebroussements, par des boucles ou par des circonvolutions spirales), elle oscille autour de la direction fixée par cette droite, qui joue à son égard une fonction axiale plus ou moins

prononcée. En élevaat son degré, une courbe se rapproche de la translation pure à laquelle elle subordonne, de plus en plus et suivant des modes variés, le principe de rotation pure représenté par tous ses cercles osculateurs.

La transformation quadratique est caractérisée, à ce point de vue, par la subordination de la rotation élémentaire à la translation en général. Il s'agit de la translation en général et non d'une certaine translation orientée, cas représenté par les asymptotes sous forme individuelle, et par les directions asymptotiques sous forme universelle.

Si la transformation quadratique se bornait à transformer une courbe de degré m en une courbe de degré 2 m sans déterminer sa situa.tion, elle constituerait une progression sans fin et irréversible ; car la courbe de degré 2 m aurait à son tour pour transformée une courbe de degré 4 m, et non la courbe de degré m qui a servi de point de départ.

Mais la transformée d'une courbe ne passant pas par les pôles est assujettie, elle, à passer par les pôles.

Or les 3 pôles déterminent un cercle unique. Toute transformée aura donc 3 points d'intersections avec un même cercle. Et ainsi, le principe de rotation fixé et déterminé par ce cercle équilibre la tendance vers la translation marquée par l'élévation du degré des courbes. C'est le facteur 2, c'est-à-dire le degré qui caractérise le cercle, qui est le multiplicateur des degrés des courbes. L'équilibre entre la translation et la rotation (équilibre sans lequel il n'existe plus d'espace, mais seulement du

temps), se réalise ici sous une forme nouvelle et fort curieuse. Si les courbes élèvent leur degré, c'est à la condition de graviter toujours autour du même centre, et même de se nouer toutes ensemble sur 3 points fixes. Les cas particuliers où la courbe primitive passe par un ou deux des pôles, et pour lesquels le degré de la transformée s'abaisse du même nombre, ne font que mieux affirmer ce balancement équilibré.

La transformation quadratique que naus venons d'étudier n'est que la plus simple de toute une série de transformations se rattachant au même principe. Ce principe est celui de la combinaison de la translation axiale, c'est-à-dire de la translation pure sous son mode le plus élémentaire, avec la translation périphérique, c'est-à-dire de la translation opérée par l'action rotatoire. La similitude conduisant aux spirales nous a montré une combinaison de ces deux principes, mais une combiaaison où le principe de rotation domine et imprime au dé veloppem?nt périphérique un sens toujours la même, le centre de rotation demeurant fixe et la translation ne se manifestant que par la croissance du rayon ou la tendance de la courbe vers sa tangente. Et cela a donné lieu à tout un groupe de courbes transcendantes. Mais l'élévation du degré des courbes algébriques, ainsi que d'autres groupes de courbes transcendantes, telles que les courbes trigonométriques, montrent au contraire le centre de courbure se déplaçant en translation et en général oscillant autour de certains axes.

Il semble que l'embryologie nous fournisse des exemples se rattachant aux transformations quadratiques, En eiïet, de nombreux organes ont pour origine des

masses plus ou moins ovoïdes, qui ensuite se replient en surfaces -courbes de plus en plus sinueuses, formant des diverticules et des lobes multipliés, et cela dans une enveloppe peu variable ; et il serait curieux de savoir si, à travers ees transformations successives, la surface variable n'est pas assujettie à passer par certains points d'attache demeurant fixes.

De plus, cette captation des courbes que leur transformation assujettit à passer par les 3 pôles, liée au doublement du degré des courbes, est un schéma remarquable d' une loi fondamentale de l'univers, la complexité croissante des mouvements quand on les fait se rencontrer sur les mêmes points. Ici, le cofHcient de complexité est le plus net et le plus simple possible: c'est 2, le principe des contrastes et des rythmes, et cela fait pressentir que les transformations quadratiques doivent être fondamentales dans l'économie kosmique.

Lieux géométriques et transformations

On appelle lieu géométrique l'ensemble des éléments spatiaux qui satisfont exclusivement à une relation donnée. Le lieu géométrique représente une sélection opérée au sein de l'étendue, et cette sélection s'exprime dans sa synthèse par une figure, définie par une loi qui est son verbe.

