Poisson : Nouvelle théorie de Vaction capillaire, Psiris

cette admirable conception, on pourrait maintenant élever la Mécanique physique, dont le principe unique serait de ramener tout aux actions moléculaires, qui transmettent d'un point à l'autre Faction des forces données et sont Tinlermédiaire de leur équilibre. De cette manière, on n'aurait plus d'hypothèses spéciales à faire lorsqu'on voudra appliquer les règles générales de la Mécanique à des questions particulières. Ainsi, dans le problème de l'équilibre des corps flexibles, la tension qu'on introduit pour le résoudre sera le résultat immédiat des actions mutuelles des molécules, un tant soit peu écartées de leurs positions naturelles; dans le cas de la lame élastique, le moment d'élasticité par flexion proviendra de ces mêmes actions considérées dans toute l'épaisseur de la plaque, et son expression sera déterminée sans aucune hypothèse; enfin les actions exercées par les fluides dans leur intérieur et sur les parois des vases qui les contiennent sont aussi les résultantes des actions de leurs molécules sur les surfaces pressées, ou plutôt sur une couche fluide extrêmement mince en contact avec chaque surface. »

Ainsi, selon Poisson, il existe deux manières de concevoir la Mécanique: dans Tune, qui est celle des géomètres, les systèmes étudiés sont soumis seulement à des forces extérieures, ou à des attractions mutuelles dépendant de la gravité universelle, mais ils sont assujettis à des liaisons; dans l'autre, qui est celle des physiciens, les systèmes sont formés de points matériels libres; mais, aux forces réelles que considérait la première Mécanique, il faut joindre les actions moléculaires qui

s'exercent en chaque couple de points; ces deux Mécaniques sont équivalentes pour qui ne tient compte que de leurs conséquences; mais la seconde serre de plus près la nature intime des choses.

Cette doctrine de Poisson, nous Tavons dit, n'est que le développement d'une pensée de Laplace ; nous ne nous étonnerons donc pas de la retrouver dans les écrits des contemporains de Poisson, particulièrement de ceux qui ont fondé la théorie de l'Élasticité. La pression est définie selon la méthode de Poisson au début du Mémoire où Navier* pose, pour la première fois, les conditions d'équilibre d'un solide élastique. Cauchy* suit la même voie lorsqu'il étend aux corps non isotropes les résultats obtenus par Navier; dans ses nombreuses et importantes recherches sur l'élasticité, il suit tantôt la méthode de Lagrange, tantôt la méthode de Laplace et de Poisson : « Dans la recherche des équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur des corps solides ou fluides, on peut, dit-iP, considérer ces corps comme des masses continues dont la densité

1. Navier -.Mémoire sur les lois de V équilibre et du mouvement des corps solides élastiques, lu à l'Académie des Sciences le 44 mai 1821.

2. Gauchy : Recherches sur Véquilibre et le mouvement intérieur des corps solides ou fluides, élastiques ou non élastiques, communiquées à l'Académie des Sciences le 30 septembre 1822 (Bulletin de la Société philomatique, année 1823, p. 9).

3. Gauchy : Sur les équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur d'un corps solide élastique ou non élastique {Anciens Exercices^ 3e année, p. 160; 1828).

varie d'un point à l'autre par degrés insensibles, ou comme des systèmes de points matériels distincts, mais séparés entre eux par de très petites distances. » Cauchy semble s'attacher, en toutes circonstances, à établir l'équivalence des deux méthodes.

Jusqu'à nos jours, les esprits les plus éminents n'ont cessé de professer, au sujet des pressions, les idées émises par Poisson, d'en admettre l'équivalence avec les opinions de Lagrange, voire de les prôner comme plus conformes que celles-ci à la véritable constitution des corps.

Parlant de la théorie de la capillarité donnée par Poisson, J. Bertrand s'exprime ainsi * : <i II est bien vrai que, dans le fluide physique et compressible, la pression ne peut être distinguée de la résultante des forces moléculaires et doit se calculer, comme Poisson l'a si souvent remarqué, au moyen de la fonction qui les représente. Mais, au point de vue abstrait auquel les géomètres se placent, cette pression forme une force à part, de la nature de celles que l'on introduit si souvent en Mécanique sous le nom de forces de liaison,,, »

De Saint-Venant, dont les immenses travaux ont grandement contribué aux progrès de l'élasticité, n'a cessé de défendre la manière de voir de Poisson. En marge d'un exemplaire de la Mécanique analytique,, qui lui a appartenu, auprès du passage où Lagrange marque si nettement que la pression hydrostatique est une force de liaison,

1. J. Bertrand : Mémoire sur la théorie des phénomènes capillaires {Journal de Liouville^ t. Xill, p. 195; 1848).

nous trouvons cette note de sa main : « La pression, c'est la répulsion moyenne des molécules fluides. » Quelques lignes plus bas, en regard d'un théorème, dû à Euler, sur la pression hydrostatique : « C'est encore une proposition analytique; il serait à désirer qu'on la convertît, ainsi que les autres, en principes physiques. » Au reste, dans la traduction du Traité de FÉIasticité de Clebsch, de Saint-Venant consacre une longue note* à l'exposé et à la défense des idées de Poisson.

