Lagrangb : Ibid., 2^ partie, section IV, n

quantités Ja, Jp, ..., une règle d'une extrême élégance; cette règle fait intervenir une grandeur qui va jouer en Dynamique un rôle essentiel : la force vive du système. Cette force vive s'obtient de la manière suivante : Prenant chacun des points ou des éléments de volume qui composent le système, on multiplie la moitié de sa masse m par le carré de sa vitesse v et Ton fait la somme des produits

m y* -L. 122' v'* -Iobtenus ; cette somme ~" est la force

vive.

La force vive peut s'exprimer au moyen des variables indépendantes a, p, ... et des vitesses généralisées ; l'expression de la force vive au moyen de ces éléments possède cette double propriété d'être homogène et du second degré par rapport aux vitesses généralisées, et d'être positive pour peu que le système soit en mouvement. En faisant usage de la première de ces deux propriétés, Lagrange a institué un calcul régulier qui, de cette expression de la force vive, tire les forces d'inertie généralisées.

La formule fondamentale de la Dynamique exige que la somme des deux quantités ASa + BS/3+ ... et JaSa + Jp§^ + ... soit égale à zéro pour tous les déplacements virtuels imposés au système, ou, en d'autres termes, que Ton ait, à chaque instant:

A + Ja = 0, B + Jp = 0,

Ainsi s'obtiennent, sous la forme la plus simple et la plus maniable, les équations qui régissent le mouvement du système.

Ces équations de Lagrange sont en même nombre

que les variables indépendantes a, p, ...; elles relient entre elles non seulement ces variables, mais encore leurs premières et secondes dérivées par rapport au temps; elles constituent donc ce que les géomètres nomment un système déqualions différentielles du second ordre.

On n'attend pas de nous que nous exposions, même sommairement, les travaux auxquels ces équations ont donné lieu, depuis l'époque de Poisson, de Cauchy, de PfaflF, de Hamilton, de Jacobi, jusqu'à notre temps, illustré par les recherches de M. Henri Poincaré, de M. Painlevé, de M. Hadamard; c'est l'histoire même des équations diflférentielles du second ordre que nous serions amené à écrire; disons seulement qu'un des principaux faits analytiques mis en évidence par cette histoire serait l'extrême importance de la notion de potentiel, introduite par Lagrange,

Cette importance, d'ailleurs, va déjà éclater aux yeux par l'examen rapide de quelques questions de Dynamique, prises entre les plus essentielles ; ces questions se rattachent toutes à V équation de la force vive^.

Le fondement de cette équation se trouve dans cette remarque bien simple : Lorsqu'un système se meut pendant un certain laps de temps, les forces d'inertie eflfectuent un travail qui est précisément égal à la diminution de la force vive pendant le même temps. Dèslors, il suffit d'user de la formule fondamentale delà Dynamique, en traitant comme

1. Laoranoe : Mécanique analytique j 2^ édition, 2« partie, section III, § v.

déplacement virtuel chacun des éléments du mouvement réel, * pour obtenir la proposition suivante :

Le travail effectué^ pendant un certain laps de temps^ par les forces réelles qui sollicitent un système est égal à T accroissement éprouvé^ en même temps, par la force vive du système.

Ainsi se trouve précisée et ramenée aux principes mêmes de la Mécanique la célèbre loi de la force vive, aperçue en premier lieu par Leibniz.

Lorsque les forces auxquelles le système est soumis admettent un potentiel, cette loi prend une forme bien remarquable; dans ce cas, en effet, le travail accompli par les forces durant un certain laps de temps est égal à la diminution du potentiel pendant ce temps ; cette diminution du potentiel est donc égale à l'augmentation éprouvée, en même temps, par la force vive, en sorte que la somme du potentiel et de la force vive garde, pendant toute la durée du mouvement, une valeur invariable.

Un système isolé se trouve dans les conditions requises pour que ce théorème soit applicable; les seules forces sont alors celles que les diverses parties du système exercent les unes sur les autres, et nous avons admis qu'elles dérivaient d'un potentiel ; dans ce cas, on donne souvent au potentiel des forces intérieures le nom d'énergie potentielle du système; à la force vive, le nom d'énergie vive^ actuelle ou cinétique; à leur somme, le nom d'énergie totale ; la proposition précédente prend alors celte forme : Bans le mouvement d'un système matériel soustrait à faction de tout corps extérieur^ f énergie totale du système garde une valeur inva-

viable ; sous le nom de Principe de la conservation de T énergie^ cette proposition a joué un rôle capital dans le développement de la Physique.

Si le système étudié était soumis à l'action de certains corps extérieurs, la valeur de son énergie totale pourrait varier ; l'accroissement subi par cette énergie pendant un certain laps de temps serait précisément égal au travail eflfectué, en même temps, par les forces qui proviennent des corps extérieurs.

En usant de l'équation de la force vive dans le cas où les forces qui s'exercent dérivent d'un potentiel, Lagrange a découvert un théorème fort important touchant la stabilité de F équilibre.

Prenons un système mécanique soumis à de telles forces et, sans lui imprimer aucune vitesse initiale, plaçons-le dans un état où le potentiel des forces agissantes est moindre qu'en tout état voisin ; les lois de la Statique montrent sans peine que le système demeurera en équilibre dans cet état. Les lois de la Dynamique et, en particulier, l'équation de la force vive, nous donnent un nouveau renseignement : A un instant donné, écartons très peu le système de son état d'équilibre et communiquonslui des vitesses très petites ; le système va se mettre en mouvement, mais les divers états par lesquels il passera au cours de ce mouvement resteront toujours très voisins de l'état d'équilibre initiai et les vitesses de ses différentes parties garderont de très petites valeurs ; l'équilibre initial sera un équilibre stable. De cette belle proposition, Lagrange* donna

1. Laoranoe : Mécanique analytique^ 2« édition, l^e partie, section 111, § v, n» 25.

une démonstration que, par de légères modifications, Lejeune-Dirichlet * rendit tout à fait rigoureuse.

Au voisinage d'une telle position d'équilibre stable, le système, légèrement écarté de son état d'équilibre, exécute de petites oscillations ; ces oscillations résultent de la superposition d'autant de vibrations simples qu'il y a de variables indépendantes ^ ; les méthodes imaginées par Lagrange pour étudier ces oscillations sont également précieuses au physicien et à l'ingénieur ; elles n'ont pas moins de portée en Acoustique que dans la théorie des vibrations des machines.

Un système ne peut-il se trouver en équilibre stable que dans les positions oti le potentiel atteint une valeur minimum ? Lagrange crut avoir démontré cette proposition ; mais ses raisonnements étaient visiblement insuffisants; c'est seulement de nos jours que M. LiapounoflF et M. Hadamard ont pu, dans un cas fort étendu, leur substituer des déductions convaincantes.

1. Lejeune-Dirichlet: Ueber die Stabilit'àt des Gîeichgewichtes (Crelle's Journal, Bd. XXXII, § 85 ; 1846).

2. Laoranoe : Mécanique analytique^ 2e édition, 2^ partie, section Vï, § i.