CHAPITRE IV

Étendue et Situation

Toute relation géométrique se compose d'une donnée d'Etendue (translation) et d'une donnée de Situation (rotation). L'Etendue répond au caractère exclusif de l'individualité ; tantôt elle se présente comme le domaine spatial que s'approprient les individus : elle constitue alors la grandeur dés figures ; tantôt elle se manifeste comme le domaine universel qui boiiie et isole les individus :elle constitue alors les distances. La Situation se rapporte tantôt aa milieu universel de l'espace, pour établir les relations qui édifient la synthèse des individus entre eux, tantôt aux parties d'une figure pour établir les relations qui en définissent le type individuel.

L'Etendue est l'objet principal de la Géométrie Métrique la Situation est l'objet principal de la Géométrie de Position. Mais aucune relation ne peut être géométrique, si elle ne comprend à la fois une donnée de situation et une donnée métrique. L'absence de toute donnée de situation réduit la géométrie à de l'algèbre pure ; l'absence de toute donnée métrique transforme la géométrie en esthétique. Ce qui distingue la Géométrie de Position de la Géométrie Métrique, c'est la prépondérance de l'une de ces deux données et l'indétermination relative de l'autre.

Il est clair que toute donnée métrique : oongruence (égalité géométrique), similitude, homographie, impliquent toutes des relations de situation, puisque la propriété métrique énoncée s'applique toujours à certaines situations plus ou moins déterminées. Et, d'autre part, toute situation géométrique implique une relation métrique plus ou moins déterminée, puisqu'elle est exprimable par une équation. Cette union étroite entre l'Etendue et la Situation a donné lieu à deux thèses opposées, cherchant à absorber l'une de ses propriétés dans l'autre. On a soutenu, d'une part, que la Géométrie de Position ne contenait aucune donnée métrique, et l'on a prétendu d'autre part, que la Géométrie n'est qu'une partie de l'Analyse Algorithmique, et les éléments géométriques rien de plus que des noms arbitraires attribués à certains éléments et à certaines fonctions algorithmiques. Il importe donc de montrer en quoi ces deux thèses sont défectueuses.

La Géométrie de Position et la Géométrie Métrique

La Géométrie de Positioji se présente sous deux formes équivalentes, comme Géométrie Descriptive ou comme Géométrie Projective. La Géométrie Descriptive considère la ligne droite comme un segment limité ; la relation fondamentale qui lui sert de base est la situation d'inclusion qui, sur la ligne droite, c'est-à-dire en fonction de la translation pure, se réduit à la relation d'être situé entre... Cette notion implique un rapport d'étendue générique entre 3 éléments : celui de plus grand ou plus

petit. La Géométrie Projective considère la ligne droite comme un cycle fermé à l'infini ; sa relation fondamentale est la séparation, c'est-à-dire une réciprocité liant deux relations d'entre... Cette notion implique un rapport métrique entre 4 éléments : la Relation Anharmonique. Mais, d'autre part, la notion de séparation peut être considérée comme primitive ; elle sert alors de hase à la forme la plus élémentaire des notions de situation, et donne le germe de la qualité par l'opposition du positif et du négatif. A ce point de vue, la notion d'entre répond à la même fonction. Mais, dans la notion de séparation, l'activité est attribuée à l'élément qui sépare, dans la notion d'entre, il apparaît comme passif.

Ces deux géométries traitent des mêmes questions. Leur donnée primitive est exprimée, pour la Descriptive, en fonction de la translation, pour la Projective, en fonction de la rotation. Toutes les deux laissent de côté les notions de mesures individuelles (congruences, distances, capacités); mais elles impliquent néanmoins des relpjtions métriques plus ou moins déterminées.

Et d'abord, les simples notions d'inclubion, de dedans et de dehors, impliquent la nrtion de plus grand et de plus petit, donc une donnée d'étendue et même une mesure approximative, pp^r l'évaluation d'une limite supérieure assignée à la. plus petite des grandeurs. En même temps, l'inclusion évoque la situation, car elle divise l'espace en deux régions, l'une subordonnée à la rotation, l'autre à la translation.

Mais, en outre, tout lieu géométrique implique des notions métriques plus précises et souvent exprimables par dos fonctions explicites. Dire qu'un lieu géométrique répond à un angle donné, c'est indiquer une relation de mesure angulaire. Dire que le lieu géométrique répondant à telle relation de pure position est telle figure, par exemple une conique, c'est indiquer immédiatement un certain nombre de relations métriques entre les divers points du lieu. Ces relations embrassent des paramètres indéterminés, puisque, suivant les cas, la conique peut être une ellipse, une hyperbole, une parabole, un cercle ou deux droites, et cela avec des situations, des excentricités et des grandeurs diverses ; mais il demeure toujours certains rapports métriques inhérents à toute conique.

Les alignements n'échappent pas à l'ingérence des relations métriques, car ils sont liés à la relation anharmonique entre 4 points, ou à l'involution entre 6 points.

Les points de concours, les intersections, les contacts, les contiguïtés et les coupures impliquent toute la notion métrique de distance nulle.

Ainsi, une donnée d'étendue est toujours liée à une relation de situation, mais ce qui caractérise la géométrie de Position, c'est qu'elle considère les éléments Géométriques qui découlent immédiatement de l'essence de l'espace en demeurant aussi loin que possible des cas spéciaux répondant aux valeurs métriques remarquables. Et les figures plus ou moins typiques s'introduisent dans la Géométrie de Position, non en vertu de ces prérogatives métriques, mais comme résultante des combinaisons des éléments simples de l'espace s'associant suivant certaines conditions.

Les coniques, par exemple, ne figurent pas ici en vertu d,'une relation de distance avec deux foyers, ni même comme sections d'un cône, mais plutôt comme intersections des rayons homologues de deux faisceaux, etc.

