CHAPITRE X

Parmi les substances dont la Physique étudie la compression, la dilatation, réchauffement ou le refroidissement, le groupe des gaz parfaits se distingue par Tuniformilc et la simplicité de ses propriétés. Or, lorsqu'on se propose d'expliquer mécaniquement ces propriétés en invoquant seulement la figure des atomes, leurs mouvements, leurs actions mutuelles, on se heurte à des obstacles difficiles à franchir; malgré les efforts qu'ont prodigués les physiciens et les géomètres, la Théorie cinétique des gaz se voit à peu près contrainte de renoncer à ses prétentions premières ; elle n'ose plus se donner comme expliquant la nature des substances gazeuses ; elle se contente de les imiter, de les figurer.

Si la Théorie cinétique des gaz a vu son développement arrêté par d'insurmontables barrières, si elle a dû dévier de la direction qu'elle s'était d'abord assignée, à plus forte raison rencontreronsnous les mêmes obstacles et constaterons-nous la môme déviation en étudiant la doctrine beaucoup

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plus vaste qui prétend expliquer par la figure, le mouvement et la force tous les phénomènes accompagnés d'un dégagement ou d'une absorption de chaleur ; cette doctrine est celle qui a reçu le nom de Théorie mécanique de la Chaleur.

Il faut remonter jusqu'à Descartes pour retrouver l'origine de l'hypothèse qui place la cause de nos sensations de chaud et de froid dans une agitation vive et désordonnée des petites parties des corps. Avant lui, les Scolastiques regardaient le chaud et le froid comme des qualités ; les anciens atomistes, et Gassendi lui-même, admettaient l'existence d'atomes spéciaux qui produisaient la sensation de chaleur, tandis que d'autres atomes engendraient le froid. Après Descartes, au contraire, tous les physiciens, qu'ils soient disciples de Huygens ou qu'ils se réclament de Newton, admettent que la chaleur est un effet du mouvement moléculaire. Cette hypothèse régna sans conteste jusqu'aux dernières années du xvm® siècle; alors seulement les recherches calorimétriques de Black et de Grawford rendirent une faveur momentanée à des suppositions analogues à celle que prônait Gassendi ; elles firent traiter la chaleur comme un fluide, auquel la nouvelle nomenclature chimique allait donner le nom de Calorique,

En 1783, Lavoisier et Laplacé hésitent encore entre l'hypothèse nouvelle qui regarde la chaleur comme un fluide et l'ancienne hypothèse cartésienne, qu'ils énoncent*, d'ailleurs, avec une grande

1. Lavoisiek et Laplage : Mémoire sur la Chaleur ^ lu à rAcadémie des Sciences le 18 juin 1783.

force et une grande précision : « D'autres physiciens pensent que la chaleur n'est que le résultat de mouvements insensibles des molécules de la matière. Pour développer cette hypothèse, nous observerons que, dans tous les mouvements où il n'y a pas de changement brusque, il existe une loi générale que les géomètres ont désignée sous le nom de Principe de la conservation des forces vives; cette loi consiste en ce que, dans un système de corps qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque, la force vive, c'est-à-dire la somme des produits de chaque masse par le carré de sa vitesse, est constante. Si les corps sont animés par des forces accélératrices, la force vive est égale à ce qu'elle était à l'origine du mouvement, plus à la somme des masses multipliées par le carré des vitesses dues à l'action des forces accélératrices. Dans l'hypothèse que nous examinerons, la chaleur est la force vive qui résulte des mouvements insensibles des molécules d'un corps, elle est la somme des produits de la masse de chaque molécule par le carré de sa vitesse.

«... Nous ne déciderons point entre les deux hypothèses précédentes ; plusieurs phénomènes paraissent favorables à la dernière; tel est, par exemple, celui de la chaleur que produit le frottement de deux corps solides... »

Malgré les admirables recherches de Laplace et de Poisson, le triomphe de l'hypothèse du Calorique fut de courte durée; certains faits contredisaient trop manifestement à cette doctrine; tel le dégagement de chaleur dans le frottement de deux corps, dégagement que l'on connaissait de temps

immémorial et que Rumford avait rendu particulièrement manifeste en la célèbre expérience de Munich; telle encore cette observation de Gay- Lussac qu'un gaz, çn se détendant dans le vide, n'absorbe ni ne dégage de chaleur. D'ailleurs, rOptique de Young et de Fresnel, en niant les corpuscules lumineux de Newton, en rendant à la lumière le caractère de mouvement vibratoire que lui avaient attribué Huygens et Malebranche, remettait en faveur les doctrines de Descartes et de ses successeurs; elle ruinait les hypothèses émissionnistes, empruntées aux anciens atomistes et à Gassendi. Aussi Sadi Carnot écrivait-il déjà : « La chaleur est le résultat d'un mouvement » ; puis, définissant avec précision l'équivalent mécanique de la chaleur, indiquant les diverses méthodes qui peuvent servir à le mesurer, il en donnait une première évaluation numérique.

