CHAPITRE II

Caractères des espaces non euLclidiens

La Courbure dans les espaces non euclidiens

On a parfois confondu la géométrie de Riemann avec celle de la sphère,et la géométrie de Lobatschewsky avec celle de la pseudo-sphère. Mais c'est là une erreur. Ces deux géométries ont un degré de généralité bien supérieur, et qui leur donne un bien plus grand intérêt. On pourrait les qualifier : espaces soumis, l'un à la loi deconvergence,rautre à la loi de divergence. Le degré de cette convergence et de cette divergence est déterminé par le paramètre; et ce paramètre dans le cas le plus simple, est pour la convergence -fl, pour la divergence — 1. Voilà pourquoi la trigonométrie sphérique et la trigonométrie hyperbolique s'appliquent aisément à ces deux espaces. Ces deux espaces répondent donc très probablement à deux milieux fondamentaux du kosmos. Comme étant les deux premiers milieux dérivésde l'espace homogène ou euclidien dont le paramètre est infini, c'est-à-dire la courbure nulle. On peut donc dire que les deux espaces de Riemann et de Lobatschewsky sont les caractéristiques de la courbure dans son premier principe. Or la courbure est ce qui correspond à la présence d'une

influence extrinsèque à l'objet qui se développe dans l'étendue. Que l'on considère la perception psychique ou la réalisation mécanique, il n'y a courbure que là où une des conditions déterminatives de la ligne ne se trouve pas constamment dans le même rapport avec cette ligne. Le calcul différentiel répond à cette notion par la correspondance qui s'établit nécessairement entre la courbure et les fonctions à dérivées variables. Aux dérivées constantes c'est-à-dire à l'invariabilité d'un rapport correspondent des lignes droites. Peu importe, encore une fois, que ces lignes soient relativement ou absolument droites; toujours est-il que la courbure est ce qui résulte de l'application à des figures de la variabilité d'un rapport. Cette variation montre que les causes déterminatives de l'état d'un objet ne sont pas identifiées en une seule : elle exprime une dualité persistante ; la synthèse ne s'opère que hors des causes dans l'effet résultant, effet qui laisse distinguer la trace de deux causes distinctes.

Au contraire, quand la variation est constante, elle peut s'exprimer par un quotient unique, et la synthèse s'opère dans les causes, l'action est une; voilà pourquoi on peut alors supposer que cette action a sa cause dans le sujet lui-même. Nous touchons là à une question métaphysique très profonde : celle de la distinction des causes intrinsèques et extrinsèques. Les premières se présentent comme la finalité du sujet, finalité exerçant sur lui une attraction qui doit toujours, en dernière analyse,se ramener à une appétition; les secondes paraissent ne pas s'assimiler au sujet, et intervenir comme des causes déviatrices, comme des coercitions plus ou moins impérieuses qui soHdarisent les êtres entre eux, et dont

l'harmonie consiste dans la réalisation d'une finalité embrassant un système d'individus.

Ainsi, la courbe semble nous révéler la dépendance des individus vis-à-vis de leur milieu. Les lignes droites représentent ainsi la somme des causes qui se sont identifiées en une seule action ; et l'espace euclidien, qui en est comme l'essence, est ce qui dans le kosmos est pleinement unifié en vue de la coexistence individuelle. Cest donc un degré du triomphe de l'ordre sur le chaos au moyen de l'espace, et l'espace euclidien est bien la limite vers laquelle tendent les deux autres à mesure que l'unification des tendances se réalise.

Là au contraire où les deux forces fondamentales de dispersion et de concentration dominent, nous s?isissons des formes distinctes revêtant la matière ; elles représentent ce qui, dans les tendances, demeure composé, les cas où l'action est un compromis, une résultante, un accord ; c'est la résolution du chaos en conservant la diversité des tendances, qui synthétise sans identifier.