Les objets propres de la Géométrie de Position sont avant tout 1° les collections d'éléments simples, c'est-àdire la "ponctuelle, ensemble discontinu de points formant une ligne, 2° \q faisceau de rayons et la gerbe de surfaces, collections de lignes ou de surfaces passant par un point commun, 3° le faisceau de surface, collection de surfaces passant par un même axe. Cas formes sont de 1'^ espèce, parce qu'elles ne sont formées que par une sorte d'éléments. Elles peuvent être engendrées les unes par les autres. Ainsi, la ponctuelle peut être considérée comme section d'un faisceau de lignes, le faisceau de lignes comme section par une surface d'un faisceau de surface'; le faisceau de surface, comme la projection d'un e ponctuelle.

11 y a des formes d'espèces supérieures réunissant plusieurs formes de \^^ espèce : tel le système plan, qui comprend le système de tous les points et de toutes les lignes d'un plan ; telle la gerbe de rayons, constituée par tous les plans et toutes les lignes d'un faisceau à 3 dimensions, etc.

Les relations métriques et les figures typiques qui leur correspondent apparaissent comme des situations remarquables où les combinaisons des formes élémentaires atteignent un caractère synthétique exceptionnel. Ces figures répondent généralement aux valeurs métriques singulières qui arrivent lorsque plusieurs paramètres deviennent égaux entre eux ou s'évanouissent dans les valeurs extrêmes : zéro ou l'infini. Toute valeur singu-

lière consiste ainsi dans l'évanouissement de quelque relation de quantité, et c'est là ce qui fait éclore une qualité nouvelle, objet de la Géométrie de Position. Il n'y a là qu'une application d'une loi métaphysique des plus essentielles : La Quantité est la résistance de la matière à Vidée , et la Qualité est V élimination de cette résistance et Vidéation de la ^matière.

La Géométrie Analytique

Tandis que la Géométrie Projective tend à éliminer de plus en plus les relations métriques,la Géométrie Analytique tend, au contraire, à réduire toute donnée de situation en relation métrique. Or on parvient à exprimer par une équation toute donnée géométrique ; une même équation est susceptible de plusieurs traductions géométriques différentes, et de plus, les expressions analytiques présententd'ordinaire un degré de généralité plus vaste que les données géométriques qu'elles traduisent. On est ainsi amené à concevoir notre espace représenté comme une modalité particulière entre bien d'autres également concevables. Alors, les propositions fondamentales indémontrées et tenues pour évidentes, qu'on nomme axiomes, apparaissent comme d,e simples hypothèses entre bien d'autres possibles qui engendreraient des géométries tout autres.

Ces constatations ont porté certains esprits à conclure que l'espace est une pure création de notre esprit, dont les lois dépendent uniquement d es hypothèses arbitraires que nous choisissons pour basé. La géométrie est alors considérée comme une simple « branche de la théo-

rie des nombres », et les éléments et opérations géométriques sont définis indépendamment de toute représentation, uniquement par des propositions analytiques dans lesquelles on remplace les noms des fonctions algorithmiques par ceux des objets géométriques. Les éléments géométriques ne différeraient ainsi des éléments analytiques que par les noms rappliques aux mêmes concepts.

Cette thèse contient deux conclusions qu'il faut nettement séparer : 1° la géométrie, construite par l'expérience et basée sur certaines données tenues pour évidentes, a'est pas la seule possible ; 2° toutes les géoméries dépendent d'hypothèses tout - à fait arbitraires ; l'espace ne tient sa réalité que des créations de notre esprit ; il n'a d 'autre existence que les relations purement formelles exprimées par l'analyse.

Nous allons essayer de montrer que la première de ces conclusions doit être admise, et la seconde rejetée. Les données géométriques se décomposent toutes en quantité et qualité. La translation ou l'Etendue est l'élément quantitatif ; il est naturellement exprimable par desnombreSx(Il s'agit du nombre pris dans toute sa généralité.) La Situation, élément qualitatif, se ramène à des combinaisons de directions, autrement dit à des assemblages d'angles. Or nous avons déjà vu que les directions sont exprimables par le rapport entre deux éléments de translation, déterminé par an S^. Il s'ensuit que toute donnée géométrique est exprimable par une formule analytique, à la condition d'appliquer les divers éléments de ces formules à des directions convenues, et les opérations analytiques à des opérations géométriques.

Définitions analytiques des éléments

En géométrie analytique, on définit le point comme l'ensemble àe n quantités dans un espace à n dimensions, quantités qui sont ses coordonnées. Cette définition exprime une propriété du point, mais n'explique pas sa notion. La notion du point consiste dans Vindividualité élémentaire, indivisible et indécomposable en fonction de V espace; le point est l'élément inétendu, germe et évanouissement de l'étendue. Le point n'a donc aucune forme spatiale, et ne peut être distingué en fonction de l'espace que par ses relations avec cet espace. Les coordonnées sont ces relations. Mais les coordonnées ne sont des lignes que si l'espace est considéré comme construit par des lignes, c'est-à-dire s'il est dimensionnel. Il résulte de là que la définition analytique du point n'est nullement une convention arbitraire, mais seulement la traduction en langage analytique d'une propriété qui découle de l'essence même du point, c'est-à-dire de l'individualité inétendue. Le point est, par rapport à l'espace, l'individualité élémentaire sans quantité ni qualité propre et distincte seulement par les relations qu'elle pose dans un milieu.

Si donc on fait abstraction de la forme et de la grandeur d'un élément géométrique quelconque pour ne considérer que sa situation, cet élément, quel qu'il -soit, pourra être exprimé par un ensemble de coordonnées ; il sera alors assimilé à un point, non que la nature du point soit arbitraire, mais parce que le point est la réalisation géométrique de l'individualité élémentaire, distinguée uniquement par ses relations avec son milieu.

Cette abstraction de la forme et de la grandeur est particulièrement aisée quand il s'agit justement d'éléments simples tels que le plan sans contours ni limites. Mais ces substitutions ne sont pas de simples questions de mots, plan et point ne sont pas des synonymes. On ne crée pas les quantités géométriques en nommant coordonnées les variables, et point ou plan leur ensemble ; on se borne à constater une propriété commune à deux natures d'objets d'essences très distinctes ; on leur applique simplement un caractère métaphysique qui est exprimé d'une manière purement formelle et indépendamment de toute application à des objets par l'expression analytique.