Sadi Carnot mourut en 1832, mais ses notes demeurèrent inédites jusqu'en 1878, laissant à Robert Mayer la gloire de publier le premier, en 1842, une définition et une évaluation de l'équivalent mécanique de la chaleur.

La découverte de Mayer n'était pas inspirée par l'opinion que la chaleur est un mouvement moléculaire, car rillustre médecin de Heilbronn rejetait cette supposition; en revanche, cette hypothèse fut le stimulant des recherches poursuivies par ses continuateurs. Joule et Colding ; elle imprégnait les pages qu'en 1850, Clausius consacrait à Ténoncé précis du Principe de T équivalence entre la chaleur et le travail.

Cet énoncé peut être aujourd'hui dégagé de

toute hypothèse touchant la nature de la chaleur. Rappelons cet énoncé et, pour éviter toute complication inutile, convenons d'évaluer la chaleur en unités mécaniques^ c'est-à-dire de multiplier toute quantité de chaleur par l'équivalent mécanique de la chaleur.

Chaque état du système matériel que Ton se propose d'étudier correspond à une valeur bien déterminée d'une certaine grandeur, Vénerçjie interne de ce système; lorsque le système change de forme ou de densité, lorsqu'il s'échauffe ou se refroidit, lorsqu'il passe de l'un des états solide, liquide, gazeux à l'autre, lorsqu'il est le siège d'une réaction chimique, lorsqu'il s'électrise ou s'aimante, son énergie interne change de valeur; en revanche, elle demeure la même, que le système soit en repos ou en mouvement, que la vitesse de chacune des parties qui le composent soit petite ou grande.

Lorsque le système éprouve une modiBcation, la force vive et l'énergie interne croissent chacune d'une certaine quantité ; il se produit un certain dégagement ou une certaine absorption de chaleur; enfin, les forces que les corps étrangers exercent sur le système effectuent un certain travail. Si, du travail externe^ nous retranchons l'accroissenient de la force vive et T accroissement de l'énergie interne, nous obtenons la quantité de clialeur dégagée. Tel est l'énoncé du Principe de l'équivalence entre la chaleur et le travail.

Quelle que soit l'origine que l'on veuille attribuer à ce principe, qu'on le regarde ou non comme lié à l'hypothèse qui fait de la chaleur un mode du mouvement, on doit le tenir pour un des plus fermes

soutiens de la Physique actuelle. Si l'on veut réduire tous les phénomènes physiques à la figure, au' mouvement, à la masse et à la force, on doit tout d'abord donner une explication mécanique du Principe de Téquivalence entre la chaleur et le travail.

La besogne, d'ailleurs, est aisée; l'interprétation mécanique de ce principe est contemporaine de sa découverte; Helmholtzen 1847,Clausius en 1850,1a formulaient d'une manière précise.

Considérons d'abord un système qui paraît en équilibre. Les molécules qui le composent sont animées d'un mouvement de si petite amplitude qu'il est indiscernable; mais ce mouvement est d'une très grande rapidité; tout en agitant les molécules en tout sens, d'une manière désordonnée, ce mouvement laisse invariable l'état moyen du système, qui est un état à'éqiiiUbre statistique. A ces mouvements stationnaii^es^ commeles nomme Glausius, correspond une certaine force vive moyenne.

Si le système étudié paraît être non plus en équilibre, mais en mouvement, les molécules ne sont plus exclusivement animées de mouvements stationnaires; le mouvementréel qui entraîne chacune d'elles s'obtient en composant le mouvement stationnaire elle mouvement sensible.

Ce mouvement réel correspond à une certaine force vive. En général, quand on compose entre eux deux mouvements, il n'est pas vrai que la force vive du mouvement résultant soit égale à la somme des forces vives des mouvements composants; il n'est donc pas exact que la force vive totale d'un système soit, à chaque instant, la somme de la force

vive des mouvements stationnaires et de la force vive des mouvements sensibles.

Mais, dans les mouvements sensibles que nous avons à étudier, la vitesse de chaque point matériel varie graduellement, en général; en un temps qui semble très court à nos moyens de percevoir, la variation de cette vitesse est aussi très petite ; au contraire, dans ce même temps, la vitesse, qui, dans le mouvement slationnaire, anime le même point matériel, a changé de sens un nombre immense de fois ; calculée pour un tel intervalle de temps, la valeur moyenne de chacune de ses composantes diffère extrêmement peu de zéro; dès lors, une démonstration tout élémentaire permet d'affirmer que la force, vive moyenne du système, prise pendant le même temps, est la somme de la force vive des mouvements sensibles et de la force vive moyenne des mouvements stationnaires.

