Laplace : Mécanique céleste^ livre XII, chapitre i

culaires, dépendent de ce genre de forces, comme les phénomènes célestes dépendent de la gravitation universelle. Leur considération me paraît devoir être maintenant le principal objet de la Philosophie mathématique. Il me semble même utile de l'introduire dans les démonstrations de la Mécanique, en abandonnant les considérations abstraites de lignes sans masse flexibles ou inflexibles et de corps parfaitement durs. Quelques essais m'ont fait voir qu'en se rapprochant ainsi de la Nature, on pouvait donner à ces démonstrations autant de simplicité et beaucoup plus de clarté que par les méthodes usitées jusqu'à ce jour. »

Les nombreux mémoires de Poisson vont transformer cette remarque en une véritable doctrine, rivale de celle de Lagrange et qui s'efl'orcera de la supplanter. Entre ces deux méthodes, le débat est l'un des plus graves, et, en même temps, l'un des plus subtils qu'ait à relater l'historien des explications mécaniques.

Remarquons, en premier lieu, qu'entre les divers éléments de volume d'un milieu continu, traité selon la méthode de Lagrange, on peut fort bien admettre l'existence de ces forces attractives ou répulsives introduites par la Physique newtonienne et nommées actions moléculaires. Lorsque, par exemple, Gauss* traite un fluide comme un milieu continu dont les divers éléments sont soumis à de telles forces, lorsqu'il détermine la figure de ce fluide par le procédé des déplacements virtuels, il n'écrit

1. C. F. Gauss : Principia generalia theoriœ fîgurae Ûuidorum in statu œçuilibni (Commentationes Societatis Gottingensis recentiores, vol. Vil, 1830. — Gauss, Werke, Bd.V).

rien qui ne s'accorde très exactement avec les règles posées dans la Mécanique analytique.

Mais Fexistence de ces actions mutuelles n'empêche nullement chaque partie d'un tel milieu continu d'être impénétrable aux parties voisines, en sorte que la présence de chacune de ces parties oppose un obstacle au mouvement des parties contiguës et constitue pour elles une liaison.

C'est à la considération de telles liaisons que se relie la notion générale de pression à l'intérieur d'un milieu quelconque, solide ou fluide, mobile ou immobile ; pour définir cette notion, il suffit d'étendre ce que, d'après Lagrange, nous avons dit de la pression hydrostatique.

Considérez un milieu continu dont les divers éléments de volume sont impénétrables les uns aux autres ; le mouvement de chacune des parcelles de ce milieu est soumis à certaines conditions de liaisons qui résultent de l'impénétrabilité des parcelles attenantes; isolez par la pensée, en l'entourant d'une surface fermée, une portion de ce milieu; éloignez-la de tout le reste du milieu, tout en conservant la force réelle qui agit sur chacun des éléments de la portion ainsi isolée; les liaisons auxquelles cette portion est soumise ont changé par cette opération, tandis que les actions réelles qui la sollicitent sont demeurées inaltérées; ces forces ne lui imprimeraient plus, en général, le mouvement qu'elles lui imprimaient lorsqu'elle était placée au sein du milieu; si l'on veut que le mouvement de cette masse demeure inaltéré par l'opération qui l'a isolée, il faudra, aux forces réellement agissantes qui en sollicitaient et qui en sol-

licitent encore les éléments, adjoindre des forces nouvelles, qui seront les forces de liaison.

Par les méthodes de Lagrange, liées aux principes fondamentaux du Calcul des variations, on démontre que ces forces sont appliquées exclusivement à la surface qui limite la masse isolée ; que chaque élément de cette surface supporte une force du même ordre de grandeur que son aire; que^ pour connaître la grandeur et la direction de la force supportée par un élément, il n'est pas nécessaire de connaître la surface dont cet élément fait partie, mais seulement la position de l'élément à l'intérieur du milieu; ainsi se trouve nettement définie la notion de pression en chaque point du milieu et pour chaque orientation de l'élément superficiel mené par ce point.