Analytique ment, on appelle ligne l'expression d'un point variable dont les coordonnées sont fonction d'une seule quantité. Nous avons défini la ligne comme étant l'élément géométrique de translation, et la translation comme étant le changement de relations d'un sujet avec son milieu quand ce sujet fonctionne comme unité élémentaire et indivisible. L'essence de la ligne étant ainsi établie indépendamment de toute représentation, est applicable à toute espèce de géométrie ; on comprend alors pourquoi elle s'exprime analytiquement par les variations d'un point dépendant d'un seul paramètre, paramètre qui mesure la translation. Aucun repère n'existant en dehors de cette trajectoire, il est impossible de distinguer une ligne droite d'une courbe.

Dans la nouvelle géométrie analytique, on appelle surface la variété h n — 1 dimension , au sein d'un espace à n dimension. C'est ce que nous avons appelé jusqu'ici élément-enveloppe. Nous adopterons à l'avenir

la terminologie consacrée. Là surface s'exprime naturellement par une fonction an — I paramètres. Cela ne soulève aucune difficulté, car une variété d'un nombre de dimensions données doit évidemment être fonction de chacune d'elles.

Expressions analytiques des relations géométriques

Dans l'interprétation géométrique des formules, les variables représentent les grandeurs qui seront comptées suivant des diretîtions^ convenues, et dont l'ensemble permet de définir sans ambiguïté un lieu quelconque de l'espace. Les autres quantités qui interviennent dans les équations sont nommées paramètres. Elles peuvent interveair suivant les divers algorithmes.

Tout paramètre indépendant des variables ne peut exprimer qu'une grandeur, qu'on ne pourra représenter sans une convention préalable. Si le paramètre est une ligne, ce sera une translation; si c'est un angle, ce sera une rotaition. Mais ces déplacements ne changeront rien e-ux relations réciproques des variables; ils transporteront en bloc leur système. Telle est la traduction de la sommation.

L'algorithme reproduction indique un rapport de direction avec les coordonnées. En effet, les deux formes

de cet algorithme sont ax ou —

La forme ax exprime une modification quantitative de a;. Or, si l'on fait tourner une ligne indéfinie autour

<i'un. point fixe, le segment intercepté sur elle par une transversale fixe varie avec l'angle, et ce segment variable est, pour chaque position, une projetante de la même projection x.

L'expression — répond à la même relation, mais

au lieu de caractériser le segment intercepté sur la projetante par la transversale fixe, elle iadique le seg nent opéré sur cette transversale par la projetante. Dans le Oà9, spécial où la transversale fixe est perpendiculaire à la direction initiale, le coefficient a de la P^ expression est le cosinus de l'angle qui sépare la projetante de sa

projection, et le rapport — de la 2" expression est la

tangente trigonométrique du même angle.

Ce cas auquel répondent les fonctions trigonométriques n'est pas simplement un cas particulier, mais le cas typique élémentaire ; car, d'une part, l'angle droit est le fondement de la construction dimensionnelle et du maxim-jim de contraste simultané ; et, d'autre part, les fonctions trigonométriques possèdent une origine algorithmique tirée du nombre e, et indépendante de leur application géométrique. L'angle de projection convenu est alors représenté par l'unité et disparaît des formules ; mais il faut toujours retenir que ce coeffi-

Tlfh

cient non exprimé existe. L'algorithme — exprime la

division de m en ic parties ou l'évaluation de ra quand x est pris pour unité ; il exprime donc encore une modifi-

cation de x. Les expressions ax et — seraient suscepti-

Hes, il est vrai, d'autres traductions géométriques ;

mais si l'on y regarde de près, on verra que le choix de l'angle de projection n'est arbitraire qu'en apparence^ En efïet, on pourrait prendre la longueur ax sur le même axe que la longueur x ; mais cette réalisation serait purement numérique et non géométrique : les quantités a et a; seraient des nombres de même nature, une simple application de nombres à une grandeur géométrique et qui pourrait être aussi bien d'une autre nature. A ce titre, rien ne différencierait l'opération ax de l'opération X -{- b, b étant convenablement choisi pour que ax = x-\-b. A l'opposé de cette interprétation, on pourrait considérer a et x comme deux grandeurs géométriques, et alors , sauf un coefficient angulaire qui, dans le cas d'une projection orthogonale, est égal à l'unité, le produit ax exprimerait un rectangle de côtés a et x. Des interprétations de ce genre se rencontrent en géométrie; mais ici, elles seraient inadmissibles, car il s'agit de mesurer des angles par des lignes ; les deux facteurs a et X sont donc d'esseace différente, a est un nombre, X est une longueur, et par conséquent, le produit ax ne crée pas de surface, mis modifie la longueur x (1). Cette modification ne pourrait se traduire par une translation que si l'on considérait a comme un facteur dynamique faisant croître ou diminuer x, comme un coefficient de dilatation, par exemple' mais ce serait introduire des données extragéométriques. La seule manière de modifier X géométriquement, non par une pure accession étrangère, mais par une influence à laquelle il participe,

(1) Si OQ ne veut pas considérer les coordonnées comme étant forcément des longueurs, le raisonnemfint u'en SLbsiste pas moins, le produit a x ne doit pas créer une nouvelle essence géométrique sous peine de détruire l'élément qui sert de mesure

c'est donc de le projeter. Et ainsi, l'on voit que l'interprétation de a comme coefficient angulaire est pour ainsi dira, nécessaire ; et, si l'on se donne l'illusion d'une convention arbitraire, le choix est en réalité prédéterminé par l'intuitijon inconsciente de cette nécessité.

On pourrait de même analyser l'expression — .

L'algorithme de la graduation, appliqué aux variables des équations, variables qui expriment les coordonnées, donne lieu à une certaine ambiguïté. Nous avons vu que , dans son essence, cet algorithme exprime un développement intensif. Ce développement n'est susceptible de traduction géométrique que médiatement,par une équivalence. La manifestation géométrique la plus voisine de l'essence de cet algorithme c'est évidemment le développement dimensionnel, x ^ répondant au carré, x ^ au cube, etc., construits sur le côté x. Nous nous sommes étendus précédemment sur ce sujet. Et c'est comme altération de cet algorithme de la graduation que les produits de la forme ax engendrent des rectangles de côtés a et X, etc.