Les molécules qui composent le système exercent les unes sur les autres des actions attractives ou répulsives; ces actions intérieures admettent un potentiel ; grâce aux mouvements stationnaires qui agitent les molécules, la valeur de ce potentiel varie sans cesse, même dans un système qui paraît en équilibre; mais, en un tel système, elle oscille entre des limites très étroites autour d'une valeur moyenne qui caractérise l'état d'équilibre statistique du système. Si cet état éprouve un changement sensible, les forces intérieures effectuent un travail qui diffère peu de la diminution subie par ce potentiel moyen.

Les corps extérieurs qui entourent le système exercent sur lui certaines actions, et, durant un laps

de temps donné, ces actions effectuent un certain travail.

Ce travail comprend d'abord le travail qu'il faudrait effectuer pour donner, dans le même temps, le même déplacement sensible aux masses sensibles, si celles-ci n'étaient pas intérieurement agitées de mouvements stationnaires ; mais il comprend aussi autre chose; sans analyser la nature de ce second contingent, nous le pouvons nommer la quantité de chaleur que le système a reçue des corps extérieurs; en changeant le signe de cette grandeur, nous aurons la quantité de chaleur dégagée par le système.

La Dynamique nous fournit ce théorème : La somme du travail externe et du travail interne est égale à l'accroissement de la force vive totale du système. Usons-en, et nous obtiendrons la proposition suivante :

La somme du travail externe et de la diminution subie par la force vive sensible équivaut à une somme de trois termes : •

1° La quantité de chaleur dégagée;

2° L'accroissement du potentiel moyen des fictions intérieures ;

3** L'accroissement de la force vive moyenne des mouvements stationnaires.

Il nous suffit maintenant de nommer énergie interne du système la somme du potentiel moyen des actions intérieures et de la force vive moyenne du mouvement stationnaire pour reconnaître l'énoncé du Principe de l'équivalence entre la chaleur et le travail.

Ce principe n'est pas le seul qui soit invoqué dans

la théorie de la chaleur ; celle-ci ne parvient à son entier développement qu'en invoquant un autre principe : le Principe de Sadi Carnot et de Clausius.

A la découverte de ce dernier principe, les sup-. positions sur la nature mécanique de la chaleur n'ont nullement contribué ; des postulats, que Tinduclion avait tirés du sein des vérités d'expérience, ont conduit Sadi Carnot à l'énoncer sous une forme qui impliquait l'hypothèse du Calorique ; plus tard, Clausius l'a modifié de telle manière qu'il pût s'accorder avec le Principe de l'équivalence entre la chaleur et le travail; les énoncés divers que ce grand physicien en a donnés sont indépendants de tout ce qui a été tenté pour expliquer les propriétés de la chaleur par les lois de la force et du mouvement.

Ces énoncés font jouer à la température un rôle essentiel, qui donne à cette propriété physique une physionomie tout à fait à part. Ils postulent, en effet, l'existence d'une certaine grandeur dont la valeur est fixe pour un degré déterminé de chaleur, en quelque corps que ce degré de chaleur soit réalisé ; cette valeur s'élève, d'ailleurs, au fur et à mesure que ce corps, quel qu'il soit, devient plus chaud. Cette grandeur est la température absolue.

Lorsqu'un système éprouve une modification inflniment petite, il dégage une certaine quantité de chaleur qui est, elle aussi, infiniment petite; le quotient de cette quantité de chaleur par la température absolue du système est la valeur de transformation du changement d'état infiniment petit. Une modification finie est une succession de modifications infiniment petites, dont chacune a une

LA THÉORIE MÉCANIQUE DE LA CHALEUR lii

valeur de transformation ; la somme de ces valeurs de transformation est la valeur de transformation de la modification totale.

Ces définitions permettent de formuler le Principe de Sadi Carnot et de Clausius, dont voici renoncé le plus général :

La valeur de transformation d*une modification est égale à la diminution que subit, par cette modification, une certaine grandeur, liée à toutes les propriétés qui fixent l'état du système, mais indépendante de son mouvement. A cette grandeur, Clausius a donné le nom à' Entropie du système.

L'application de ce principe aux gaz parfaits conduit de prime abord à une conclusion digne de remarque : La température absolue ici considérée est identique à la température que, dès 1702, Amontons lisait sur son thermomètre ; à celle dont, en 1738, Daniel BernouUi proposait l'emploi; à celle enfin qu'en 1812, Desormes et Clément nommaient température absolue.

