CHAPITRE III

Notions fondamentales de la géométrie

Notion de la ligne droite

Les définitions géométriques de la droite par la moindre distance (Lagrange), par Ip^ ligne invariable dans une rotation, par le caractère d'être déterminée par deux de ses points, par la propriété d'être toujours superposable à elle-même, enfin celle d'Euclide, la plus profonde, quoique la plus obscure, « la ligne qui repose également sur tous ses points », ne sont pas des conventions arbitraires, mais des tentatives d'exprimer par un de ses aspects le caractère fondamental qui définit l'essence de la droite. Or ce caractère consiste dans la notion de la moindre variété de perception nécessaire pour relier deux objets à travers V espace. C'est dans ce principe métaphysique et indépendant des modes subjectifs de représentation spatiale que doivent s'accorder les postulats. On ne peut les relier les uns aux autres sur le terrain sensible ou analytique, parce que la notion de droite répond justement au cas où tous les modes de perception dont un sujet est doué, sont d'accord pour lui fournir la notion du minimum d'hétérogénéité perçue, à propos d'une ligne.

Par ces considérations, la notion de droite se trouve établie en dehors de toute représentation subjective et de toute définition conventionnelle,et simplement basée sur un principe métaphysique applicable à tout être doué de la conscience spatiale, quels que soient le genre de milieu et la nature de ses organes sensoriels.

Pour nous, une ligne ne sera droite que si elle répond au minimum d'hétérogénéité perçu à la fois par la vue, le toucher et le sens musculo-locomoteur.

Pour la vue, la droite est d'abord le rayon visuel ; elle répond au moindre déplacement des muscles moteurs de l'œil pour percevoir constamment un objet tandis qu'on s'en rapproche. D'une façon médiate, l'œil juge ligne droite celle qu'il suit du regard avec la moindre variation d'actions musculaires ; mais cette appréciation perd sa valeur dès que l'angle parcouru est trop grand.

Pour le toucher, la moindre hétérogénéité consiste dans l'absence de rugosité ; elle est simplement l'origine de la notion des différents ordres infinitésimaux. Visà-vis de ce sens, la notion de ligne droite se réduit à l'absence de variation par rapport à une grandeur dirigée.

Pour le sens musculo-locomoteur, la ligne droite est ce qui nécessite la moindre accumulation d'une même grandeur choisie comme mesure. L'effort musculaire donne ici une indication très peu précise, et fait qu'on lui préfère l'emploi d'un objet rigide servant d'étalon. Mais las personnes qui s'élèvent peu au-dessus de leurs impressions subjectives évaluent les distances par l'effort

ou la durée qu'elles exigent pour les modes de locomotion qui leur sont propres, et n'attribuent aucune valeur aux mesures topographiques qui ne concordent pas avec leurs données purement subjectives. Cela montre bien à quel point l'idée de ligne droite dérive de la notion métaphysique de la moindre séparation entre les objets.

Comme cette moindre séparation vis-à-vis d'un sens (de la vue , par exemple) ne coïncide pas toujours avec la moindre séparation vis-à-vis d'un autre(de la locomotion, par exemple), il se forme peu à peu une notion abstraite applicable aux cas où la moindre séparation (ou, si l'on préfère, la moindre hétérogénéité de perception) pour tous nos modes de perception coïncide, et cette notion abstraite est celle de la ligne droite. A ces cas spéciaux répond en général une représentation particulière pour nos divers sens,et ce sont ces représentations qui ont fourni les diverses définitions de la droite. Il nous arrive de juger hâtivement, d'après une seule de ces représentations, surtout d'après les représentations visuelles qui nous fournissent les données les plus rapides. Or, si le contrôle de la locomotion ne fournit pas son minimum propre, nous disons que nous avons eu une illusion d'optique. Nous attribuons plus de valeur objective aux données locomotrices parce qu'elles exigent de plus grands efforts.

Mais la notion de droite, bien qu'abstraite, est une donnée synthétique. Elles doit satisfaire à tous les minima d'hétérogénéité perceptib! s pour un sujet à propos d'une ligne. La droite est relr/:ve à un sujet, et, si nous avions un sens de plus, ne ser 't droite que la ligne qui satisferait en outre à ce nouveau ens ; car c'est

l'accord de nos divers modes subjectifs de perception qui seul confère une valeur objective à leurs données.