En géométrie analytique, quand les coordonnées figure à diverses puissances, au carré par exemple, la relation constante des coefficients numériques qui relie les variables a Heu entre les carrés construits sur les coordonnées. Telle l'équation du cercle x'^ -\-y'^='B, ^. Mais la Géométrie Analytique est astreinte à se servir uniquement des coordoimées, et non des formes qu'elles sont susceptibles d'édffier dans des espaces de dimen-

sions supérieures : elle ne se sert de ces relations que pour en déduire celle qui existe entre les premières puissances des lignes ; elle yie retient pas les formes géométriques supérieures, mais seulement le nombre qui les exprime.

Si une relation constante a lieu vis-à-vis d'une certaine puissance des coordonnées, la relation correspondante entre les autres puissances des coordonnées, et notamment entre les coordonnées elles-mêmes, ne peut être constante, cela en vertu des lois algorithmiques. Or la relation constante entre les coordonnées exprime un angle constant de la projetante avec les axes ; la projetante est donc alors une ligne droite, et toute équation du 1®"^ degré exprime une ligne droite.

Au contraire, quand l'angle varie, à mesure que les coordonnées croissent, la ligne projetante est nécessairement courbe. C'est donc nécessairement, et non eu vertu d'une convention arbitraire, qu'une équatior; du P^ degré entre les coordonnées exprime une ligne droite.

Ce n'est pas l'équation du 1^'' degré qui définit la ligne droite. Elle n'en crée pas l'essence, mais se borna à être la traduction de cette essence par les relations qui en découlent. Nous avons défini les éléments rectilignes comme la réalisation de la translation pure, autrement dit de ces relations où le sujet varie comme élément indivisible, sans rapporter ses changements d'états à aucun repère extérieur. Ceci implique, pour tout translation pure, une orientation jugée invariable, autrement dit le caractère rectilinéaire. Cela s'applique à toutes lès géométries possibles. Les expressions de la ligne droite ne diffèrent dans les diverses géométries que lorsqu'on veut les exprimer en fonction de la géomé-

trie euclidienne, géométrie qui suppose absolu le caractère exprimé comme relatif dans les autres géométries. Mais, si l'on tient chaque géométrie comme primordiale, l'expression sera toujours la même. Les coordonnées interviennent en effet toujours comme élément de translation pure, c'est-à-dire d'éléments dont la direction est tenue pour indépendante de tout lieu extérieur à leur propre tracé. Qu'il s'agisse de coordonnées curvilignes ou d'espaces non euclidiens, l'allure de ces lignes dépend d'un paramètre général une fois établi, qui fait partie intégrante de leur essence ; ces lignes sont ainsi toujours supposées de direction invariable et assimilables à dos droites.

Les algorithmes transitifs appliqués aux variables,c'està-dire ceux où les variables figurent comme exposants, fonctions trigonométriques ou logarithmes,donnent lieu à des observations analogues à celles qui concernent la graduation. Au point de vue analytique, x '' indique que la coordonnée x a pour coefficient {n — 1) quantités égales à elle-même et variant avec elle, ce qui entraîne un a^igle variable et une courbe. De même, log. a; ou a^ ou 5m a; indiquent des modifications de la coordonnée qui dépendent de la valeur même de cette coordonnée, donc des courbures. Nous n'avons pas à distinguer ici les genres de courbes qui répondent à ces diverses fonctions. Il s'agit simplement de montrer que les traductions géométriques de ces algorithmes ne tiennent pas à des conventions arbitraires, mais découlent nécessairement

des propriétés communes aux essences géométiiques et aux essences analytiques.

Valeur des définitions analytiques

L'erreur de la thèse qui veut ramener la Géométrie à a'être qu'une branche de l'Analyse provient d'une confusion entre la représentation et le concept de l'Espace. Nous avons, dès le début de cet ouvrage, distingué ces deux composantes, et montré qu'il existe une notion d'espace qui répond aux conditions nécessaires de l'existence individuelle au sein de l'universel, et qu'il y a des caractères essentiels et nullement arbitraires impliqués par la notioQ d'espace. C'est l'Espace métaphysique que les expressions analytiques conservent seul, et dont elles donnent la traduction purement formelle, tandis que les diverses représentations donnent les applications plus ou moins particulières et diverses de cette essence. Qaaad les fonctions analytiques sont implicites, elles expriment que des individus (les variables) sont reliés par une certaine fonction non définie (le milieu), c'est là un caractère générique qui répond justement à l'essence de l'Espace.Mais, quand on donne à ces fonctions des formes explicites, c'est-à-dire quand on détermine les opérations algorithmiques qui les constituent et qu'on a trouvé en même temps des opérations géométriques susceptibles de leur correspondre, les formules peuvent s'adapter aux divers espaces représentés cela dans la mesure où peuvent s'établir ces correspondances. Là, il subsiste une part d'arbitraire entre divers modes d'associations possibles de l'Analyse à la Gréométrie ; mais cet arbitraire est limité par les con-

ditions métaphysiques qui résultent de l'essence même de l'Espace.

Cette essence, les formules ne l'expriment que médiatement, comme un groupe de propriétés^ cela parce qu'elles sont analytiques. Toute analyse, en effet, dissèqu3 eti laisse échapper le mode de Uaison, le facteur synthétique qui est substance dans l'individuel, essence dans l'universel. Et comme l'école nominaliste ne procède que par analyse, elle méconnaît la réalité de ce facteur que l'analyse détruit, et elle le confond avec la représentation,qui est le symbole naturel,mais relatif à nous, par lequel les substances et les essences deviennent assimilables à notre intelligence.

