CHAPITRE r

Conceptions de l'esDace La notion d'espace homogène

Nous avons défini la notion d'espace comme étant la condition de la compatibilité de plusieurs existences individuelles et de l'incompatibilité de plusieurs formes en un même individu. Or l'espace proprement dit correspondra pour nous au milieu qui réalisera cette double condition dans le maximum de généralité que nous puissions concevoir. Il sera donc en lui-même vidé de tous les objets afin de pouvoir recevoir partout n'importe lequel ; d'autre part, il n'apportera aucune influence tendant à caractériser une forme. Si donc nous posons dans un tel milieu n'importe quel objet affecté de n'importe quelle forme, nous considérerons que le fait de l'.introduire dans ce milieu ne lui apporte aucune modification. Toute autre conception de l'espace impli-

que que le milieu considéré est doué d'une influence qui altère les objets qu'on y introduit : il ne faudrait donc pas appeler du même nom le milieu neutre de toute influence dynamique et les divers milieux caractérisés par des influences spéciales.

On peut se demander s'il existe en réalité un tel milieu absolument passif quand on'y introduit les objets, et l'on peut en douter ; car, tout objet matériel apportant avec lui une forme étendue, cette forme est soumise à certaines lois et déterminée, au moins en partie, par des influences étrangères à la volition propre ou aux tendances de l'objet individuel, s'il en est doué. Etant donné qu'un objet individuel ne peut pas créer et modifier sa propre forme en toute liberté, il faut attribuer cette forme, au moins partiellement, à des lois étrangères qui rendent son existence compatible avec le milieu où il est placé. Ainsi, il est extrêmement probable que tout espace est dynamique pour tout être matériel, autrement dit pour tout être passif et déterminé par des principes extrinsèques. L'ensemble des conditions imposées à un sujet pour rendre son existence compatible avec d'autres individus avec lesquels il est mis en rapport constitue un milieu.

Mais, parmi tous les milieux et entre toutes les influences possibles qu'une intelligence peut concevoir et qu'une sensibilité peut percevoir, il s'établit une classification spécifique, une échelle de quantité ; et, par rapport à un être percevant et intelligent, il existe entre les influences extrêmes un état où les tendances opposées s'équilibrent et se neutralisent, un degré d'intensité qui semble nul, en sorte que, soumis à ce degré et à cette sorte d'influence, les objets semblent n'être

en rien affectés et ne tenir leur forme et leur étendue que de leur propre nature. En un mot, le milieu où ils se trouvent semble alors purement passif, et les propriétés de forme et d'étendue qui s'y distinguent dans les objets semblent ne relever que des objets euxmêmes.

C'est à un tel milieu que correspond la notion vulgaire d'espace, notion qu'on n'aurait jamais dû confondre avec la notion générique de l'ensemble des milieux doués d'influences, car ces deux notions ont l'une et l'autre un caractère parfaitement distinct.

On peut passer de la première de ces notions à la seconde, en attribuant au milieu une influence déterminée. Alors tous les objets apportés d'un premier milieu jugé neutre dans ce dernier milieu se trouvent altérés. Il se peut que les mêmes formes se retrouvent, mais alors elles ont été transposées d'un objet à un autre par l'influence du milieu. C'est ainsi qu'une ligne droite dans le premier milieu pourra devenir convexe dans le deuxième, en même temps qu'une courbe d'une certaine concavité dans le premier milieu sera devenue droite dans le deuxième. On pourra donc retrouver dans le deuxième milieu, comme formes dérivées, des formes qui, dans le premier milieu, étaient considérées comme formes primitives. Deux milieux d'influences opposées par rapport au milieu neutre pourront invertir certains caractères des figures, par exemple substituer la convexité à la concavité , et réciproquement.

