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Eléments de contact
Les transformations corrélatives font parfois correspondre des éléments qui sont en contact. Ainsi, lorsque la polaire d'un point devient tangente à la conique directrice, le pôle vient au point dscontaet. Or ce point situé sur la conique appartient en même temps à la droite tangente. C'est là ce qui définit son caractère de point de contact. Considéré isolément comme appartenant à la conique, il pourrait provenir de l'intersection d'une sécante. A trois dimensions, la droite tangente serait remplacée par un plan tangent. On peut donc caractériser la tangence dans Tespace à trois dimensions par l'ensemble du point de contact et d'une portion infiniment petite du plan tangent en ce point : c'est cela qu'on nomme élément de contact.
Le point d'intersection de deux courbes ou d'une courbe avec une surface, ou encore deux points qui coïncident peuvent être aussi associés à cet élément plan et constituer un élément de contact. Ces diverses conditions où la distance entre deux figures devient nulle, sont toutes comprises dans la notion d'élément de contact, et l'on appelle transformation de contact celles qui conservent la relation définie par l'élément de contact.
Les transformations homographiques et corrélatives, et notamment celles des podaires, jouissent de cette propriété. Mais il y en a bien d'autres.
La notion d'élément de contact permet de considérer les surfaces comme formées, non plus comme un lieu de
points mais comme l'ensemble de toutes les sphères qui ont un contact avec elles.
On établit alors des correspondances entre un espace constitué par des sphères qui ontun élément de contact commun et un autre espace constitué par des droites qui émanent d'un point commun {ûgure nommée complexe de droites), -pnis on cherche le lieu des divers éléments de contact qui correspondent à tous les éléments de contact d'un point unique. Si ce point appartient à l'espace des droites, il a pour correspondant une génératrice rectiligne de sphère, c'est-à-dire une droite isotrope. Si ce point appartient à l'espace des sphères, il a pour correspondant une droite réelle. Dans cette transformation, les droites se transforment en sphères. Ce sont les transformations de Sophus Lie qui ont une grande importance dans le calcul difîérentiel, mais sur lesquelles nous
n'insisterons pas ici.
La tangence se définit généralement comme la limite des positions d'un élément sécant, et représente le cas où les "éléments d'intersection viennent se fusionner en un élément multiple. Mais cette définition, comme toutes les définitions par les limites, fait concevoir une chose comme la finalité d'une autre, mais elle n'en exprime pas l'essence. La notion d'élément de contact atteint, au contraire, la notion de tangence par une voie inverse: celle de l'évanouissement de la distance entre deux figures, évanouissement dont le cas le plus élémentaire consiste dans le contact par un point unique, et ce contact ne peut être déterminé qu'en associant ce poin à l'élément géométrique rectiligne de dimension (n — 1).
Toute association du point à un élément curviligne outrepasse le caractère de tangence en un point, et tend vers un autre type, Fosculation , type réalisé par l'élément de rotation pure, la sphère, et qui donne un contact plus intime que la tangence, une tangente continue entre deux éléments infiniment voisins.
Enfin, la tangence suivant la surface tout entière, qui rend cette surface commune aux deux figures, constitue une nouvelle étape des contacts, transformant ea réalisation la tendance au contact superficiel qui caractérise Fosculation.
Dans l'espace à deux dimensions, le même processus s'accomplit entre la tangente, le cercle osculateur et le contact linéaire.
La tangence apparaît ainsi comme tout à fait distincte des intersections par des sécantes. Sans doute, le plan qui ne rencontre pas une surface peut être considéré comme le lieu de sécantes imaginaires, et à ce point de vue, la tangence pourrait se définir comme cas limite des intersections imaginaires. Mais cette conception est tout à fait différente de celle des contacts. La notion des intersections limites est fondée sur la discontinuité et le nombre ; elle part d'un nombre fini de points distincts : ces points se rapprochent et , à la limite, ils occupent touci le même lieu géométrique, qui acquiert ainsi une intensité égale à la somme des points qui sont venus s'y superposer : c'est un point multiple. Rien de pareil dans la notion d'élément de contact, mais seulement la corrélation entre deux éléments géométriques dont la distance est nulle. Ici, le plan qui environne le point quelconque, loin d'être constitué par les points voi,sins qui se rapprochent, est une sorte d'émanation
du point de contact ; il représente la phase inversa de celle qui fait atteindre aux plans sécants le cas limite. Le plan de l'élément de contact semble, au contraire, diffuser en continuité l'intensité du point mtdtijile condensé par discontinuité. Cette notion est un symbole remarquable de la fusion des métaux, qui font passer une agglomération solide, plus ou moins discontinue, à rétatde masse continue et de forme bomogène.
De plus, la notion de contact, liée à celle d'osculation, se conçoit comme résultat d'une tendance toute différente de celle des intersections. Par les intersections, une foi me en pénètre une autre. Toutes deux ont certaines de leurs parties dans un lieu commun, mais le contraste des directions propres aux deux figures persiste. Il y a évanouissement de la résistance matérielle marquée par la distance, mais séparation al>solue des idées et des actes auxquels répondent les directions. La tangenoe, comme cas limite^ est alors une élimination graduelle de l'identité de lieu et du contraste de direction. Au contraire, dans les contacts, il y a évanouissement de distance, mais en même temps fusion des direotions au point de contact, fusion prolongée virtuellement et comme par un désir dans l'osculation, sorte de baiser que se donnent les formes. Par contre, il n'y a pas pénétration, la distance ne s'évanouit que sur l'enveloppe ; les deux figures en contact ne se croisent pas, si ce n'est . par inflexion. C'esb dire que les rayonnements émanant de leurs centres de courbure ne se pénètrent jamais en sens inverse.