Comme la formule de Carnot, la formule de l'équivalence entre la chaleur et le travail peut, nous l'avons vu, être rendue sauve de toute hypothèse sur la structure des corps et la nature de la chaleur. Sur ces deux formules, qui laissent indéterminée la nature de la chaleur, on peut construire tout un corps de doctrine, indépendant des divers systèmes d'explications mécaniques; cette doctrine n'aura pas l'ambition de réduire à la figure, au mouvement, à la masse et à la force tous les phénomènes qu'elle analyse ; mais, en bornant ses prétentions, elle assurera à ses déductions une grande sécurité. Telle est la Thermodynamique,

constituée en doctrine autonome par Clausius .et par G. Kirchhoff, et accrue par d^incessantes découvertes.

Parmi les physiciens, il en est qui se contentent de savoir moins, afin de savoir mieux, qui se résignent à ignorer le fond des choses pourvu que les phénomènes soient décrits avec précision et reliés les uns aux autres avec rigueur ; ceux-là ont adopté cette délimitation restreinte de la théorie de la chaleur. Mais ceux qui veulent tout expliquer par des « raisons de Méchanique » ne sauraient accepter comme définitive cette forme donnée à la Thermodynamique ; elle n'est pour eux qu'un acheminement vers la réduction des lois de la chaleur aux lois du mouvement.

Or, nous l'avons vu, le Principe de l'équivalence entre la chaleur et le travail se réduit sans difficulté à la loi de la force vive ; pour faire de la Thermodynamique tout entière un chapitre de la Mécanique, il suffit de tirer le Principe de Carnot des théorèmes de la Dynamique et des suppositions qui ont été faites sur la nature de la chaleur; à partir de ces prémisses, il suffit de prouver qu'en divisant par la température absolue la quantité de chaleur dégagée en une modification infinitésimale, on obtient la diminution d'une Entropie, fonction du seul état du système.

La signification même de la proposition à démontrer est-elle bien exactement fixée? L'interprétation du Principe de l'équivalence entre la chaleur et le travail a précisé le sens que la Théorie mécanique attribue à la quantité de chaleur dégagée par un système ; mais quelle combinaison de masses

et de mouvements doit-on substituer à la température absolue ?

Lorsqu'il s'agit de gaz parfaits, la Théorie cinétique conduit à identifier la température absolue avec la force vive moyenne des mouvements stationnaires. Il paraît bien naturel d'étendre cette assimilation à tous les corps. Aussi, dès les débuts de la Théorie mécanique de la chaleur, Glausius et Rankine n'ont-ils pas hésité à regarder cette assimilation comme légitime. La proposition à démontrer peut alors, en langage algébrique, s'énoncer ainsi : La force vive moyenne des mouvements stationnaires est diviseur intégrant de la quantité de chaleur dégagée. Tel est le théorème que M. Boltzmann en 1866, que Glausius en 1871, s'efforcèrent de justifier.

Lorsqu'il s'agit d'interpréter le premier principe de la Thermodynamique, on peut laisser à la nature du mouvement stationnaire qui anime les atomes une très large indétermination. Pour .démontrer le théorème que nous venons d'énoncer, ni M. Boltzmann, ni Glausius ne purent conserver une telle indétermination; ils durent adopter des hypothèses plus restreintes; ils supposèrent que chacun des atomes d'un corps en équilibre apparent parcourt une trajectoire fermée ou à peu près fermée et que tous ces atomes décrivent leur orbite dans le même temps; ils admirent que les forces agissant sur chaque atome dépendent exclusivement de la position de cet atome, ce qui arriverait si elles émanaient de centres immobiles, mais ce qui ne peut être si elles résultent des actions réciproques d'atomes en mouvement. Ges

restrictions excluent les systèmes dont les points se meuvent en tout sens, d*une allure désordonnée; elles excluent également les systèmes dont les particules agissent les unes sur les autres; elles rejettent donc les gaz parfaits, tels que les imaginent les théories cinétiques de Clausius et de Maxwell; par là, elles diminuent grandement l'intérêt offert par l'analyse de M. Boltzmann et de Clausius.

A cette analyse, une autre objection, plus grave, vient s'opposer.

Dans le domaine de la Thermodynamique pure, un système ne peut être en équilibre que s'il a même température en tous ses points; si donc on veut, parla réunion de deux systèmes en équilibre, obtenir un nouveau système en équilibre, il sera nécessaire que les deux systèmes accouplés aient même température.

Traduisons cette proposition de Thermodynamique en langage de la Théorie mécanique de la chaleur, et cela en adoptant les suppositions de Clausius et de M. Boltzmann ; elle prendra la forme suivante : Pour que la réunion de deux systèmes en équilibre statistique donne un nouveau système en équilibre statistique, il faut que les deux premiers systèmes soient animés de mouvements stationnaires ayant même force vive moyenne. Si la force vive moyenne peut être légitimement prise comme mesure de la température absolue, cette proposition doit découler des principes de la Mécanique et des hypothèses faites sur le mouvement stationnaire qui constitue la chaleur. Or, cette proposition essentielle, non seulement Clausius et M. Boltz-

mann ne Tont point démontrée, mais on n'entrevoit point de méthode propre à la tirer de leurs formules.