Le milieu qui sera neutre pour un être doué de perception sera le milieu auquel il est adapté complètement, celui qui, ne lui offrant aucune résistance, ne lui laisse percevoir aucune influence. Il est bien alors le

réceptacle indifférent dans lequel tout caractère, qui le frappera comme un choc éveillant la perception, sera attribué à un objet ou à une force spéciale. Quant à ce qui, dans les influences, est permanent et partout invariable dans l'étendue et la durée de sa connaissance, il n'en pourra avoir qu'une notion métaphysique, définie par un rapport entre des termes (par exemple, comme nous l'avons fait par la condition de compatibilité de certains modes d'existence) ; mais il ne lui sera pas possible de se représenter la nature déterminée de cette influence, ne pouvant rien concevoir de plus général, et toute autre influence lui apparaissant comme une altération de celle-là. C'est en ce sens qu'on peut considérer, avec Kant, l'espace comme une des formes de la pensée. C'est donc ce milieu neutre qui seul pour un être correspondra à la notion d'espace, notion impliquant l'élimination de toute force susceptible d'altérer les objets ou les formes qu'on y place.

Un tel espace est forcément homogène dans toute rétendue qu'on lui conçoit. Tel est l'espace Euclidien. Les premiers milieux dérivés qui différencient cette homogénéité sont les espaces isogènes (ou à paramètre constant), c'est-à-dire des milieux où l'influence déformatrice, par rapport aux formes de l'espace perçu ou convenu comme homogène, s'effectue de la même manière en toute région de cet espace. Puis viennent les espaces hétérogènes ou à paramètres variables, dans lesquels l'influence déformatrice se modifie d'une façon continue. On peut concevoir les espaces absolument composés où l'influence déformatrice varie et se transforme suivant lea lieux. Enfin, viennent les milieux à influences complexes, combinées et réparties de toutes les manières concevables.

Or, il est aisé de voir, en comparant les deux cas extrêmes, que le cas des espaces absolument hétérogènes répond tout simplement au milieu spécial de certains corps ou de certains champs de forces, et les espaces isogènes, tels que ceux de Riemann et de Lobatschewsky, répondent à un milieu où domine exclusivement une force simple.

L'Espace théorique et l'espace représenté

On voit donc, d'une part, qu'il existe pour la pensée un espace théoriquement euclidien, le seul véritable espace pur où les influences extérieures paraissent neutralisées (tous les autres étant des milieux dérivés de celuici par spécialisations); et, d'autre part, un espace représenté comme euclidien pour tout être sensible, espace qui n'est tel que relativement à lui et qui peut avoir un paramètre spécial relativement à des êtres doués d'autres conditions de perception. Mais, pour tout être, il existera dans son milieu certaines conditions absolument fondamentales dont sa représentation ne peut sortir ; et la représentation qui aura vidé de son contenu tout autre élément sera, pour lui, le maximum perceptible d'homogénéité répondant à sa notion d'espace. La raison permettant de concevoir mais non de représenter l'au-delà de ces conditions fondamentales pour la représentation, il sera possible d'assigner à cet espace, représenté comme tel, un paramètre tout comme aux autres. Mais, quand il faudra assigner une valeur quantitative à ce paramètre, c'est-à-dire le comparer à une quantité servant de base, cette base fera défaut, et la valeur assignée à ce paramètre sera forcément zéro ou l'infini.

Cet espace sera donc l'espace limite auquel toute spéculation sur d'autres espaces devra être rapportée pour qu'elle devienne intelligible.