Les contacts représentent donc le summun de synthèse réalisable à la fois par la matière et par l'idée demeurant distinctes. Les intersections établissent une plus grande pénétration de la matière, mais avec conflit de l'idée. Seule la superposition, dont le degré ultime consiste dans la congruence (ou égalité géométrique), réalise la fusion de la matière et de l'idée des deux figures en fusionnant les individus. On peut encore alors concevoir la matière et l'idée de chacune des deux figures comme distinctes, bien qu'occupant le même lieu ; alors, . le résultat est une figure complexe, se qualifiant ou s'intensifiant suivant que cette distinction demeure explicite ou devient implicite. Ces deux cas extrêmes répondent à la perception synthétique et à l'impression dynamique, leur alliage à la sensation.
Les éléments de contact sont ainsi le dernier vestige de la congruence, la congruence réduite à un point et à son rayonnement inétendu. Et les transformations de contact évoquent le régime vibratoire à son degré le plus élémentaire. Elles permettent les dissemblances les plus grandes entre les figures correspondantes, et les associent seulement par ces congruences d'infiniment petits, caractérisées par réva,nouissement de la distance. Elles sont le schéma de l'unisson vibratoire allié à la diversité des timbre8,et chaque individu colorant le chant universel de caractère propre.
Les notions de contact et d'intersections reçoivent une généralisation nouvelle dans la topologie, en même temps que les figures géométriques sont de plus en plus altérées par les transformations. La topologie efîace la pluralité des éléments définie par les angles. Elle ne considère que les communications spatiales: et les rela-
tions fondamentales qui en font l'objet sont les contiguïtés et les coupures. Ce n'est là qu'une extension à des éléments étendus : ligne, surface, etc. de la distance nulle réalisée entre des points, dans les contacts et les intersections. Les figures closes sont alors le lieu d'un centre indéterminé de rotation renfermé dans une certaine zone ; les chemins réalisent une translation n'ayant pas de loi propre etfne tenant sa détermination que du milieu où elle s'opère.
Invariants
Il y a des figures tout entières qui, dans une inversion, sont leur propre transformée ; elles servent pour ainsi dire de pivot dans la transformation. On les dit anallaginatiques. Toute courbe anallagmatique, dans une inversion, est l'enveloppe d'une série de cercles qui coupent orthogonalement un cercle fixe ayant son centre 8.u centre d'inversion et, pour rayon, le module de transformation. Le lieu des centres de ces cercles est une courbe dite déférente de l'anallagmatique. C'est là une généralisation de ce que fournit l'involution et les faisceaux de cercle. (La déférente répond à la base d'involution.)
Comme courbes anallagmatiques, on peut citer : le cercle, la strophoïde, la cissoïde, le limaçon de Pascal, les ovales de Cassini, les quartiques bicirculaires ou circulaires à points doubles, et comme surface, la cj^clide de Dupin, qui est la transformée du tore.
Aiasi, à travers les différences de qualités qui résultent des relations spatiales, certains caractères demeurent intangibles. La nature offre, dans tous les ordre»
évolutifs, de pareils objets qui demeurent réfraetaires aux influences variables de certains milieux. La notion d'anallagmatisme, dans la physique, dans la biologie, dans la sociologie, doit avoir un rôle important, Peutêtre rendrait-elle compte de ces situations privilégiées de certains équilibres, systèmes de mouvements, structures des corps, fonctions biologiques, caractères morphologiques, ethniques ou psychiques, qui restexit inébranlables à travers les renversements des conditions ambiantes.
On exprime une figure transformée en fonction de la figure primitive, par le symbole de celle-ci affecté d'un coefficient qui caractérise la transformation. Cette représentation n'a rien de conventionnel ; elle s'impose pa,r la nature même du concept, car tout coefficient indique un modificateur de l'objet auquel il s'a,pplique. Les produits algébriques peuvent, à un certain point de vue, être considérés comme un cas particulier de ces modifications. Leur symbole peut donc servir à exprimer des transformations ; mais on ne doit pas déduire de là sans vérification que les lois des produits s'appliquent aux transformations. On sait que la multiplication algébrique appliquée aux quaternions, continue d'être associative, mais cesse d'être commuta,tive. C'est justement ce qui a lieu pour les transformations : on peut grouper en une seule plusieurs transformations successives, mais on ne peut pas toujours intervertir leur ordre. Elles ne forment pas nécessairement un cycle et peuvent conduire à une série sans fin. Tel serait le cas d'une transformation doublant le degré des courbes sans astreindre les transformées à passer par des points fixes, comme dans les transformations qua-dra tiques.
On dit qu'un ensemble de transformations forme un groupe lorsque le produit de deux quelconques d'entre elles appartient à l'ensemble. On peut ainsi schématiser un groupe par un polygone inscrit dans un cercle, les sommets répondant aux figures qui s'obtiennent par les diverses transformations, et les transformations répondant aux cordes menées entre les sommets, et constitua nt le polygone convexe et le polygone étoile.
On appelle invariant du groupe l'élément qui persiste à travers toutes les transformations du groupe. Il représente l'élément immuable nécessaire à toute synthèse ; il peat consister soit dans la fixité d'un centre d'un axe ou d'une figure, soit dans une relation. Ainsi, dans la transformation homographique, un système de 3 points n'a pas d'invariant, mais un système de 4 points a pour invariant fondamental le rapport anharmonique.
L'invariant d'un groupe, c'est l'élément centralisateur qui relie tout un système de transformations. Et.comme nous le verrons plus loin, toute géométrie implique un invariant ; car c'est là ce qui établit le caractère immuable d'un espace, caractère sans lequel on ne pourrait concevoir ni situations ni étendue.