Lorsque, pour définir la pression à l'intérieur d'un corps, on isole une partie de ce corps de tout ce qui l'environne, il faut avoir grand soin, comme nous l'avons indiqué, de ne supprimer aucune des forces réelles qui agissent sur cette partie. Si, par exemple, on regarde certaines de ces forces comme provenant des portions aroisinantes du milieu, de telle sorte que la suppression de ces portions entraîne la disparition de ces forces, on les supposera remplacées par d'autres forces égales, émanées de corps non contigus à la portion isolée, partant, n'apportant aucune gêne à son mouvement.

Mais il faudrait bien se garder de dire simplement et sans précautions que les pressions sont les forces qu'il faut appliquer à une portion du milieu, isolée de ce qui l'environne, pour lui rendre le mouvement qu'elle prendrait dans sa situation na-

turelle au sein du milieu. Dans ces conditions, en effet, les pressions remplaceraient non seulement les liaisons dues à la présence des parties du milieu contiguës à celle que nous avons isolée, mais encore les forces réelles que les premières parties peuvent exercer sur la dernière. Cette confusion ne paraît pas avoir été évitée par Lamé*.

Pour Poisson, comme pour Boscovich, les corps ne sonô continus qu'en apparence; en réalité, ils sont formés de points matériels isolés. Si nous considérons une partie d'un milieu, c'est-à-dire un groupe de points matériels, ses déplacements virtuels infiniment petits n'éprouvent aucune gêne de la part des points matériels qui avoisinent ce groupe sans le toucher; si nous éloignons ces points matériels voisins, nous ne supprimons aucune liaison au groupe conservé ; mais nous supprimons les actions moléculaires que ce groupe éprouvait de la part des points matériels que nous avons éloignés] les pressions que nous allons appliquer aux points matériels conservés auront pour objet de compenser exactement l'effet de ces forces moléculaires détruites. Selon cette manière de voir, les pressions ne sont plus des forces de liaison ; ce sont les résultats des actions moléculaires exercées sur une partie des points matériels qui composent le système par les autres points matériels du système.

Tel est le sens attribué par Poisson à la pres^ sion que l'on rencontre dans l'étude des milieux

1. Lamé : Leçons sur la théorie mathématique derÈîasticité des corps solides, 2« édition, p. 10.

solides ou fluides, à la tension d'un fil ou d'une membrane.

C'est, en eflTet, dans son Mémoire sur les surfaces élastiques * que, pour la première fois, Poisson définit de la sorte la tension d'une membrane; mais bientôt, il pousse les conséquences de cette méthode dans toutes les parties de la Physique, dans l'étude de l'Élasticité', de l'Hydrostatique', de la Capillarité *. Selon lui, cette innovation constitue une réforme capitale, la création d'une nouvelle Mécanique, la Mécanique physique, appelée à supplanter la Mécanique analytique de Lagrange. Voici en quels termes il s'exprime à la fin du préambule de son Mémoire sur les corps élastiques :

« Ajoutons qu'il serait à désirer que les géomètres reprissent, sous ce point de vue physique et conforme à la Nature, les principales questions de Mécanique. 11 a fallu les traiter d'une manière tout à fait abstraite pour découvrir les lois générales de l'équilibre et du mouvement; et, en ce genre d'abstraction, Lagrange est allé aussi loin qu'on puisse le concevoir, lorsqu'il a remplacé les liens physiques des corps par des équations entre les coordonnées de leurs différents points; c'est là ce qui constitue la Mécanique analytique; mais, à côté de

1. Poisson : Mémoire sur les surfaces élastiques, lu à l'Institut le i^^ août 1814.

2. Poisson : Mémoire sur Véquilibre elle mouvement des corps élastiques, lu à l'Académie le 14 avril 1828.

3. Poisson : Mémoire sur l'équilibre des Ûuides, lu à l'Académie le 24 novembre 1828.