Dans la géométrie de Riemann, deux lignes droites quelconques sont assujetties à passer par deux points fixes ; elles enferment entre elles un espace ; eUes forment chacune un cycle fermé. Cette géométrie semble correspondre à l'influence algorithmique qui régit les séries convergentes et qui fait aboutir une sommation infinie de termes à une intégration finie, car elle transforme la nature indéfinie de la droite en cycle. Une telle réduction dans le monde physique est ce qui constitue la corporification, résultat du principe d'individualité.

La géométrie de Riemann semble correspondre, non pas à l'individualité, même caractérisée par l'unité de centre, mais au rapport de conjonction entre individualités.

L'espace de Riemann équivaut à deux tores s'emboîtant réciproquement ; c'est comme le symbole de la compénétration de deux sphères d'attractions individuelles. Il crée une sorte de fuseau, bandant en arc toutes les droites, qui viennent passer toutes par les deux centres. Il semble que la nature a gravé le pentacle de ce principe de la conjonction binaire auquel correspond cette géométrie dans l'acte préparatoire de la copulation : la karyokjoièse. La vibration, elle-même, avec son ventre et ses deux nœuds, qui est l'acte élémentaire de la vie individualisée est l'expression, plus générale encore, d'un espace enfermé dans deux droites ; car la vibration est bien l'acte de moindre résistance pour l'expansion individualiste vouée à un dualisme irréductible ; par elle se déchire l'hymen virginale de la ligne droite. Un vide intérieur est créé par la vibration, un retranchement fait à l'espace par l'autonomie de la monade-atome, et nous avons observé déjà que l'atome vu du dedans est un véritable espace, et qu'il n'est atome que relativement au milieu et aux êtres dont il n'est pas pénétré et qui bornent son individualité (1).

Ce caractère esentiel de la géométrie Riemannienne va se retrouver dans la sphère physique avec les formes concentrées et bipolaires et avec le binaire de l'appétition. Cette géométrie exprime la viscosité, cet état

(r) Voir .• La Synthèse concrète (ii" partie) par F. Warrain.

qui tend à dissoudre l'individualité solide dans la liquidité. Or c'est à ce caractère qu'appartiennent la plupart des tissus animaux, et au premier chef, le protoplasma avec sa contractilité. En outre, nous avons vu que la fonction animale est une sorte de liquéfaction tellurique d'essence supérieure. La structure de l'animal, avec ses replis nombreux et ses réseaux assujettis à certains foyers, structure propre aux glissements des parties, enfin le caractère cyclique de tous les mouvements des animaux, tout cela paraît les assujettir en grande partie à la géométrie Riemannienne. La notion euclidienne de l'espace semble donc ne se former que lorsque l'intelligence émerge de la sphère instinctive lorsqu'elle acquiert des concepts dégagés de l'appétition ; et la notion de ligne droite est une donnée déjà complexe, et non primitive, comme la géométrie semble l'admettre.

La géométrie deRiemann est bien celle de l'appétition instinctive. Car, dans cet état, toute situation des objets est rapportée à deux centres : le moi et l'objet du désir. L'aptitude de l'instinct à varier ses moyens, qui, tous, cependant tendent à agir suivant les moindres résistances,est bien exprimée par l'infinité de droites passant par deux foyers. La droite euclidienne, dans ce milieu, n'est plus courte qu'idéalement: c'est la voie du désir plus rapide que l'activité ; cette voie est exclue du champ d'action, condition nécessaire pour que le désir puisse naître, et sans laquelle il se confondrait avec sa réalisation.

Toute droite, dans cet espace, est un cycle bipolarisé : tel est aussi le milieu instinctif, où toute sensation a pour réponse un réflexe qui ferme le courant reliant le sujet

à l'objet du désir. Entre eux, la zone e^t convexe, car l'appétition cherche à accaparer le maximum de voies possibles pour se relier à son objet.

Dans la géométrie de Lobatschewsky, au delà d'un certain angle, les droites ne peuvent plus se rencontrer : c'est|un3 dispersion croissante. Un certain angle aigu dit angle de parallélisme établit cette limite, et transforme la convergence en approche asymptotique. Ces lignes sont dites alors parallèles ; enfin, toute perpendiculaire commune entraîne aussitôt une divergence. f^l^Nous avons là une géométrie de la divergence, de la force répulsive et de la progression vers l'universalité. pviCette géométrie est celle de l'expansion magnétique ; celle de la raréfaction de matière, de la propagation et de la multiplication des forces par désintégration des monades-atomes. Elle montre, pour ainsi dire, l'envers de l'individualité, et ce point de vue se traduit par une courbure négative constante.