Ce qui le prouve, c'est que le vulgaire est porté à restreindre la dénomination de droite d'abord aux verticales ; ce n'est qu'ensuite qu'il l'étend aux lignes horizontales, puis aux parallèles et aux perpendiculaires, enfin aux obliques. Ainsi, le rapport de moindre hétérogénéité jfléchit devant la généralisation abstraite jusqu'à se contenter de la constance dans le rapport des distances entre deux droites ; et c'est là que s'arrête la droite euclidienne. Mais cette extension est justifiée parce que le sujet constate que, dans tous ces cas, il lui est possible de se porter dans une position telle que la ligne lui apparaîtra suivant le minimum exigé ; alors, il dégage la notion de direction de celle de droite.

Au delà, dans le même ordre d'idées, se trouve la ligne plane, que la vue placée dans son plan peut considérer comme droite ; mais l'accord avec la donnée locomotrice n'est plus possible, et, de plus, il suffit que la vue se déplace hors du plan pour que l'aspect rectiligne disparaisse. On saisit ici que la notion de droite implique l'espace à deux dimensions quant au toucher, et à trois dimensions quant à la vue, car le toucher peut distinguer la droite de la courbe en restant dans leur plan ; la vue ne les distingue qu'en se plaçant hors du plan. Si, au lieu du plan, il s'agissait d'une surface quelconque, le toucher confondrait les droites avec les géodésiques de la surface. Alors, pour qu'il distingue la droite, il lui faut pénétrer dans la troisième dimension.

Il se peut donc que nos droites soient des géodésiques par rapport à une quatrième dimension. Les géométries non euclidiennes représenteraient le rabattement dans l'espace à trois dimensions des géodésiques dont nos droites sont les projections dans notre espace. Mais il n'en existerait pas moins, dans cet espace à quatre dimensions, des droites que le rabattement dans nos trois dimensions ne modifierait pas. Donc, la notion et les propriétés des droites euclidiennes subsisteraient encore dans cette hypothèse.

La substitution des géométries non euclidiennes à l'euclidienne suppose la possibilité, par rapport à certains modes de perception conventionnels, de satisfaire à la notion de droite (autrement dit, de moindre hétérogénéité et de moindre efîort dans les relations spatiales) sans admettre les postulats et la similitude qui en découle.

Or nous allons montrer que les postulats ne sont autre chose que des compléments des définitions de la droite, définitions qui, à elles seules, ne donnent qu'une droite abstraite et sans réalité possible ; définitions fautives parce qu'elles ont méconnu que la notion de droite est une notion complexe qu'il n'est possible de déterminer que pour la double notion de ligne et de direction.

La direction et la longueur

C'est dans la notion de distance, comme l'a établi M. de Tilly, que toutes les géométries ont leur source, et toutes se ramènent à trois types : l'euclidien, qui repose sur les deux postulats, celui de Riemann et celui de

Lobatschewsky, qui excluent chacun l'un des deux postulats. M. de Tilly a montré que les deux postulats ne peuvent s'exclure tous deux à la fois, et que, par conséquent, ces trois géométries représentent tous les types possibles. Mais, dans ces considérations, la distance n'est considérée qu'au point de vue analytique, comme le nombre conventionnel qui mesure les intervalles entre des points.

Au point de vue métaphysique, on pourrait définir la distance comme la moindre intensité de séparation entre des individualités dont les existences ne s^excluent pas, c^ est-à-dire sous le rapport d'espace.Mâis, la distance a une double forme : elle est linéaire et angulaire. Elle nous est connue comme Hnéaire surtout par la perception locomotrice, et comme visuelle surtout par la perception visuelle. La vue cependant peut fournir des notions linéaires, mais plus péniblement, et le sens locomoteur donne quelques notions angulaires mal précisées. Aussi, chacun de ces deux sens s'est pour ainsi dire spécialisé à la notion qu'il développait le mieux. Mais toute donnée sensible réunit la direction et la ligne : nous ne percevons jamais de direction sans longueur ni de ligne non orientée.