Fidèle disciple de Saint- Venant, M. Boussinesq* ne considère jamais, en Mécanique, les forces de liaison, mais seulement les résultantes des actions moléculaires.

Dans son remarquable Traité de Mécanique rationnelle, M. de Freycinet^ suit de tout près l'idée de Poisson; il étudie parallèlement les systèmes qu'il nomme géométriques, dont les différentes parties sont unies par des liaisons comprises à la manière de Lagrange, et les systèmes qu'il nomme dynamiques, dont les différents points, libres de tout lien, exercent les uns sur les autres des attractions ou des répulsions : « Dans la Nature, dit-il, il n'y a pas de systômes géométriques, »

Nous n*en finirions pas si nous voulions énumérer tous les auteurs qui, explicitement ou implicitement, ont abandonné la notion de force de liaison

1. Clebsch : Théorie de V élasticité des corps solides, traduite par MM. Barré de Saint-Venant et Flamant, pp. 63 et suiv. ; Paris, 1881.

2. J. Boussinesq : Leçons synthétiques de Mécanique générale; Paris, 1889.

3. De Freycinet : Traité de Mécanique rationnelle, t. I, p. 240 ; Paris, 1858.

définie par la Mécanique analytique pour adhérer aux principes de la Mécanique physique.

Ces deux méthodes propres à traiter nettement les problèmes de la Mécanique sont, toutes deux, clairement et nettement formulées; qu'il soit logiquement permis de suivre Tune ou de suivre Tautre, c'est ce que personne ne saurait contester. En revanche, ce qu'il est loisible de contester, c'est l'équivalence des deux méthodes ; cette équivalence, si elle existe, ne saurait passer pour évidente ; elle jréclame une démonstration; il faut prouver, et non postuler, que ces deux Mécaniques conduisent, en toutes circonstances, aux mêmes conséquences. Si donc, par une de ces méthodes, on obtient des résultats qui ne s'accordent pas avec l'autre, on n'aura pas à se scandaliser de cette contradiction ; mais, comparant à l'expérience les résultats disparates des deux méthodes, on pourra rechercher quelle est celle qui s'adapte le mieux aux faits.

L'histoire de la théorie de la capillarité nous offre une occasion d'appliquer ces remarques.

Depuis Newton, la plupart des géomètres se sont accordés à attribuer la figure prise par un fluide dans un vase étroit aux attractions moléculaires qu'exercent, les unes sur les autres, les diverses parties du fluide. Cette hypothèse s'accorde, cela va de soi, avec les principes de la Mécanique de Poisson; mais elle est également conciliable, nous l'avons remarqué, avec les principes de la Mécanique de Lagrange ; seulement, dans cette dernière, le fluide est supposé continu; les attractions moléculaires s'exercent alors, non pas entre des points, mais entre des volumes infiniment petits

outre ces actions, on devra considérer les liaisons des éléments contigus; d'ailleurs, à ces liaisons, on aura très logiquement le dr'oit d'en adjoindre d'autres, telles que la condition &' incompressibilité, imposant à chaque masse élémentaire un volume invariable.

Les procédés de Lagrange permettent d'étudier l'équilibre de semblables fluides. On peut, à l'exemple de Gauss*, imprimer au système entier une modification virtuelle, ce qui évite de considérer la pression à l'intérieur du fluide ; on peut aussi, comme Franz Neumann*, introduire cette pression dans les calculs, en suivant de tout près la méthode employée en hydrostatique par Lagrange ; les résultats obtenus par l'un ou l'autre de ces deux procédés s'accordent entièrement avec ceux que Laplace' avait trouvés; l'illustre auteur de la Mécanique céleste faisait, d'ailleurs, usage du Principe de ï équilibre des canaux^ imaginé par Clairaut* et ramené par Lagrange au principe des vitesses virtuelles.

A son tour. Poisson^ aborde le problème de l'équilibre des liquides dans les espaces capillaires.

1. G. F. Gauss : Principia gênera lia théorise ûguras Ûuidorum in statu œquilibrii [Commentationes Societatis Gottingensis recenliores, vol. Vil; 1830-Gauss, Werke, Bd V).

2. F. E. Neumann : Vorlesungen ùber die Théorie der Kapillaritàt, Gh. VIII; Leipzig, 1894.

3. Laplace : Supplément au X* Livre de la Mécanique céleste; sur l'action capillaire. — Supplément à la Théorie de Faction capillaire,