Cette difficulté, dont la solution ne se laisse ni deviner, ni même soupçonner, contribua sans doute à détourner les géomètres des tentatives qui ont pour but de relier la Théorie de la chaleur à la Dynamique. Beaucoup d'entre eux, laissant inexpliqués les principes delà Thermodynamique, se contentèrent de les appliquer avec un succès toujours croissant aux divers problèmes de la Physique. En fait, nous voyons Texplication mécanique du Principe de Carnot à peu près délaissée jusqu'en 1884, époque où Helmholtz s'y essaye à son tour.

Helmholtz, il est vrai, n'aborde plus le problème avec les longs espoirs et les vastes pensées qui animaient M. Boltzmann et Clausius; il ne s'agit plus, pour lui, de déduire toutes les lois de la Thermodynamique des seuls principes de la Dynamique appliqués à un certain mouvement stationnaire, et de présenter cette réduction comme Vexplication mécanique des effets analysés par la théorie de la chaleur ; il s'agit simplement de découvrir, dans l'étude des systèmes monocycliques ^ certains mécanismes simples dont le mouvement soit régi par des équations analogues aux relations thermodynamiques. Laissons Helmholtz lui-même nous définir l'objet de ses recherches *.

« Mon écrit a eu pour objet de prouver qu'il

1. H. VON Helmholtz: Studien zur Statik monocykliscber Système (Zweite Fortsetzung), {Sitzungsberichte der Berliaer Akademie, 10 juillet, 1884, p. 757; WissenscbaHUcbe Abbandlungen, Bd 111, p. 176).

existe des mouvements dont la nature mécanique est entièrement accessible à notre entendement et dans lesquels la transformation du travail en ses équivalents est soumise à des conditions toutes semblables à celles que le second Principe impose au mouvement calorifique. Le mouvement calorifique se présente à nous, de prime abord, comme un mouvement d'espèce inconnue; si Ton excepte le cas unique traité par la Théorie cinétique des gaz, les hypothèses que Ton a pu faire jusqu'ici à son sujet sont extrêmement vagues. En un tel état de cause, j'ai jugé toute naturelle la méthode suivante : Prendre les propriétés les plus générales du mouvement calorifique qui nous soient connues et chercher sous quelles conditions très larges ces propriétés se retrouveraient en d'autres classes bien connues de mouvements. Mes recherches dans ce sens m'ont fait découvrir les analogies qui existent entre le mouvement calorifique et les mouvements monocycliques que j'ai étudiés. Mais j'ai constamment mis en évidence cette vérité, que j'avais énoncée dès le débat : A parler rigoureusement, le mouvement calorifique ne peut pas être monocyclique. Aussi, je n'ai jamais émis la prétention d'avoir donné une explication du second Principe de la Thermodynamique. »

M. Bol tzmann, exposant les théories de I^elmholtz, exprime \ sous une forme encore plus précise, l'idée contenue dans ce passage : « Ces théories, dit-il, reposent sur des hypothèses qui n'ont pas

1. L. Boltzmann: Vorlesungen ûber Maxwell' s Théorie der Elektricifàt und des Lichtes, !*• Theil, p. 13, Leipzig, 1891.

la prétention d'exprimer la véritable constitution des éléments primordiaux et des forces primitives de la Nature; elles traitent simplement de certains mécanismes dont la marche présente, sous un rapport ou sous un autre, une grande analogie avec le jeu des phénomènes naturels. Plus cette analogie est frappante, plus sont nombreuses les particularités qu'elle reproduit, plus le mécanisme employé est utile. Selon le mot de Maxw^ell, ce mécanisme est une illustration dynamique. »

Donnons une idée succincte de la théorie des systèmes monocycliques.

Observons une toupie qui dort\ elle paraît immobile ; en réalité, il n'en est rien ; elle est animée d'un mouvement de rotation extrêmement rapide; chacune des masses élémentaires qui la composent quitte, à chaque instant, la position qu'elle occupe dans l'espace pour en aller occuper une autre; mais, aussitôt, elle est remplacée par une masse semblable, en sorte que l'œil ne perçoit aucua changement. Cette toupie qui dort nous offre l'image de ce que l'on nomme, en Mécanique, un système en régime permanent^ de ce que Helmholtz appelle un système monocyclique en équilibre. Entre un tel système et ceux qu'étudie la Théorie mécanique de la chaleur, nous entrevoyons déjà une analogie : l'équilibre que nous observons est un équilibre apparent, un équilibre statistique; sous cet équilibre, se cachent des mouvements stationnaires très rapides.