Ce double aspect de la distance n'est pas seulement relatif à nos modes spéciaux de perception ; il touche à la nature même de l'individualité corporelle, et, par conséquent, il possède une valeur beaucoup plus générale. Nous avons vu que l'individuaKté corporelle est une synthèse fonctionnant tantôt comme unité, tantôt comme pluralité,et que la vie psycho-organique consiste dans les réactions d,e ces deux caractères. C'est ce dualisme même qui caractérise l'état de vie individuelle. Il en

résulte que tout individu est doué de deux sortes de mouvements. Tantôt il fonctionne comme unité par rapport au non-moi ; il se meut comme un point mathématique : c'est une translation. Tantôt il fonctionne comme collectivité et modifie le milieu intérieur de son moi, de manière à changer les relations spéciales de ses organes avec le non- moi. Or la somme de ces changements spatiaux des parties par rapport au non-moi, sans déplacement de l'ensemble, constitue une rotation. La séparation minimum éliminable par translation est la distance linéaire ; la séparation minimum éliminable par rotation est la distance angulaire.

Ce qui est appréhendé simultanément sans translation est un contact; ce qui est appréhendé simultanément sans rotation est une direction.

Un angle est le rapport de deux directions ; il est évalué en fonction de la proportion de contact qui est indiqué par la quantité de rotation qu'il absorbe.Mais une direction prise en elle-même n'a pas de longueur ; elle indique une orientation comme déplacement rotatoire ; et c'est en cela que consistent les différentielles. L'élément différentiel ne retient d'une ligne que sa tendance à s'écarter de sa direction précédente, ou, plus généralement, il ne conserve d'une fonction que le rapport dans lequel elle tend à s'accroître vis-à-vis de sa variable.

Il ne faut donc pas définir l'angle comme l'espace compris entre deux lignes, car l'angle n'implique aucune longueur, mais comme le rapport de directions développables en lignes. Les postulats de la géométrie classique dérivent de l'inexactitude qui a défini l'angle comme un rapport de lignes, et qu'on l'a déduit de la ligne, alors qu'il en est indépendant.

Toute translation prise en elle-même n'a pas de direction définie ; elle ne distingue ni rectitude ni courbure. Pour distinguer une droite d'une courbe, il faut la possibilité d'une rotation, par conséquent un espace à deux dimensions.

Quand l'absence de rotation coïncide avec le minimum de translation nécessaire pour réunir deux objets, la ligne conserve une direction invariable; elle est droite.

La notion de droite est ainsi la synthèse des notions de direction et de longueur. La direction cessant d'être infinitésimale, acquérant une longueur effective, revêt le caractère de la constance par rapport à l'angle qu'elle développe avec une autre direction ; le droite représente ainsi le cas où la longueur n'influe pas sur la forme.

Il résulte de là qu'entre deux directions (constantes ou rectilignes), le rapport angulaire est constant. Ce rapport peut être exprimé en arc comme une fraction de rotation, ou bien comme la dérivée d'une fonction où les deux variables sont deux longueurs, ou bien encore comme le quotient de la longueur dirigée par une longueur réunissant la première à une direction fixe suivant un angle constant : c'est là le rapport trigonométrique dans son acception la plus générale.

La constance de ce rapport mesurant un angle, quand on en prolonge indéfiniment les côtés, est la traduction algébrique de la propriété géométrique de similitude. Le parallélisme peut ainsi se définir comme le cas où deux lignes A et B sont telles que, si on les relie point

à point par des lignes intermédiaires menées suivant un angle constant, la longueur de ces lignes intermédiaires sera constante.

Et l'on voit que cette propriété découle de la notion même de droite. Les deux postulats euclidiens re jetés par les autres géométries deviennent ainsi de simples corollaires de la propriété de similitude. En effet,puisque la fonction qui définit les d^ux lignes dirigées a une dérivée constante et finie, pour toute valeur finie des deux variables, la fonction n'admet qu'une solution : les droites se rencontrent forcément en un point déterminé par la valeur du rapport, et en un seul. Cela posé, la droite qui fait fonction de détermination angulaire en vertu de son invariablité de direction nous découvre par elle seule le caractère bipolaire de toute direction,le diamètre formant bipartition égale de l'espace, dans ses moindres portions comme dans ses plus grandes. Et l'on pourrait partir de cette considération pour démontrer que d'un point à un autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite. En effet, une deuxième droite empiéterait forcément sur l'une des parties égales de cet espace (supposé homogène aussi grand qu'on veut, mais non infini, sans quoi toute distance finie descendrait nulle).