^. Or,comme les formules ne retiennent que les propriétés sans saisir leur mode de liaison (1), elles acquièrent par ce fait un plus haut degré de généralisation et deviennent applicables à toutes les espèces géométriques douées des mêmes propriétés et qui diffèrent seulement par les modes de liaison (essence). Mais, soit dans leur acception particulière, soit . dans leur acception, générale, elles ne sont que des abstractions des objets géométriques, et c'est à tort qu'on les identifie avec eux et qu'on leur applique les mêmes noms. De plus, on ne devrait jamais, sou§j)rétexte que la notion d'une espèce a conduit à celle d'un genre qui l'enveloppe, étendre le nom de l'espèce au genre tout entier. Cette double con-

(i) Par exemple l'expression du point ou du plan par un ensemble de 3 coordonnées dans jil'espace h 3 dimensions n'indique nullement comment sont liées ces coordonnées pour réaliser soit un point, soit un plan.

fusion est la seule cause qui perraet d'attribuer indifiPéremmetit à une même formule les noms de divers objets géométriques, comme le point ou le plan.

La Géométrie Analytique Générale fait donc abstraction non seulement de l'élément représentatif des objets géométriques, mais encore de leur élément synthétique, qui est leur essence, de celui qui géométrise un groupe de propriétés. L'élément représentatif est le symbole naturel de cette essence, symbole relatif à nos conditions de perception. A ces symboles naturels, la Géométrie Analytique substitue des symboles conventionnels expiimant isolément les propriétés en lesquelles elle dissocie l'essence. En s'affranchissant de la représentation, elle permet d'atteindre des applications de l'essence à des modes de représentation, étrangers au nôtre ; mais ces modes irreprésentables pour nous ne nous sont révélés que par voie d'analyse et exprimables par des symboles conventionnels. De là l'illusion d'une vertu créatrice attribuée à ces symboles.

Les défiîiitions analytiques des dimensions et des déplacements, qui constituent l'effort suprême de réduire la Géométrie à l'Analyse, voTit, je l'espère, nous permettre de mettre mieux en évidence les défauts de la thèse que nous combattons.

Définition analytique des Dimensions

On a voulu définir la notion de Dimension sans faire appel aux représentations géométriques, en s'appuyant uniquement sur des données analytiques. On s'appuie alors sur la conception purement analytique du continu.

Nous allons essaiyer de résumer l'exposé que M. Poinc?>ré et fpiit de cette théorie (1).

On dit qu'un ensemble d'éléments C forme un continu d'un seul ten?int entre A et B, lorsqu'on p^iSsede A à B, ou réciproquement, par diverses suites d'éléments tels que chacun d'eux est indiscernable de ses voisins et discernable de ses non-voisias, les éléments A et B étant chacun iadiscemaibles de leurs voisins qui appartiennent à la suite.

Si l'ofl extrait d.e l'une de ces suites un certe,in nombre d'éléments, leur système constituera ce qu'on appelle une coupure. Cette coupure peut être constituée soit par des éléments tous discernables entre eux (ensemble discontinu), soit par des éléments disposés comme dans l'ensemble C, et former aussi un ensemble continu.

D'autre part,certi,iQes des suites établies dans l'ensemble C de manière à relier contiaûment A et B peuvent avoir un ou plusieurs de leurs éléments, qui seront indiscernables d'un ou de plusieurs éléments appartenant à la coupure. La coupure divisera ces suites. Au contraire, les suites dont les éléments sont discernables des éléments de la coupure ne seront pas divisés par elle.

Si le continu C peut être divisé par des coupures qui consistent en un système discontinu, il est dit à une dimension (en effet, des points isolés sur une ligne la divisent). Si, pour diviser le continu C, il faut une . coupure qui soit elle-même un continu à une dimension, le continu C aura deux dimensions (en effet, une sur-

[i) La valeur delà science, par H. Poincaré.

face ne peut pas être divisée par un système de points isolés ; elle peut yêtre par une ligne.) Et ainsi de suite. Le continu à n dimensio^iis est celui qui est divisé par un continu k n — 1 dimensions. Le nombre de ces divisions superposées, réalisables sur un continu et ses coupures de différents ordres, coupures dont la dernière est un système discontinu, exprime le nombre des dimensions de ce continu.

Cette théorie aborde la notion de Dimension par un procédé diamétralement opposé à celui que nous avons employé. Partant d'une variété spatiale donnée, nous avons posé un élément spatial élémentaire (point) non <;ompris danà la variété donnée, et par conséquent, ■contrastant avec cette variété tout entière, et reliable à cette variété par une continuité spatiale. Nous avons précisé davantage en schématisant la dimension par la direction de contraste maximum. r; PT^ ^

La théorie analytique prend pour point de départ le continu spatial dans lequel nous posons l'élément de contraste ; elle le divise par une variété spatiale de degré immédiatement inférieur. L'élément diviseur est la variété spatiale qui nous a servi de base. Le continu au 'sein duquel s'opère la division ou le contraste est le dividende. Quant au quotient, il est représenté, dans le cas du contraste, par la direction de contraste maximum, et, dans le cas de la division, par la donnée numérique de V^ dimension. Nous réalisons le contraste maximum n fois par rapport au système spatial obtenu par l'opération précédente ; la thèse analytique réalise n fois la division du continu restant dans la coupure précédente.

Ces deux théories cependant ne sont pas équivalentes.

La théorie analytique paraît plus générale. Eliminant toute notion de direction, elle aboutit à cette conséquence étrange de systèmes géométriques ayant un nombre de dimensions supérieur à celui de l'espace qui les contient. Ainsi, le groupe des déplacements dans l'espace à 3 dimensions est un continu à 6 dimensions. Or c'est là déformer plutôt que généraliser la notion de dimension. Dira-t-on que l'analyse rejette toute influence intuitive et crée ses motions d'une manière purement arbitraire : alors pourquoi donner à ces notions arbitraires le nom d'une notion intuitive qui contient des caractères étrangers, et souvent réfractaires à cette assimilation ?

Cette définition analytique des dimensions contient, comme l'autre, les facteurs constitutifs de la notion de Dimension : une continuité et un contraste ; mais elle n'indique pas leur fonction respective, et c'est cela qui entraîne la pseudo-généralisation que nous avons signalée.