Si l'on se reporte à la conception purement métaphysique de l'espace comme étant la compatibilité des existences individuelles, on voit aussitôt que tout paramètre est Une restriction apportée dans les modes d'existence, et, par conséquent, une altération de l'espace. On voit aussi que, les modes possibles d'existence étant infinis, l'espace représente, pour un être, le maximum de généralité concevable d'existences individuelles possibles ; mais ce maximum, qui est un infini par rapport à l'être qui le conçoit, est,pour un être doué d'une conception plus vaste, une simple spécialisation des modes possibles, et pour cet être, le paramètre de cet espace cesse d'être infini ou zéro et acquiert une valeur finie. Je dis une valeur finie, parce que le nombre ou l'expression quantitative qui exprime un paramètre est toujours une qualification, car sa valeur quantitative est déterminée par sa situation par rapport à un étalon préalablement établi. On voit immédiatement que les espaces à paramètres variés sont, au point de vue rationnel qui les embrasse, de simples champs de volume indéterminé, si l'on veut, mais d'une forme définie, ou du moins d'un type générique de forme incomplètement déterminée. Ce qui caractérisera le type de chaque espace sera un élément impossible à percevoir pour celui qui est adapté dans toutes les conditions de sonexistence à ce caractère ; et ce caractère sera connu par lui, non comme une figure, mais comme la forme nécessaire de sa perception : il en aura une notion, non une représentation.

Ainsi s'explique cette constatation qu'on a faite que les divers espaces non euclidiens à trois dimensions peuvent coexister dans un espace à quatre dimensions, le caractère qui les différencie résidant dans cette quatrième dimension qui nous échappe comme telle.

Nous reviendrons en son lieu sur cette question.

Les géométries de Riemann et de Lobatschewsky s'écartent en sens contraire de la géométrie euclidienne, qui est comme leur neutralisation. De plus, les trois géométries s'identifient sous la forme euclidienne, quand on envisage des éléments infiniment petits. Cela prouve que, si l'on pouvait dilater suffisamment un espace non euclidien, les petites régions de cet espace tendraient de plus en plus à se rapprocher de l'état euclidien. On en a conclu avec raison que l'espace que nous jugeons euclidien n'est tel pour nous que parce que son paramètre est très grand, et que si nous pouvions en embra^sser une région beaucoup plus grande, il cesserait d'être homogène. Il y a là, à mon sens, une confusion entre deux ordres de conceptions qu'il importe de distinguer. D'une part, l'espace théorique conçu par nous comme étalon neutre auquel tout autre espace théorique ou réel est rapporté ; d'autre part, l'espace représenté. Or ce qui précède est très probablement applicable à l'espace représenté. Mais l'espace théorique euclidien ne peut être altéré par rien : c'est un schéma typique invariable, indestructible, que nous concevons nécessairement en regard de toute^' autre géométrie, et sans lequel les au-

— autres géométries s'identifieraient toutes dans la géométrie euclidienne.

Quoi qu'il en soit de l'état du milieu dans lequel nous opérons, il existe toujours un espace idéal métaphysique euclidien, homogène, par rapport auquel tous les espaces réalisés sont des altérations. Ce qui peut varier, c'est l'application de cet état homogène à tel ou tel ordre de réalité, et l'application dépend de la situation dans l'univers du sujet qui perçoit.

En effet, cet espace théorique neutre s'exprimera dans la représentation sensible par le minimum d'hétérogénéité introduite dans la perception ou l'action. Et cette représentation correspondra aux états qui répondent à l'équilibre le plus complet du sujet avec son milieu.

Si donc nous supposons des êtres doués d'organes sensoriels et de modes de sensibilité semblables aux nôtres en qualité (vue, toucher, locomotion), mai^ adaptés à des conditions d'intensité, de vitesse, de direction, etc., différents, leur état d'équilibre différera du nôtre, et le minimum d'hétérogénéité leur donnera, comme à nous, la représentation euclidienne; mais elle se produira à propos d'autres objets, et ainsi, une figure non euclidienne pour nous pourra être perçue par eux comme euclidienne, et vice versa. Mais la géométrie euclidienne n'en sera en rien altérée.

Si nous supposons maintenant des êtres doués de modes de perception de nature différente des nôtres, mais soumis aux conditions générales de la conscience psychologique, dont une des formes essentielles est l'espace tel que nous l'avons défini, il y aura pour eux une représentation de moindre hétérogénéité que nous ne pouvons figurer, mais qui sera caractérisée par des

propriétés corrélatives à notre représentation euclidienne, et dont celle-ci sera pour nous la traduction la plus exacte.