Une courbure négative constante est impossible dans un espace euclidien, car le cerole est ce qui définit la courbure constante, et le centre d'un cercle ne peut être du côté convexe de la circonférence. Il faut donc, pour concevoir une courbure constante négative, étendre la notion de centre comme l'algèbre étend la notion de nombre. Le centre d'une courbure de Lobatschewsky peut être imaginé comme un point étiré en axe ; il en résulte que, suivant la position d'une ligne par rapport à cet axe (qui est un arc d'horicycle de longueur donnée égale au paramètre), la somme attractive des points de

cet axe varie par rapport aux conceptions euclidiennes, et donne une figure qui a de grands rapports avec l'hyperbole quadrilatère. On pourrait dire que le cpntre de l'hyperbole équilatère est constitué par ses deux axes ; et ainsi, à l'infini, l'hyperbole se relierait au cercle par le carré : c'est, du reste, ce que sem]?lent démontrer certaines formules sur lesquelles nous reviendrons : l'une qui relie e à tt, l'autre qui fait dériver tt de [/ 2 , nombre de la diagonale du carré.

Ainsi, le passage de la géométrie euclidienne à la géométrie de Lobatschewsky s'opérerait par l'extension du cercle à l'infini. En effet, dans l'espace euclidien, le cercleàrayon infini devient ligno droite,et [les normales de cette circonférence droite deviennent parallèles. Or, à cef^e droite euclidienne, qui est la borne de l'espace, s'identifient deux lignes de Lobatschewsky, qui possèdent chacune l'une des propriétés fondamentales de la droite eucHdienne ; car, dans cette géométrie, les droites quiont une normale commune n'en n'ont pas d'autres,et les parallèles se rappro3hent sans s'atteindre, ce qui équivaut à un centre rejeté à l'infini. L'horicycle est le cercle dont les rayons sont parallèles ; il répond ainsi au cercle infini euclidien devenant droite. L'hypercycle est la ligne qui a toutes ses normales perpendiculaires à une droite commune ; il répond à la ligne brisée euclidienne devenant droite ; là, nous voyons le centre de ponctuel devenir linéaire. Or, dans l'espace eucHdien, c'est à l'infini que la convergence non nécessaire mais possible s'évanouit.

Cette géométrie divergente exprime l'élasticité, cet état qui tend à disperser, et^qui est le caractère essentiel des gaz. Or c'est à ce caractère divergent que se

rattache le principe végétal, dont nous avons reconnu la fonction aérifiante pour la terre. La forme même du végétal avec son collet étranglé,sa tige, ses ramifications et la structure intérieure de ses fibres sont comme le pantacle de l'espace de Lobatschewsky. C'est l'épanouissement floral, l'étirement de la matière.

C'est encore la manifestation intellectuelle et le magnétisme animal : elle répond bien à la propagation rayonnante des idées forces et à la transmission de la pensée. La concavité extérieure du faisceau des lignes exprime encore l'accroissement progressif de cette expansion.

La géométrie de Lobatschewsky correspond à l'intuition mentale. Car, dans cet état, on peut relier les points les plus extrêmes par le voisinage le plus étroit. Aucune fusion ne s'y opère, mais une infinité de voies peuvent tendre ensemble vers le même but sans jamais se confondre ensemble.

Le centre, ici, est un axe et se manifeste par une similitude d'orientation qui diverge aussitôt. C'est bien là I3 caractère des idées, qui ne restent jamais identiques entre deux individus, mais qui font sortir d'une uniformité fondamentale une grande diversité de conséquences qu'on peut réunir toujours aisément, quel que soit leur écart.