Une nouvelle égalité de bipartition réalise la perpendicularité avec ses quatre angles droits égaux. Ce minimum de différenciation quant aux angles répond au maximum de contraste quant aux directions qui les déterminent . L'égalité des obliques également écartées du pied de la perpendiculaire découle de ce fait que l'inclinaison des directions détermine la mesure des angles. Les angles étant égaux, les longueurs similairement dirigées d'un même point doivent être égales.

La définition d'Euclide, pour obscure qu'elle soit, implique cependant cette notion d'invariabilité de direction associée à la longueur d'où découlent les deux postulats contestés. Si on a pu considérer ces postulats comme indépendants de la définition de la droite, c'est qu'on a voulu faire découler l'angle de la ligne. Or ce sont deux notions primitives qui n'existent que l'une par l'autre, comme élément être et élément savoir, reliés et neutralisés par la notion de distance, qui est leur élément neutre. Sans la notion d'angle constant il n'y a ni droite ni courbe, mais simplement des lignes. Sans notion de ligne, il n'y a pas de développement angulaire, pas d'étendue, simplement des tendances dirigées, des rapports de pure qualité.

Donc, à côté de la ligne droite se forme une notion tout aussi primordiale, celle de la ligne à courbure constante: le cercle. Le cercle est la seule ligne plane partageant avec la droite la propriété d'être semblable à ellemême en tous ses points. (Dans l'espace à trois dimensions, l'hélice, qui dérive du cercle par son périmètre, de la droite par son axe, est la combinaison de ces deux lignes, et partage seule avec elles cette propriété.) On arrive à la notion du cercle d'une manière aussi immédiate qu'à la notion de droite, par l'attribution d'une expansion fixe à l'élément de rotation. Quand la rotation s'effectue sans que la translation varie, la direction conserve une égale intensité, qui, évaluée en longueur, se traduit par une surface limitée par'une ligne dont tous les points sont équidistants du centre de rotation. L'angle

— esse définit en fonction de la longueur par l'intégrale d'une longueur qui est ici constante et produit la circonférence. Les rapports de distance linéaire de tous les points d'une ligne, par rapport à un point fixé, sont ce qui donne la notion de courbure. La courbure constante répond au cercle. La circonférence pourrait se définir une ligne parallèle à un point.

La ligne droite correspond à la courbure de rayon infini. Si on rend le rayon fini, la rotation de la ligne droite par rapport à un point correspond à la fonction trigonométrique de la tangente, sur laquelle nous reviendrons plus loin. Mais on voit ici que la notion de tangence se présente immédiatement, sans se déduire du rapprochement des deux intersections d'une sécante jusqu'à les faire fusionner en un point double.

La perpendicularité est la notion de moindre distance d'un point à une ligne ; elle dérive donc ici de la seule variation de courbure et n'a pas besoin de se ramener à l'angle droit, mais peut se définir par la tangence au cercle.

Nous reviendrons plus loin sur ces diverses relations. Ce qu'il faut retenir ici, c'est que la notion de courbure découle immédiatement de l'application d'une longueur au mouvement de rotation, et qu'on n'a pas à la déduire de la ligne brisée.

Système des éléments fondamentaux de la géométrie

C'est parce que l'on a négligé dans la géométrie euclidienne de développer concurremment les deux notions d'angle et de ligne et de leurs deux éléments transitifs.

qui sont la courbure et la rectitude,que l'on s'est heurté aux postulats qui font le scandale de nos géomètres. L'échec provient toujours du même vice philosophique, qui consiste à vouloir déduire d'un seul des trois principes radicaux de toute réalité, la réalité tout entière; alors que la réalité n'existe que par leur compénétration réciproque. Et cette tendance erronée provient de ce que la réalité, en se développant dans les éléments universels, se concentre sur l'un ou l'autre de ses deux pôles, et par là tend à faire oublier la réalité de l'autre, ensuite que, dans les éléments transitifs, les deux éléments être et savoir échangent leurs fonctions. Si donc on a donné dans l'illusion qu'un seul des éléments est primitif, on entrevoit la possibilité de lui subordonner son opposé; mais cette illusion est sans cesse déçue, et on se trouve acculé ou bien a,u scepticisme, ou bien à un relativisme nominaliste, danger considérable que courent les mathématiques, surtout depuis ces dernières années.