Le mode euclidien répond à la notion de valeur limite, valeur qui existe toujours pour le mode d'existence individuelle qui caractérise la conscience psychologique. Aussi, bien que ses applications sensibles puissent varier, il existera une géométrie euclidienne à laquelle aucune autre ne pourra se substituer, et répondant aux conditions neutres et primordiales de perception.

Pour admettre au même titre les géométries non euclidiennes qui présentent pour nous des impossibilités de perception et de réalisation, il faut supposer des modes de connaissance étrangers à ce que nous nommons la conscience psychologique (c'est-à-dire à cette connaissance qui résulte du choc d'un moi et d'un nonmoi et de l'élaboration par une activité mentale de données reçues passivement à travers l'exclusion établie par l'existence individuelle et corporelle). Nous avons précédemment admis la possibilité de modes de connaître affranchis des conditions qui, pour nous, définissent toute connaissance. Ce n'est qu'en sortant de ces conditions, considérées par l'école positiviste et relativiste comme les seules possibles, que l'on peut admettre les géométries non euclidiennes comme réalisables, en disjoignant les propriétés des figures qui, pour nous, sont fatalement liées ensemble.

Or on n'a jamais observé, il me semble, cette distinction, quand on a discuté la possibilité des géo-

métries non euclidiennes, et il en est résulté une confusion et des malentendus, qui, je crois, s'éclairciront en séparant nettement ces points de vue.

Ainsi, nous allons d'abord considérer les deux géométries de Lobatschewsky et de Riemann comme les éléments polaires (savoir et être) d'une géométrie générale dont la géométrie euclidienne sera l'élément neutre et fondamental. Ensuite, nous étudierons comment on est parvenu à constituer des géométries logiques, bien qu'en contradiction avec leur réalisation expérimentale. Nous montrerons, je pense, la cause de la confusion qui règne sur cette question, et nous chercherons quel mode d'existence impliquerait la réalisation et la perception d'un espace réellement non euclidien.

Relativité de la nature des espaces représentés

Il est facile de montrer combien est relative la représentation à laquelle correspond la notion euclidienne. Sans sortir de notre vie usuelle, nous pouvons constater sans peine combien est subjective notre notion de la ligne droite.

Si nous marchons les yeux bandés, nous dévions de la ligne droite sans nous en apercevoir ; les jeux forains ont tout leur attrait dans cette constatation. Il nous est presque impossible de tracer une ligne droite à mainlevée sans un apprentissage préalable. Quand nous sommes en wagon, privés de points de repère fixes, nous croyons cheminer en ligne droite sans nous apercevoir des nombreuses courbes que décrit la

— Savoie. Voilà ce que la locomotion nous fournit sans le contrôle de la notion visuelle de ligne droite.

A son tour, la vision non contrôlée par la locomotion nous donne des renseignements tout aussi incertains La perspective nous fait prendre des parallèles pour de lignes convergentes : une verticale élevée et éloigné paraît être un arc de courbe. Et n'est-ce pas une représentation vraiment riemamienne que nous fournit la voûte céleste ? La ligne de l'horizon est droite quand on la considère dans le champ visuel sans bouger, bien qu'elle soit en réalité un arc. Elle ne devient pour nous circulaire que si nous pivotons suru nous-mêmes pourla parcourir tout entière ; et ici nous touchons à Fhoricycle et à l'hypercycle de Lobatschewsky, qui sont la droite euclidienne de l'infini. — Nous tenons pour lignes droites les géodésiques de notre planète riemannienne, et ces mêmes géodésiques convexes, vues du haut d'un ballon, se creusent en ligne de Lobatschewsky.