La droite euclidienne, voie de la volition, est ici comme un régulateur qui empêche les contacts résolutifs, et permet au développement évolutif de se poursuivre indéfiniment. C'est bien l\ le caractère de l'idéal, limite jamais atteinte et dont on approche sans cesse,

A cet espace correspondent les inspirations de l'art et en général les intuitions de la raison, qui établis-

sent, dans toutes les sciences, ces concepts limites dont Wronski a distingué le caractère irreprésentable par l'entendement, mais qui permettent le progrès indéfini de la connaissance.

Les géométries de Riemann et de Lobatschewsky correspondent ainsi aux deux états opposés ds la matière, l'atomisme et le dynamisme, les corps et les forces physiques. Elles expriment lès deux tendances qui produisent toute évolution : convergence et divergence. La géométrie euclidienne répond aux cas d'indifférence, d'équilibre, de neutralisation.

L'espace de Riemann est probablement la limite intérieure de l'espace euclidien, circonscrivant le patrimoine impénétrable des moi individuels où s'élaborent les grandeurs infinitésimales et lès racines des quantités, le domaine des appétitions produites par l'irréductible binaire.

L'espace de Lobatschewsky paraît répondre à l'audelà de l'espace euclidien. L'horicycle est l'aspect circonscriptif de cette frontière ; l'hypercycle est son aspect séparatif ; du dehors, c'est un cercle ; de chez nous, c'est une droite.

Ainsi se résoudraient les questions des limites de l'espace et de la divisibilité de la matière ; mais ces trois espaces pourraient bien occuper les mêmes lieux en se rapportant à trois ordres différents d'états. On peut ainsi envisager ces trois géométries comme se rapportant à trois modes de relations auxquelles sont assujettis les différents objets plongés au sein d'un même milieu.

Et ces trois géométries semblent intervenir à la fois dans la plupart des phénomènes ; l'une d'elle est en général prépond 3rante ; et peut-être certaines lois qui nous paraissent fort compliquées deviendraient-elles très simpl s si on appliquait l'une ou l'autre de ces géométries aux cas qu'elles semblent régir plus spécialement : par exemple, si on appliquait la géométrie de Riemann à la stéréochimie, à la croissance et à la locomotion animale, et celle de Lobatschewsky aux lois de la vaporisation, au développement végétal, à la propagation de la lumière et de l'électricité. De plus, tous les caractères esthétiqueSjles formes de la nalure, les physionomies, les gestes, les modulations vocales et musicales offrent des manifestations expressives qui se rattacheraient sans doute à des rythmes dépendant de l'une ou l'autre de ces trois géométries.

La similitude et les espaces non euclidiens

Les géométries de Riemann et de Lobatschewsky présentent une propriété particuhèrement remarquable, qui est le point fondamental du problème philosophique que nous aborderons tout à l'heure. Elles empêchent la simiUtude des figures. Dans ces espaces, la Forme est fonction de la Grandeur. Une forme ne peut être agrandie ou réduite sans se déformer. On voit aisément qu'en fait,les cas d'application de cette loi sont à peu près universels dans le monde matériel. Les lois de la cohésion, de la capillarité varient considérablement avec la grandeur, et toutes les formes naturelles un peu difEérenciées, depuis les cristaux jusqu'aux animaux, oscillent

entre des limites de grandeur qui se resserrent d'autant plus que la complexité de structure augmente. On pourrait dire que, c'est un principe fondamental que toute structure est fonction de la Grandeur Et les architectes du moyen âge ont montré en cela une intuition supérieure au génie grec en construisant leurs édifices, non pas d'après un rapport de proportions, mais d'après une échelle qui définit, d'une manière à peu près invariable, les dimensions de chaque organe, soit d'après la taille de l'homme, soit d'après la nature des matériaux.