Le continu y est défini analytiquement J'ai critiqué ailleurs (1) la thèse qui considère la notion de continu comme une pure dérivation de celle de nombre, et j'ai soutenu que la notion du continu est aussi primitive que celle de nombre j et que la Géométrie (dont cette notion est la base) n'est pas une simple brajiche de l'Analyse. On peut déduire au même titre, l'une de l'autre, les deux notions fondamentales de nombre et de continu, cela en les portant chacune à sa limite. Mais ce procédé

(i) V. Les Principes des mathématiques de M. Coutural et la métaphysique . Revue de Philosophie (mai-juin 1906),

transitif implique préalablement les deux notions qu'il relie : il ne peut être employé que comme instrument de mesure, d'analyse et de synthèse, de comparaison et d'assimilation, mais il ne peut fonder une notion ni donner sa définition essentielle.

Mais laissons cette critique. La définition analytique ne révèle pas la fonction du milieu continu qui intervient dans la notion de Dimension ; elle ne montre pas que, sans ce continu, l'élément de contraste serait saisi comme une différence de qualité par rapport à la variété spatiale donnée, et qu'il ne pourrait pas former avec elle un système spa^tial.

La définition sjialytique implique la fonction de contraste par le fait de la division accomplie dans le continu donné. Le fait de ne pouvoir diviser un continu spatial que pg,r une variété de l'ordre immédiatement inférieur n'est que l'expression régressive de la construction dimensionnelle par les puissances d'un nombre, construction qui se rapporte, comme nous l'avons montré, à celle du contraste maximum. Mais cette fonction de contraste, essentielle à la notion de dimension, passe inaperçue dans la thèse analytique, et c'est son oubli qui permet ensuite la pseudo-généralisation par laquelle on confond la notion de dimension avec celle de paramètre.

La définition analytique des dimensions (comme la plupart des définitions d'éléments géométriques par l'analyse; pure) ne saisit pa.s l'essence de son objet ; elle le distingue simplement par une propriété mise en évidence, grâce à un choix de conditions préalables, qui constituent l'objet même que l'on veut défijiir. Une généralisation véritable s'obtient en éliminant d'un concept les propriétés accidentelles pour ne conserver

que les caractères essentiels. Or, ici, on étend la notion primitive de dimension en conservejnt un cp,ractère dérivé et en omettant l'essentiel : ce qu'on obtient, n'est pas la généralisation, mais l'altération d'un concept.

Les Déplacements

Parmi les paramètres, les uns déterminent les divers éléments de la figure entre eux, et indiquent sa construction ; les autres fixent la situation de la figure par rapport à certains lieux choisis comme repères. Ainsi, pour effectuer la construction la plus générale des figures homographiques dans l'espace à trois dimensions, on dispose de 15 coefficients, dont 9 déterminent la figure, les 6 autres fixant sa position. Dans l'espace à trois dimensions, une courbe exige 4 paramètres pour déterminer les grandeurs, 3 pour les situations; dans le plan, ces nombres sont réduits d'une unité.

On peut transformer les paramètres de situation en paramètres de construction ; il suffit de considérer comme une seule figure l'ensemble de la figure donnée et du lieu géométrique servant de repère. La transformation inverse est également possible : la figure donnée devient alors un système de situations répondant à une certaine loi, c'est-à-dire un lieu géométrique. Nous avons vu que ce double point de vue permet de considérer un même objet de connaissance, soit comme une espèce d'individus élémentaires distribués systéma.tiquement, soit comme un individu synthétique et organisé.

Si certains paramètres de construction restent indéterminés, la relation géométrique n'individualise plus la

figure ; elle exprime alors une famille, une espèce de figures ayant toutes une propriété commune, avec des diversités de quantité qui entraînent des modifications du type.

Si l'indétermination porte, au contraire, sur les paramètres de situation seuls, la relation définit bien une figure individuelle, mais sans la localiser : elle permet les déplacements. La notion de Déplacement diffère de celle du Mouvement, en ce qu'elle n'implique ni le temps ni la force ; elle indique seulement une indétermination dans l'ensemble des relations d'un individu avec son milieu. La synthèse des déplacements compatibles avec la relation donnée constitue un lieu géométrique.

M. Laurent définit la géométrie « l'étude des Déplacements sans changement de forme ». Cette définition résume à merveille Tessence de l'espace ; car l'espace a justement pour nature de permettre des changements de relations entre certains groupes sans que les relations réciproques des éléments de chaque groupe entre eux soient modifiées, ce qui équivaut à la possibilité de coexistence d'une même forme dans plusieurs individus. L'expression analytique du déplacement que l'on donne pour sa définition conventionnelle n'est, comme on va le voir, que la traduction en termes analytiques de son caractère essentiel.

Si on transforme deux points,XetX'd'une même figure F au moyen d'une même fonction , la figure F formée par les deux pointsXetX's'est déplacée sans changer de forme. Les formules analytiques décomposent cet énoncé en un groupe d'expressions et de fonctions distinctes

pour chaque coordonnée des points XetX', mais cela ne change rien à la proposition que nous venons de formuler. Donc, un déplacement sans changement de forme consiste dans une substitution de coordonnées, les fonctions dont ces coordonnées sont les variables demeurant les mêmes.

Cet exposé ne fait qu'exprimer, en termes d'analyse algorithmique, la distinction entre le sujet étendu et l'espace, qui est son milieu.

La formule du déplacement sans changement de forme indique que le point X est passé au pointY, et le point X' au point Y', en vertu de la même modification apportée à X et à Y. Donc, la relation primitive entre X et X' n'a pas changé et se retrouve entre Y et Y', c'est dire que le lieu des parties du sujet n'a pas été modifié, et que la figure conserve entre ses parties les mêmes relations : seules les relations de ces diverses parties avec le milieu extérieur sont changées.

La fonction ? pouvant être quelconque, il existe une infinité de déplacements sans changement de forme. Ce sont ces déplacements qui font l'objet de la géométrie ; et en effet, toute géométrie implique cette fixité des liaisons entre divers éléments possibles quand les relations avec le milieu varient, autrement dit, la géométrie implique la notion de l'autonomie individuelle.