Prendrons-nous la donnée expérimentale qui attribue la qualité de ligne droite à l'axe de rotation d'une figure indéformable, entourée de deux points fixes ? Mais nous estimons que la rotation n'a pas déformé la figure en nous basant sur les seules constatations visuelles et métriques, qui nous trompent si souvent. Observons la formation du cristallin inégalement réfrangible dans ses diverses parties, et jugeons des déformations qu'il doit apporter aux lignes perçues. Enfin, les illusions d'optique résultent de diverses juxtapositions, divisions, situations qui soulèvent de difficiles problèmes esthétiques. Cette déformation apparente des figures sans masse, par le simple jeu des directions, tend fort à prouver combien est subjective la similitude de nos figures géométriques.

L'interposition de l'atmosphère, et au delà, peut-être celle de certains milieux sidéraux plus ou moins réfringents peuvent enlever toute valeur objective à nos mesures astronomiques. La mesure de la ligne droite par la tension du fil à plomb est sujette à caution, car tout fil très long ne se tend jamais complètement, — Horizontalement, nous pouvons juger combien est relative notre estimation visuelle en regardant les fils télégraphiques à des intervalles plus ou moins éloignés.

On voit donc que nous ne pouvons attribuer une valeur objective à nos jugements sur les figures que lorsque nos divers moyens d'informations sont d'accord pour nous domier l'idée de la ligne droite. Et, même en ce cas, nous voyons que la rectitude n'est que relative à la synthè 4e limitée de nos modes de perception. Un mode de plus qui se trouverait en désaccord suffirait pour enlever à cette ligne le caractère de droite. Et même il suffirait que, parmi les états visuels, tactiles et locomoteurs qui sont neutres en même temps,un seul ait sa tonicité modifiée,pour que l'accord parfait de neutralité corresponde à des lignes tout autres. Ajoutons que nous ne pouvons établir les vérifications qui nous permettent d'attribuer à nos jugements cette objectivité très relative que pour de petites distances. Dès que nous embrassons une vaste étendue, tous ces modes perdent leur valeur. Et, par rapport à l'étendue perçue comme telle, nos figures euclidiennes ne sont telles que dans un espace infiniment petit. La géométrie euclidienne n'a donc d'application sûre que comme géométrie infinitésimale par rapport à celle qui régirait notre espace physique, si nos modes de perception, demeurant les mêmes nous devenions de gigantesques Gargantua.

Mais, par ce fait même, on saisit que cette géométrie est nécessairement la source des deux autres, puisqu'elle exprime les rapports infiniment petits et constants dont la sommation réalise les variations diverses.

Nous voyons en outre que l'on ne peut dire que tel milieu est ou n'est pas euclidien en soi : il est toujours euclidien par rapport aux êtres pour qui il répond à l'état neutre de perception, et pour les actions et les modes d'existence vis-à-visdesquelssoninfluences'annule; il l'est toujours dans la mesure où il peut être considéré comme infiniment petit par rapport à un autre milieu. Et, comme toute existence dans un milieu relativement fixe tend à s'y adapter, la notion et la représentation euclidienne tendent à s'établir parce qu'elles représentent l'adaptation intellectuelle et sensible à un milieu. Les divers sens s' adaptant chacun à ce même milieu fixe,ce milieu répondra bientôt à la fois au moindre effort pour chacun de ces sens ; la notion "et la représentation euclidienne répondront à cette coïncidence.

C'est donc seulement en fonction de telles ou telles perceptions et actions qu'un espace peut être dit euclidien ou non.

Par conséquent, les trois géométries coexistent, s'impliquent et ne se définissent qu'en fonction les unes des autres ; elles sont applicables aux mêmes milieux suivant les perceptions et les actions que l'on considère. Nous participons à la fois aux trois sortes d'espaces, ainsi que les êtres qui nous entourent, et il est intéressant de déterminer les principales circonstances qui paraissent correspondre aux uns ou aux autres.