Dans l'espace de Lobatschewsky, plus les côtés d'un triangle grandissent, plus la somme de ses angles diminue. C'est bien là ce que manifeste la nature. Les grandes surfaces tendent à s'affaisser, et là encore, nous pouvons admirer l'architecture du moyen âge, qui a donné à ses admirables flèches des profils concaves, et l'architecture grecque, qui a Tendu convexes ses platebandes et ses colonnes. La déformation concave répond à un étirement, la déformation convexe à une compression linéraire. Elles répondent bien, la première à la tendance de multiplier le champ de perception ; la seconde, à concentrer l'intensité d'assimilation ; la première, au désir de connaître, la seconde, au désir de posséder ; la première, à une accélération, la seconde, à un ralentissement.

Ces deux géométries expriment cette grande loi que la Forme est fonction de la Quantité. Elles expriment, pour la quantité continue ou Grandeur, ce que les caractères propres aux divers nombres expriment pour la quantité discontinue. La Forme dépend non seulement du nombre, mais encore de la Grandeur, et la

mécanique semble indiquer qu'elle dépend aussi de l'Intensité, fait que l'observation établit clairement ; car l'Intensité ne peut varier que dans de très faibles limites, sans entraîner des modifications de Qualité.

L'indépendance de la Quantité vis-à-vis de la Qualité ne paraît possible que dans une étendue infiniment petite par rapport à une autre perçue comme qualifiée ; et la géométrie euclidienne correspondrait seulement à un milieu assez petit pour que la variation de la Forme en fonction de la Quantité soit négligeable. Mais, comme une Quantité n'a de détermination qu'en fonction d'une autre, l'espace euclidien demeure partout où les influences de la Quantité qualifiées en sens opposé viennent à s'annuler. Or ces conditions d'équilibre dépendent de la Qualité seule et peuvent se réaliser, quelles que soient les Quantités. L'espace euclidien n'est donc pas seulement l'élément infinitésimal des deux autres, mais encore l'état limite qui les détermine à tous les degrés.

On peut donc envisager l'indépendance de la Forme vis-à-vis de la Quantité de deux manières, l'une relative à un certain ordre d'existence, c'est le rapport infinitésimal, l'autre spéciale à des neutralisations de qualités opposées d'égale quantité.

Valeur objective des diverses géomélries

Si donc nous nous en tenons aux modes de conscience auxquels correspondent les notions spatiales, les géométries non euclidiennes ne sont distinctes qu'à la condition de les rapporter à la géométrie euclidienne, et elles

ne peuvent se substituer à elle. On a dit q^u'on se sert presque toujours de figures fausses, et que cela n'influe en rien sur le résultat de nos raisonnements, et que, par conséquent, nous pouvons attribuer à des figures euclidiennes des caractères non euclidiens : par exemple, décider que le 4« angle d'un quadrilatère trirectangle ne sera pas droit. Il y a là une confusion. En géométrie euclidienne, une figure fausse nous sert pour fixer notre attention, mais,en même temps,nous la redressons dans notre imagination, et, en réalité, nous raisonnons sur une figure représentée dans l'imagination. Mais,lorsqu'il s'agit de figure non euclidienne, nous ne pouvons redresser la figure ; il faut supposer en elle des éléments qui seraient contradictoires s'ils qualifiaient des choses représentables. Par conséquent, la figure non euclidienne n'est pas une figure, c'est une formule algébrique, et rien ne prouve qu'elle puisse correspondre à des conditions spatiales. Or un concours de conditions qu'on ne peut faire correspondre à aucune représentation spatiale peut-il exprimer une géométrie ?

Il suffit, pour créer un système de relations rationnelles, d'établir des notions conventionnellement définies, puis de déduire de leurs propriétés arbitraires les conséquences logiques ; mais dans quelle mesure ces combinaisons seront-elles applicables à un ordre d'existence toujours plus ou moins concret, et qui, par conséquent, implique des données étrangères à ce qu'on a pu embrasser dans une définition ?

Or, c'est justement la question qui se pose quand on appelle droites ces lignes spéciales des espaces non euclidiens, qualifiées de droites parce qu'on les considère comme la plus courte distance, la ligne invariante

dans une rotation, la ligne toujours semblable à ellemême (propriété commune cependant à la droite, au cercle et à l'hélice).