Le lieu géométrique impliquela double notion de coexistence et d'exclusion, qui est le fondement de l'espace. La coexistence ici est donnée par la pluralité des éléments qui jouissent de la propriété considérée ; l'exclusion, par la forme définie -qui prive de cette propriété

tout autre élément de l'espace-Un lieu géométrique subordonne en général une pluralité d'éléments spatiaux à une idée unique. Il représente toujours une synthèse dont le principe unificateur est souvent représenté par un élément ou par un système restreint à quelques éléments.

Voici, à titre d'exemples, l'énoncé de quelques lieux géométriques très simples et remarquable*;, relatifs à la relation constante des dista.nces à deux point fixes :

Cette relation est la somme (ellipse), la différence (hyperbole), le produit (lemniscate), le quotient (cercle), la somme des carrés des distr^nces (cercle ayant pour diamètre la droite qui joint les points fixes).

Les transformations constituent un système de lieux géométriques pour ainsi dire réciproques. Dans le lieu géométrique, uq nombre infini (ou tout au moins plural) d'antécédents est associé à un même groupe restreint (ou à un seul) de conséquents. Dans une transformation, deux figures, c'est-à-dire deux ensembles continus d'éléments géométriques sont coordonnés réciproquement : les antécédents et les conséquents sont des pluralités, et les conséquents changent quand les antécédents changent.

L'unification centralisatrice régit les lieux géométriques ; la réciprocité régit les transformations. Mais le principe centralisateur existe encore dans les transformations. Il y est représenté par les éléments centraux et par les éléments multiples. Les éléments centraux réalisent la centralisation absolue ; ils ont pour corres-

pondant l'élément à l'infini, et ainsi se trouvent équilibrées les deux manifestations extrêmes de la rotation et de la translation. Les éléments multiples réalisent ^Q la centralisation avec de l'étendue ; ils consistent dans la coïncidence de plusieurs éléments correspondants Ce sont les éléments de fusion et d'identification partielle entre les figures.

Développées et podaires

La distinction entre les lieux géométriques et les transformations n'est pas radicale. Certaines relations peuvent se définir soit comme lieu géométrique, soit comme transformation. Telles sont les développées et les podaires.

Pour nous en tenir aux courbes planes, la développée d'une courbe est le lieu de ses centres de courbure. Elle exprime la synthèse des centres de rotation de la courbe en chacun de ses points. Tous les rayons de courbure sont tangents à la développée ; cette courbe est donc aussi la synthèse des directions des rayons de courbure. Or les directions de la développante sont, en chaque point, celles des tangentes aux cercles osculateurs,et ces tangentes sont perpendiculaires aux rayons de courbure qui expriment les directions de la développée. Développante et développée sont donc composées de poicts correspondants qui sont entre eux des infiniment petits de perpendiculaire. Cette correspondance homographique entre les deux courbes exprime la sjmthèse de la perpendicularité sous forme réciproque.

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Si, d'un point fixe, on abaisse les perpendiculaires sur les tangentes à une courbe, le pied de ces perpendiculaires constitue une courbe qui est la podaire de la primitive. La podaire réalise toutes les directions perpendiculaires à celles de la courbe, puisque les direc- Lions de la courbe sont celles de toutes ses tangentes . La podaire est une correspondance corrélative. C'est la synthèse de la perpendicularité sous forme d'une courbe subordonnée à un pôle.

Citons deux exemples. La podaire d'une conique par rapport à l'un de ses foyers est un cercle ; si la conique est une parabole, le cercle devient une droite. Le limaçon de Pascal est la podaire du cercle.

Si l'on construit la podaire de la podaire, et si l'on superpose ainsi une série de podaires, tous les points correspondants qui sont poinl) de tangence par rapport cà l'une des courbes, et pied de perpendiculaire par rapport à la podaire de cette courbe, sont situés sur une spirale logarithmique ayant pour pôle celui de toù tes les podaires . On réalise ainsi une de ces courbes qui opèrent la transition entre la rotation et la translation, en combina,jnt le parcours périodique d'un cycle qui passe par toutes les " directions avec l'accroissement du rayon vecteur. Cette courbe tend vers la translation sans jamais l'attoin- ' dre, et déve'oppe une rotation sans fin, qui no se clôt jamais.

Développées et podaires sont les expressions curvilignes les plus remarquables du principe de la perpendicularité ; leur différence a quelque analogie avec celle qui distingue la série hexaédrique de la série octa,édrique.