Les mouvements stationnaires constitués par la rotation de notre toupie correspondent à une force vive considérable, qui figure ici l'énergie interne;

cette figure de Ténergie devrait être complétée par l'addition du potentiel interne si des forces s'exerçaient entre les diverses parties du système.

Au lieu de supposer que la toupie garde, dans l'espace, une position invariable, nous pouvons imaginer qu'elle se déplace lentement, que son axe change de position et de direction; son mouvement réel se compose alors de deux sortes de mouvements : un mouvement de rotation très rapide qui ne produit aucun changement apparent de position, et un mouvement très lent par rapport au précédent ; ce dernier mouvement seul est perceptible ; tandis que le premier figure les mouvements stationnaires dont la Théorie mécanique de la chaleur postule l'existence; le second représente les changements observables d'état.

Concevons qu'une action extérieure intervienne pour produire un de ces changements ; elle incline lentement l'axe de la toupie, elle modifie la disposition de quelqu'une de ses parties. Le travail qu'effectue cette action extérieure pour produire ce changement sensible n'est nullement égal au travail qu'elle aurait efi*ectué en modifiant de la même manière la position ou la forme de la toupie privée de tout mouvement de rotation ; ce dernier travail n'est qu'une partie du premier ; il représente ici ce que la Théorie mécanique de la chaleur nomme le travail externe. Mais une autre partie du travail efifectué par les actions extérieures n'a pas eu d'emploi visible; il a lutté contre les forces d'inertie dues au mouvement de rotation de la toupie ; il a modifié la force vive de ce mouvement; pour suivre notre analogie, nous dirons qu'il repré-

sente la quantité de chaleur absorbée par le système.

En analysant le mouvement d'un système monocyclique tel que notre toupie, nous y discernons des grandeurs propres à simuler l'énergie interne, le travail externe, la quantité de chaleur dégagée; il suffît, d'ailleurs, de faire appel à la loi dynamique de la force vive pour obtenir entre ces grandeurs une relation semblable à Téquation d'équivalence entre la chaleur et le travail. Peut-on également les faire entrer dans une relation analogue à celle que donne le Principe de Carnol et de Clausius? Prenant le rapport de la quantité de chaleur dégagée en une modification élémentaire à un diviseur intégrant convenable, peut-on égaler ce quotient à la diminution subie par une certaine fonction qui jouerait le rôle d'Entropie"!

On peut prouver l'existence d'un tel facteur intégrant, à la condition de restreindre la généralité des systèmes monocycliques étudiés; malheureusement, il est difficile d'interpréter dans le sens de la Théorie mécanique de la chaleur les conditions restrictives auxquelles on doit faire appel. On peut même, en resserrant encore les restrictions, faire que ce diviseur intégrant soit la force vive des mouvements stationnaires et, par là, obtenir un rapprochement plus intime entre la statique des systèmes monocycliques et la théorie mécanique de la chaleur de M. Boltzmann et de Clausius.

Ici, nous retrouvons une question qui a déjà sollicité notre attention.

Pour que la réunion de deux systèmes thermodynamiques en équilibre fournisse un nouveau

système en équilibre, il faut que les deux systèmes composants aient même température; cette température commune est alors celle du système résultant. Si nous voulons trouver des systèmes monocycliques dont les propriétés puissent illustrer les équations thermodynamiques ; si nous voulons, en particulier, que le diviseur intégrant de la quantité de chaleur dégagée soit le modèle mécanique de la température absolue, ces systèmes monocycliques devront vérifier la proposition que voici : En réunissant d'une manière convenable deux svstèmes monocycliques de même diviseur intégrant, on obtient un nouveau système monocyclique qui admet pour diviseur intégrant le diviseur intégrant commun des deux premiers.

L'étude de cet accouplement isomore (icrov [xoptov, égal dénominateur) alonguement occupé Helmholtz; il a donné l'expression analytique des conditions hors desquelles l'accouplement isomore n'aurait pas lieu; mais il est bien difficile de saisir un rapprochement entre ces conditions et les hypothèses de la Théorie mécanique de la chaleur.

Ainsi, pour définir les systèmes monocycliques dont les propriétés sont capables d'imiter les relations thermodynamiques, Helmholtz est obligé de les soumettre à des conditions qui expriment certains caractères analytiques des fonctions employées; ces conditions, il est bien difficile de les traduire en langage mécanique, et plus difficile encore d'en tirer quelque enseignement précis sur les suppositions qu'il conviendrait de faire touchant la structure des atomes ou la nature du mouvement calorifique. Dès lors, il est permis, de

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se demander si cette analogie entre les lois des systèmes monocycliques et les équations de la Thermodynamique a bien son fondement dans la nature des choses.