C'est là où la doctrine de Wronsky nous apparaît comme un phare lumineux, et rétablit l'ordre en nous soulevant le voile de l'essence trine de toute réalité (l).

Partant des notions de distance (EN), de translation (ES) et de rotation (EE), comme éléments primordiaux, on a pour éléments universels la ligne (US) et l'angle (UE), puis, comme éléments transitifs, la ligne droite

(1) Le schéma que j'esquisse ici n'a pas été donné parWronski; il est seulement établi d'après ses principes, et il en montre la fécondité. Wronski a donné un schéma de la géométrie (que nous verrons ailleurs) sensiblement différent ; mais In point de vue y est autre, et il n'y a nulle contradiction entre le schéma de Wronski et l'ébauche de schéma que nous indiquons ici.

orientée (TS),qui définit une direction,et la ligne courbe périphérique (TE), qui définit une rotation (1).

La partie systématique comprend l'influence partielle de la rotation dans la translation rectiligne (E en S) ; c'est la ligne brisée réalisant les figures polygonales. Et là encore, le rapport ternaire se présente et vient fortifier le postulat rejeté par Riemann, et que nous avons déduit de la considération de la droite comme l'identification, d'une translation minimum avec une rotation nulle. Il faut trois angles et trois droites pour circonscrire un espace par translation sans courbure ; c'est le symbole des trois pas de Wishnou, définissant les formes par la propulsion volitive pure parfaitement unifiée. Dans le passage de la ligne droite au polygone régulier, nous voyons la pluralité infinie des centres de rayon constant constituée par le parallélisme des miroites se compacter en un nombre de centres finis (centre des médianes, des bissectrices, du cercle inscrit au circonscrit, etc.), et cette transformation tend vers l'unité de centre dans les polygones réguliers. Ici,se présente comme corollaire le postulat de l'enveloppante plus grande que

(1) ES = Elément Savoir.

EE = Elément Etre.

EEN = Elément Neutre.

US = Elément universel Savoir.

UE z= Elément universel Etre.

TS = Elément Transitif Savoir.

TE = Elément Transitif Etre.

E enS = Influence partielle deTEtre clans le Savoir. E en S = Influence partielle du Savoir dans l'Etre. CF = Concours final : (influence réciproque). PC = Parité coronale.

Tenveloppée (entre lignesconvexesTéunissantdeux points) En effet, les segments droits de ces lignes croissent proportionnellement en s'éloignant du centre. L'influence partielle de la translation rectiligne dans la rotation (S en E) divise les centres en foyers, et aboutit à former des courbes ouvertes ayant une asymptote. La parabole marque le passage où l'un des foyers atteint l'infinie pluralité des centres en se transformant en droite.

Le concours final (CF) entre la relation rectiligne et la rotation concilie les deux principes dans la spirale, où une infinité de rotations complètes s'ouvrent en une translation qui tend vers la translation infime dans toutes les directions. Là, le double caractère de la distance agit comme principe téléologique. Enfin, la parité coronale ( P. C.) du système représente la distance à une puissance supérieure dans la synthèse de sa double forme universalisée : c'est la surface qui peut être engendrée, soit par rotation, soit par translation.

Conclusion

En définitive, les géométries non euclidiennes peuvent se concevoir de trois manières : 1° concurremment avec la géométrie euclidienne, comme relatives à certains milieux caractérisés par une influence générale typique imprimée à tous les objets, influence que l'on extrait de la forme des objets pour la mettre en facteur commun. Ces géométries définissent alors plus clairement les lois générales de certains milieux.Et les lignes qui n'ont d'autre variation spéciale que ce caractère typique sont jugées droites par rapport à ce milieu.

2° Ces géométries peuvent faire correspondre des notions différentes à une même représentation. A ce titre, elles équivalent à une géométrie euclidienne établie sans figures représentatives, mais avec symboles conventionnels.

Dans ces deux cas, les propriétés de la ligne droite doivent demeurer intacts.