On dit quelquefois que la géométrie a pour hypothèse fondamentale la possibilité de déplacer une figure sans la déformer. Cette donnée est sans doute une hypothèse, si l'on envisage les objets sensibles et matériels, et alors une hypothèse probablement fausse.Mais ce n'est plus là une hypothèse si l'on considère l'espace métaphysique ; c'est alors une propriété qui découle de l'essence même

— ASi —

de l'espace, puisque l'espace permet la coexistence de plusieurs individus d,e même forme, ce qui implique que leurs situations respectives ne les modifie pas.

En géométrie euclidien ae (1), les fonctions caractérisant le Déplacement forment un système de n. équations du l^' degré entre les n coordonnées d'un point X, chaque équation définissant une coordonnée du point y. Chaque équation contient un terme constant de la forme «j, qui exprime les translations pures sur chaque axe. Les autres termes sont de la forme a^y x^, et constituent une substitution homogène et orthogonale. On définit algébriquement une substitution orthogonale par ces deux conditions : 1° la somme des carrés des coefficients de chaque équation est égale à l'unité ^ a] — l ; 2° la somme des moyennes géométriques entre les coefficients des mêmes variables dans deux quelconques des équations, est nulle "Z. (^i «y = 0- Et cela entraîne que le déterminant des a^y = +1. C'est là exprimer,sous une autre forme, trois formules de trigonométrie sphérique qui expriment la rotation pure, c'est-à-dire la rotation avec centre fixe et secteur constant.

Ces formules expriment donc,par les « ,1a translation pure, et par les termes en a^ Xi, la rotation pure : elles traduisent ainsi les deux mouvements qui déplacent une figure sans raltérer,et,par conséquent,sans modifier les

(i) Voir : La Géométrie Analytique Générale par L. Laubent,

distances entre ses points, ni les angles entre ses lignes. Ce sont là les deux invariants de la géométrie euclidienne, qui se déduisent algébriquement des formules du Déplacement. Mais ces relations algébriques ne définissent pas pour cela l'essence de la Distance ni celle de l'Angle ; elles en révèlent seulement la condition analytique équivalente, condition qui est une conséquence et non un priacipe des notions d'Angle et de Distance. La Distance et l'Angle sont des données élémentaires et fondamentales en géométrie, et nous les avons définis, en fonction de l'individu comme les intensités de résistance existant entre deux états de translation (distance) et de rotation (angle).

Or la formule euclidienne de la distance entre deux points, X et X' est + y/ {x, — x\) ^ +....+ (a; „ — ^'n) ~ qui n'est autre que la traduction de la propriété ^ a ^ = 1 . On voit par quel moyen détourné est exprimée cette donnée géométrique si simple, cette intensité de translation.Et cette formule implique, par ses éléments mêmes, la notion de distance qu'elle prétend définir. Que sont, en effet, les x^... a; „, les x',... «'„, sinon les distances à l'origine des points où X et X' se projettent sur chaque axe ? Que sont les différences (x, — x') .. (a; n — ^'n) sinon des différences entre ces distances à l'origine ? La somme de ces carrés exprime l'hjrpoténuse commune à (n — 1) triangles rectangles ; elle montre simplement comment on obtient la distance d'un point non situé sur les axes quand on ne peut mesurer directement des distances que sur les axes. Mais ce n'est pas là une définition de la Distance.

La formule euclidienne de l'angle © entre deux droites est cos ?i cos\ f + cos f^ cos f\ -{-... + cos ?„ cos ?'„, les (?, . . .?„

et les y' , . . .(pn) exprimantles angles que font respectivement chacune des droitesDet D' avec les n axes. C'est là la traduction de la propriété X.a iQj = o. Ici, comme pour la distance, on mesure un angle au moyen de plusieurs autres, et la notion d'angle se trouve impliquée dans la formule qu'on veut donner comme sa définition.

^-Les définitions du déplacement sans changement de forme et des invariants, dans les géométries non euclidienne, ne devraient pas différer des précédentes, si l'on considérait chacune de ces géométries en elle-même sans la comparer à la nôtre .Mais, par le seul fait qu'on distingue ces diverses géométries, c'est en la comparant à la géométrie perçue comme l'expression directe des notions spatiales. C'est seulement à ce titre que se justifie les différences de formules et de définition des données géométriques. Alors, comme il s'agit de nous faire comprendre quelque chose d'irréprésentable, ces formules analytiques sont les seules définitions possibles. Cela posé, nous nous bornerons à signaler les invariants de la géométrie sphérique et de la géométrie hyperbolique.

Dans la géométrie de la sphère (Riemann), on a deux in variants : une hypersphère de rayon donné x\ -\- x\-\r .xl-\- x\ = ^^ et le carré de la distance entre deux points, soit {x , — x\f-{- {x^ — x^f -h (a?3 — x^^ + {x^ — x^f ou, ce qui est équivalent.

C'est dire qu'on considère une figure comme non altérée, quand les deux points se déplacent en restant

sur l'enveloppe de l'hypersphère donnée, et que leur rapport d'inversion, vis-à-vis du point origine, reste constant.

On passe à la géométrie hyperbolique en rendant négative l'une des^coordonnées de l'hypersphère et en remplaçant dans les diverses formules les sinus et cosinus circulaires par les sinus et cosinus hyperboliques. Le déplacement sans changement de forme a pour formule celle de la géométrie euchdienne, sauf qu'il n'y a pas de termes constants. La substitution est donc linéaire comme dans la géométrie euclidienne, et homogène comme dans la géométrie sphérique.

L'espèce de géométrie (euclidienne, non euclidienne, ou quelconque) est ainsi déterminée par la définition que l'on donne du déplacement sans changement de forme. H en résulte que les qualifications de droite, de plan et d'élément rectihnéaire peuvent être attribuées à des objets répontjant aux représentations les plus diverses.