Entre les équations de la Thermodynamique et les propriétés mécaniques des systèmes étudiés par J. Willard Gibbs S Tanalogie est certainement plus étroite et susceptible d'être poussée plus loin. Les hypothèses qui servent de point de départ aux recherches de Gibbs sont une sorte de généralisation de celles qui ont servi de base à la Théorie cinétique des gaz ; ces hypothèses sont développées avec une rigueur et une clarté admirables.

Dans un certain espace sont répartis des corps en nombre immense, variables de forme et de positien. Tous ces corps, qui sont les éléments du système étudié, sont de même nature; ils pourraient être ramenés à un stade où ils seraient tous identiques; mais, au moment où nous les étudions, ils diffèrent les uns des autres par leur état, car ils sont diversement placés, orientés et déformés, et par leur mouvement, car ils ne sont pas tous animés des mêmes vitesses. A la nature de ces corps, on laisse une large indétermination. Ce peuvent être de simples points matériels; la position de chacun d'eux dépend seulement alors de trois coordonnées. Ce peuvent être des atomes rigides ; pour connaître la position d'un tel atome, il faut connaître les valeurs de six variables. Ce peuvent

1. J. Willard Gibbs : Elementary Principles in Statistical MechaDîcs] New- York et Londres, 1902.

être des molécules, des assemblages d'atomes plus ou moins nombreux, plus ou moins divers, capables de se déplacer les uns par rapport aux autres ; pour déterminer la figure et la position d'un tel assemblage, il faut se donner un nombre de variables plus ou moins grand, mais supérieur à six. Une seule condition est requise des éléments qui forment le système matériel étudié : c'est qu'un tel élément soit entièrement connu de figure et de position lorsqu'on connaît les valeurs d'un nombre plus ou moins grand, mais limité, de variables indépendantes.

Ces élémenis sont soumis à des forces. Les forces qui agissent sur un élément dépendent exclusivement dçs variables qui déterminent cet élément; telles seraient des forces émanées de corps extérieurs invariables. Une telle hypothèse exclut évidemment l'hypothèse d'actions réciproques entre les éléments; comme on ne suppose pas non plus ces éléments capables de se choquer, la théorie de Gibbs rejette en dehors de son domaine les diverses formes de théorie cinétique des gaz proposées par Clausius et par Maxwell. Elle se rapproche par là des essais tentés par M. Boltzmann et par Clausius pour réduire le principe de Carnot au mécanisme.

Supposons établi Véquilibre statistique du système. Une foule d'états distincts, de mouvements distincts y sont simultanément réalisés; à chaque instant, chacun des éléments quitte son état et son mouvement ; mais un autre élément prend sensiblement, au même instant, l'état et le mouvement que celui-là vient de perdre.

Comment tous ces états et tous ces mouvements se réparlissent-ils entre les corps innombrables qui forment le système? Combien y a-t-il, à un instant donné, de corps dont Tétat soit compris entre deux limites données, dont le mouvement soit également compris entre deux limites données? Tel est le premier problème que le géomètre ait à se poser. Il est analogue à cet autre, familier aux calculateurs des Compagnies d'assurances : Dans une contrée dont la population est stationnaire et qui compte un nombre déterminé d'habitants, combien y a-t-il d'hommes dont l'âge soit compris entre deux limites données? Les méthodes du Calcul des probabilités tirent des tables de mortalité la solution du dernier problème ; elles tirent des principes de la Mécanique la solution du premier. Cette solution, Maxwell et M. Boltzmann l'avaient déjà donnée dans les circonstances où se place la théorie cinétique des gaz; Gibbs la développe pour les systèmes très généraux qu'il se propose d'étudier.

La loi de distribution des divers états et des divers mouvements au sein d'un système en équilibre statistique n'est soumise qu'à des conditions très larges; parmi toutes les formes, en nombre infini, dont elle est susceptible, il en est une qui se présente comme douée de propriétés algébriques particulièrement simples. Cette loi de distribution, Gibbs la nomme distribution canonique. La loi de distribution que le théorème de Maxwell impose aux vitesses avec lesquelles se meuvent les atomes des gaz est un cas très particulier de distribution canonique.

12i L'ÉVOLUTION DE LA MÉCANIQUE

Gibbs prend les systèmes à distribution canonique pour objet propre de son analyse. Dans la formule qui régit une distribution canonique, intervient une certaine grandeur, le module de distribution^ qui va jouer, dans les analogies thermodynamiques, un rôle essentiel; c'est le module de distribution qui, dans ces analogies, représentera la température absolue. Dans le cas particulier où les corps qui forment le système se réduisent à des points matériels, la loi de distribution canonique se réduit à celle que Maxwell a énoncée; le paramètre de distribution est alors identique à la force vive moyenne; si donc on voulait simplement comparer les corps étudiés par la Thermodynamique à des systèmes de points matériels libres, on devrait prendre la force vive moyenne du mouvement moléculaire comme mesure de la température absolue; c'est, en efiFet, ce qu'ont admis M. Boltzmann et Clausius. Mais, si les molécules ne se réduisent pas à de simples points matériels, si elles se compliquent, la force vive moyenne ne sera plus le paramètre de distribution canonique, elle ne représentera plus la température absolue.