3° Ces géométries peuvent disjoindre les propriétés de la ligne droite noQ reliées entre eUes par une démonstration, et supposer trois espèces de droites, dont l'euclidienne seule réunirait toutes les propriétés reconnues par l'expérience. Cette distinction suppose qu'on n'attribue à la notion de droite que la valeur abstraite et

arbitraire exprimée par les définitions classiques. Or nous avons vu que cette notion se fonde sur une nécessité métaphysique, et qu'elle est composée par la réunion de deux notions de ligne et de direction. Disjoindre les deux groupes des propriétés découlant de ces deux notions constitutives de celle de droite, c'est supprimer non seulement la représentation de la ligne droite, mais encore sa notion métaphysique. C'est donc conserver le même nom quand le caractère essentiel de la chose a disparu,et c'est là un procédé défectueux, que nous avons relevé déjà à propos de la vie et de l'âme, et qui rend indéchiffrables une foule de problèmes.

Mais on peut se demander dans quelles conditions d'existence il est possible de réaliser la notion (non plus de droite), mais de cette chose qui établit dans l'espace le minimum d'hétérogénéité de perception et la moindre séparation des individualités. Ce sera évidemment : 1° lorsque la rotation seule ou la translation seule seront possibles, et cela répond à la perception réduite à deux ou à une dimension sans conscience de la notion de dimension ; 2° lorsque la translation et la rotation sont liées de telle façon qu'on ne peut les concevoir dissociées. Alors, le milieu est une certaine fonction du sujet, et l'influence déviatrice de tout mouvement n'est attribuée ni à une force régissant le milieu ( P' aspect des géométries non euclidiennes) ni à une force régissant le sujet (2^ aspect), mais comme attachée à la relation même du sujet avec le milieu (3« aspect).

Or nous participons en partie à ces conditions. Notre vie n'est pas tout entière contenue dans l'espace euclidien ; elle ne s'écoule dans cet espace que dans la mesure où nous fonctionnons comme synthèse, c'est-

à-dire comme unité combinée à une pluralité. Mais là où nous sommes unité irréductible ou bien pluralité non unifiée, nous sommes hors de l'espace euclidien. Cet «space répond à la somme des fixités relatives à nos changements, fixité qui permet d'ordonner nos perceptions en permettant d'établir et de comparer les formes en les rapportant à des rapports invariables. C'est dans la mesure où s'établit cet équilibre mobile, qui constitue la synthèse de la vie psycho-orga.nique,que nous sommes contenus dans l'espace euclidien.

Mais la perception claire fournissant des concepts précis et les actions définies que nous pratiquons ne comprennent qu'une part assez restreinte de notre vie. Les concepts, les notions définies, et spécialement nos notions de temps, d'espace, de mesure, de nombres, de direction, etc., sont des acquis, des données fixées par le travail intellectuel et nécessitées pour établir l'ordre dans l'accomplissement de nos fins .Ce ne sont pas des formes primitives ni finales de notre évolution psycho-organique. Cette zone de la conscience claire est enveloppée d'une infra et d'une supra-conscience. Hartmann a été un des premiers à faire pénétrer la philosophie dans ces domaines. Et depuis, la psychologie expérim-entale a beaucoup étudié l'infra-conscience et fort peu la supra-conscience. Je n'ai ici qu'à signaler ces deux domaines qui enserrent celui de la conscience claire, comme correspondants aux géométries non euclidiennes dans leur pleine substitution à l'euclidienne. L'espace euclidien serait ainsi le domaine de la conscience claire : l'appétition instinctive semble répondre à l'espace de Riemann, et l'intuition supérieure de la psnsée à celui de Lobatschewsky, ainsi que nous l'avons

vu. Ces deux espaces peuvent donc exister seuls là où existe exclusivement l'appétition ou la pensée pure, mais non l'état de vie psycho-organique et de conscience proprement dite. Le premier est l'empire du binaire irréductible sur lequel est fondée l'individualité, le second tend à établir l'universalité. L'espace euclidien est donc le milieu où les deux tendances fondamentales de la dispersion et de la concentration se rencontrent et se neutralisent : c'est l'état de la vie sensitivo-volitive. Et il est à penser que les trois espaces s'évanouiront comme tels lorsque l'antagonisme radical des deux forces se résoudra en harmonie sous l'influence téléologique du^temps.