Ces lignes satisfont, il est vrai, à la définition de la droite établie par la géométrie euclidienne ; elles diffèrent de la droite euclidienne en ce qu'elles repoussent les propriétés de cette droite qui ne découlent pas de la définition adoptée et qui ont nécessité des postulats. Or ces postulats ne sont autre chose qu'un complément de définition.

On a donc considéré la droite définie sans les postulats et, par conséquent, incomplètement déterminée, comme un genre dont les droites euclidiennes et non euclidiennes seraient les diverses espèces. Evidemment, cela est légitime au point de vue logique; mais, pour que ces genres et espèces ne soient pas de simples classes de nos concepts, mais correspondent à une possibilité de rapports objectifs, il faudrait prouver qu'en fait et sous une forme spatiale concevable, il est possible de disjoindre les propriétés de la droite euclidienne comprises dans la définition d'avec celles qui font l'objet des postulats. Or il se pourrait parfaitement que ces deux ordres de propriétés soient liés nécessairement. On a échoué dans les tentatives de les déduire l'un et l'autre; mais ils pourraient peut-être se déduire Tun et l'autre distinctement d'un principe supérieur qui serait le véritable fondement de la notion de droite. Et alors, les géométries non euclidiennes n'auraient plus le droit de disjoindre les postulats de la définition, à moins de renoncer à exprimer un mode spatial accessible à une conscience psychologique.

C'est une confusion de ce genre qui fait dire que la

similitude n'est pas possible dans les espaces non euclidiens. Cela est exact, si l'on considère ces espaces comme des milieux où le paramètre intervient comme une fonction des variables euclidiennes. Mais cela devient faux,si l'on prétend qu'il peut exister, un espace où le défaut de similitude réponde au développement proportionnel de la dérivée des fonctions spatiales. En effet, si l'on qualifie de droite ce que l'espace euclidisn représente avec une courbure déterminée. Il faut, pour être logique, qualifier de constants les angles qui varient suivant cette même courbure ; et alors, la similitude existe dans les espaces non euclidiens. Elle doit y occuper le même rang que dans l'espace euclidien, car la similitude se définit par la constance du rapport de deux quantités. Si la droite d'une certaine courbure est considérée comme de direction invariable l'angle d'un certain évasement progressif doit aussi être considéré comme constant, quel que soit le prolongement de ses côtés.

Nous touchons là à la clef du problème. Il eût fallu fonder la géométrie, non sur la définition de la droite seule, mais sur les définitions de la droite et de l'angle l'un en fonction de l'autre ; car la notion de la droite et la notion de l'angle s'impliquent réciproquement. C'est du reste le caractère de toute réalité.

L'isolement complet d'une notion lui enlève son caractère de réalité, et la réduit à la valeur d'une pure entité conventionnelle d'où l'on ne tirera évidemment que ce qu'on y aura mis. H est singulier qu'après la critique si profonde et parfois si excessive que Stuart Mill

a fait du syllogisme, les mathématiques actuelles tendent à verser dans les mêmes abus que la scolastique par l'excès inverse : celui du nominalisme. Or, si l'on considère les notions définies qui servent de base aux sciences mathématiques comme ne répondant à rien autre qu'aux caractères strictement définis, il faudrait éviter de leur conserver les noms qui s'appliquent généralement à des objets plus ou moins concrets de la connaissance; car on est tenté d'attribuer à des déductions,qui ne sont plus alors que de simples jeux d'esprit, une valeur d'application ; il faudrait alors s'en tenir à l'algèbre pure, et considérer comme fortuites ses adaptations géométriques, mécaniques, économiques.

L'abstraction de la géométrie est une nécessité destinée à permettre l'analyse du concret, mais elle n'a de valeur que si ses schémas sont toujours l'expression simplifiée d'une notion plus concrète tirée de la réalité. Hors de là, rien ne ferait différer la géométrie du code d'un jeu d'échecs ou de whist avec les conséquences rationnelles dépendant des conventions primitives, et les combinaisons qui en sortiraient manifesteraient simplement les lois.de l'entendement : ce ne serait pas résoudre le problème de l'étendue, mais renoncer à l'étudier.