L'analogie entre le module de distribution et la température absolue s'affirme, d'abord, par les propositions suivantes, qui marquent nettement la supériorité de l'analyse de Gibbs sur les tentatives de ses prédécesseurs :

Lorsqu'on accouple deux systèmes en équilibre statistique, doués tous deux d'une distribution canonique, le système résultant ne peut être en équilibre statistique que si les deux systèmes composants ont même module de distribution; le

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système résultant admet alors une distribution canonique de même module que les systèmes composants. Si les deux systèmes composants n'ont pas même module de distribution, leur accouplement rompt leur état d'équilibre et les oblige tous deux à se modifier; celui qui admettait le plus grand module de distribution perd dé Ténergie ; l'autre en gagne.

Toutefois, les équations qui régissent notre système en équilibre statistique ne sont pas absolument semblables aux formules thermodynamiques; les écarts dépendent du nombre de variables qu'il faut connaître pour déterminer la forme et la position de chacun des éléments du système ; ces écarts sont d'autant plus petits que le nombre des variables est plus grand; on peut donc, aux recherches de Gibbs, donner la conclusion suivante : Les équations de la Thermodynamique représentent la forme limite des lois qui régissent l'équilibre statistique d'un système à distribution canonique lorsque l'on fait croître au delà de toute limite le nombre des variables nécessaires pour définir chacun des éléments de l'ensemble.

Cette conclusion des recherches de Gibbs est fort inattendue. Elle montre que les physiciens désireux d'expliquer les phénomènes par des « raisons de Méchanique » doivent renoncer aux hypothèses qui attribuent aux atomes une constitution très simple, qui en font des points matériels ou des solides rigides ; entre les propriétés des mécanismes qu'ils imaginent et les lois naturelles, ils ne peuvent espérer une concordance approchée qu'en assimilant les atomes à des assemblages fort

compliqués; s'ils désirent non pas une concordance approchée, mais un accord rigoureux, il leur faudra concevoir des atomes qui dépendent d'un nombre illimité de variables, de petits corps continus et déformables, tels que seraient de petites masses fluides; la considération d'atomes fluides nous éloignerait fort des principes chers aux atomistes.

La théorie de J. Willard Gibbs est assurément la plus puissante tentative qui ait été faite jusqu'ici pour réduire les lois de la Thermodynamique aux principes de la Mécanique ; il s'en faut, cependant, qu'elle ait poussé cette réduction au point où il n'y a plus rien à souhaiter; plus d'une question se pose naturellement, qui demeure jusqu'ici sans réponse. Voici la première :

Les ensembles à distribution canonique sont définis par un caractère purement 'algébrique, par la forme de l'équation qui régit la distribution des divers états et des divers mouvements au sein du système en équilibre statistique. A ce caractère algébrique, est-il possible de faire correspondre un caractère mécanique? Peut-on dire comment doivent être constitués les corps élémentaires qui forment un ensemble, à quelles forces ils doivent être soumis, pour que cet ensemble en équilibre statistique affecte une distribution canonique?

Cette question est encore sans réponse; il faudrait cependant qu'elle fût résolue avant que l'on pût tenter de répondre à cette seconde question :

Si les ensembles à distribution canonique ont attiré l'attention du géomètre, c'est uniquement parce que leur étude algébrique s'annonçait parti-

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culièrement simple et facile. Pour quelle raison les systèmes étudiés en Thermodynamique se rapprochent-ils des ensembles à distribution canonique plutôt que d'autres ensembles? Les propriétés d'un ensemble en équilibre statistique, mais où la distribution ne serait pas canonique, différeraient sans doute beaucoup des lois de la Thermodynamique ; comment se fait-il que la Nature ne nous présente aucun système doué de telles propriétés?

Tant que cette question n'aura pas reçu de réponse satisfaisante, il sera difficile de regarder comme complète Y explication mécanique des principes de la Thermodynamique. Cette explication, en tout cas, semble encore bien lointaine; tout ce qu'il est logiquement permis d'affirmer, c'est qu'il est possible sinon de construire mécaniquement, au moins de définir par certaines conditions algébriques, des ensembles de corps dont les mouvements stationnaires sont régis par des formules analogues aux équations de la Thermodynamique. Pour reprendre un mot que M. L. Boltzmann empruntait à Maxwell, la Théorie mécanique de la chaleur ne fournit pas une explication mécanique des principes de la Thermodynamique'^ elle en donne seulement une illustration dynamique.