Mais il ne faut pas conclure de là, comme le font certains auteurs, que l'espace n'a d'autre réalité que celle définie par nos hypothèses arbitraires. En effet, par le seul fait que nous supposons le déplacement sans changement de forme susceptible d'être 'défini de plusieurs manières, nous supposons l'existence nécessaire d'un caractère commun, impliqué dans toutes ces définitions, sans quoi il serait impossible d'attribuer le même rôle à ces diverses conditions. Il existe donc, indépendamment des diverses représentations auxquelles on peut appliquer arbitrairement le caractère de déplacement

s ans changement de forme, quelque chose qui tient à l 'essence de cette notion, et qui s'impose nécessairement à toute conception d'espace. Voici en quoi consiste ce concept, qui n'a rien d'arbitraire.

Une figure représente une portion d'espace individualisée en UQ sujet. Tout changement dans les relations spatiales qui est considéré comme n'altérant pas les relations des parties du sujet entre elles, mais seulement celles du sujet avec des portions d'espace qui lui sont étrangères, est un déplacement sans^changement de forme. Voilà l'élément qui tient à l'essence même de tout espace.

Ce qu'il y a d'arbitraire, c'est la désignation des changements que l'on considère comme n'altérant pas les relations des parties du sujet entre elles. On peut évidemment faire abstraction de telles modifications de forme que l'on veut et les tenir pour nulle. La géométrie euclidienne correspond au cas où les changements de forme dont on fait abstraction sont justement ceux qui échappent à notre représentation. Dans les autres géométries, au contraire, nous sommes obligés de tenir pour nuls, par convention, des changements de forme qui sont saisis par notre représentation . Donc , pour déterminer ces changements, qui doivent être tenus pour nuls et atixquels tous les autres seront rapportés, il est nécessaire d'exprimer préalablement^. ces changements assimilés à une fixité, en fonction de ce qui est la fixité pour notre représentation ; c'est là déterminer le paramètre d'un espace et son invariant. Et, si ce qui nous apparaît comme fixe est changeant, ce changement n'est intelligible et définissable qu'en fonction d'une autre fixité. Les fixités peuvent être relatives à tel ou tel

groupe^ de changements ; mais sans une fixité relative, les changements ne se passent plus dans un Kosmog ni objectif ni subjectif : ils ne sont plus que l'agitation inintelligible d'un chaos, ce qui n'implique plus alors l'existence d'un espace.

La fixité impliquée par tout changement intelligible et définissable doit demeurer distincte de ce changement. La coexistence possible d 'une fixité avec des changements est Justement ce qui constitue l'Espace. Cet espace peut être purement subjectif si la coexistence du fixe et du changeant ne s'accomplit que dans la mémoire d 'un sujet; il est objectif si cette coexistence s'accomplit dans le Kosmos. L'Espace véritable sera donc celui auquel tous les invariants conventionnels sont rapportés, parce qu'il est conçu comme un invariant nécessaire.

Relativité de l'Etendue

L'invariant d'un espace définit la fixité iphérente à la qualité de l'Espace, à sa Situation; et cette fixité, pous^venons de le voir, peut être relative à un groupe de relations données. Mais l'Espace doit posséder aussi une fixité inhérente à sa quantité, à son Etendue. Elle est fournie l°par un élément d'étendue nulle : le point, 2° par un autre d'étendue infinie : point droite, plan, etc. de l'infini. Cette fixité est relative aussi, comme le montre la notion de contact. La tangente à une ligne correspond au contact de 1" ordre. C'est la communauté de direction réduite au point de contact seul; mais l'impulsion des deux éléments en contact diffère aussitôt : c'est ce qu'exprime la différence des dérivées.

r^^Lorsque les dérivées premières coïncident, comme les fonctions primitives, au point de contact, cela indique qu'au point où le contact s'accomplit, les deux ligues tendent encore à conserver une même direction, de telle sorte que : si l'élément inétendu de l'espace con"3idéré (qui répond aux infiniment petits dont le ,rapport est exprimé par la dérivée) acquérait une certaine grandeur, les deux lignes demeureraient confondues dans l'intervalle occupé par cette grandeur. Cette grandeur est , à son tour, susceptible d'une nouvelle dérivée, et ainsi, par rapport à la ligne originaire, cette dérivés de sa dérivée sera une dérivée de second ordre. Ainsi on obtient des contacts de plus en plus intimes. Chaque dérivation correspond à douer d'une grandeur infinie les grandeurs"; finies de l'espace précédemment considéré, et à donner l'expansion spatiale aux éléments inétendus de cet espace. On peut réitérer ce processus tant que la virtualité d'expansion possédée par les éléments inétendus n'est pas épuisée. Tantôt cette expansion n'est renouvelable qu'un nombre fini de fois ; tantôt Topération peut s'accomplir indéfiniment ou présente des formes périodiques,- etc. L'étude de tous ces cas sera faite dans un autre ouvrage. Ici, nous nous bornons à en retenir que l'étendue de l'espace est relative, non de la simple relativité inhérente à toute grandeur dont l'évaluation dépend du degré de son échelle adopté comme unité, mais d 'une relativité qui transporte l'échelle entière des quantités d'un domaine à un autre, suivant une hiérarchie qualitative. Au sein de cette hiérarchie, la Graudeur (et plus généralement la Quantité) constitue un état de transition par lequel passent les objets, et qui est limité d'un côté par l'existence

abstraite et élémentaire, et de l'autre côté, par l'existence concrète et unverselle.

Ainsi, l'Espace apparaît comme relatif, et q Liant à son Etendue et quant à sa Situation. La relativité de situation est ce qui distingue les géométries euclidienne non euclidiennes ou quelconques. La relativité d'éteudue est ce qui distingue la géométrie infinitésimale de la géométrie des grandeurs finies,

Ainsi l'Espace est empreint d'une relativité qui tient aux modes d'étendue et de situation qu'on lui attribue. Mais par le fait que la non-exclusion d'une puralité d'individus de même forme se traduit, en qualité et quantité, par l'existence de certaines possibilités de situation et d'étendue, il existe un espace relatif aux divers genres de situations et d'étendues, mais réel> en ce qu'il consiste dans la nécessité des rapports de situations et d'étendues (quel que soit leur genre).