CHAPITRE XIV

La Mécanique de Hertz débarrasse Texplication du Monde physique de la notion de force regardée comme une notion première et irréductible. Est-ce le terme auquel doivent nécessairement s'arrêter les géomètres dans ce long effort pour réduire au minimum le nombre des éléments essentiels de toute théorie physique? Ne peuvent-ils pousser plus loin encore leur œuvre de simplification? La plupart des théories qui s'efforcent d'expliquer mécaniquement les phénomènes physiques postulent l'existence de petits corps insécables et impénétrables, d'atomes doués de masses ; cette notion d'atome doué de masse ne pourrait-elle pas, à son tour, perdre son caractère premier et irréductible?

A cette question, une réponse a été donnée par W. Thomson ; les progrès apportés à l'Hydrodynamique parCauchy et par Helmholtz avaient préparé cette réponse.

Considérons un milieu continu en mouvement et, dans ce milieu, une très petite partie de matière que notre pensée découpe au sein de ce qui

renvironne ; à un instant donné, cette particule offre une certaine figure et occupe une certaine position ; au bout d'un laps de temps très court, elle offre une figure un peu différente et occupe une position qui n'est plus tout à fait la même. Cauchy a analysé la modification infiniment petite par laquelle celle particule matérielle passe du premier état au second ; cette modification, il Ta décomposée en modifications élémentaires dont chacune est très aisée à concevoir.

Pour amener une particule matérielle d'un certain état à un autre état très voisin du premier, on doit tout d'abord, par un des points matériels que l'on y peut marquer, mener trois certaines droites, rectangulaires deux à deux, qui sont, à l'instant donné, les axes principaux de dilatation de la particule; à la matière qui la forme, on impose une première dilatation uniforme et infiniment petite dans la direction du premier axe, puis une seconde dilatation dans la direction du second axe, une troisième dilatation enfin dans la direction du troisième axe; en général, ces trois dilatations principales ne sont pas égales entre elles ; leur somme représente la dilatation cubique ; elle est nulle si le milieu est incompressible.

Les trois dilatations principales, successivement imprimées à la particule, lui imposent le changement de figure qu'elle doit subir ; reste à analyser le changement de position.

Par le point que l'on a déjà choisi, on mène une certaine droite qui est, pour l'instant considéré, Vaxe instantané de rotation de la particule, et Ton fait tourner la particule entière, autour de cette

droite, d'un certain angle infiniment petit ; en divisant cet angle infiniment petit par la durée infiniment petite de la modification totale, on obtient la vitesse de rotation instantanée.

Enfin, on déplace la particule entière de telle sorte que, dans cette translation^ tous ses- points décrivent des trajets infiniment petits, égaux et parallèles entre eux.

Jusqu'ici, nous n'avons fait que de la Géométrie ou, mieux, de la Cinématique ; venons maintenant à des propositions de Mécanique.

Imaginons un fluide continu, incompressible, non visqueux, de température uniforme et constante ; les mouvements de ce fluide obéissent aux équations que d'Alembert avait tirées de son célèbre principe et auxquelles Euler a donné une forme définitive. Supposons que les petites parties en lesquelles la pensée peut découper ce fluide ne soient soumises à aucune force ou, du moins, qu'elles ne soient pas soumises à ces sortes de forces, mises en évidence par Clairaut, dont la nature exclut, pour le fluide, toute possibilité d'équilibre. En un tel fluide, les vitesses de rotation des diverses particules obéissent à des lois d'une remarquable simplicité.

Voici la première, qui fut découverte par Lagrange * : Sila vitesse de rotation instantanée d'une certaine particule est nulle à un instant quelconque du mouvement, elle demeure toujours nulle.

C'est pour démontrer en toute rigueur ce théo-

1. Laoranoe : Mécanique analytique, 2*= édition, 2^ partie, section XI, § 1, art. 17.

rème de Lagrange que Cauchy*, en 1815, forma des équations d'une extrême importance, mais dont l'interprétation mécanique demeura longtemps inaperçue ; l'emploi d'une méthode différente donna à Helmholtz ^, en 1838, la clé de celte interprétation.

L'axe instantané de rotation d'une particule étant, à un instant donné, prolongé d'une toute petite quantité, traverse une seconde particule, contiguë à la première; l'axe instantané de cette seconde particule, prolongé, au même instant, d'une longueur infiniment courte, va en rencontrer une troisième; et ainsi de suite. Nous marquons ainsi au sein du fluide, à cet instant, une rangée de particules, contiguës les unes aux autres, qui se suivent le long d'une ligne courbe comme les perles d'un collier le long du fil qui les retient; cette ligne courbe a pour tangente, en chacun de ses points, l'axe instantané de rotation de la particule à laquelle appartient ce point; on dit alors que cette ligne courbe est, à l'instant considéré, une ligne-tourbillon.

Suivons maintenant, au sein du fluide en mouvement, les modifications de notre rangée de particules; notre collier se déforme et se déplace, il ondule dans l'espace sans rompre le fil qui relie

1. A. Cauchy : Mémoire sur la théorie de la propagation des ondes à la surface d'un ffuide pesant de profondeur indéCiniey couronné par l'Académie des Sciences (Mémoires des savants étrangers, 1. 1, p. 3; 1827. — Œuvres de Caucby, 1. 1).

2. Helmholtz : Ueber Intégrale der hydrodynamischea Gleichungen, welche der Wirbelbewegungen entsprecben {Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. LV, p. 25; 1858. — Abhandlungen, Bd. I, p. 101).

les perles ; et [voici la propriélé essentielle dont jouit la courbe que dessine ce fil : de même qu'elle était ligne-tourbillon au moment où nous Tavons tracée, elle demeure ligne-tourbillon pendant toute la durée du mouvement; toujours, la tangente qu'on lui mène en Fun quelconque de ses points marque Taxe instantané de rotation de la particule qui se trouve en ce point.

Sur une ligne-tourbillon, prenons deux particules peu éloignées Tune de Tautre; observonsles dans leur mouvement ; à chaque instant, mesurons, d'une part, la vitesse angulaire de rotation qui leur est sensiblement commune et, d'autre part, leur mutuelle distance ; ces deux grandeurs varient dans le même sens; lorsque les deux particules accélèrent leur mouvement de rotation, elles s'écartent ; lorsqu'elles tournent moins vite, elles se rapprochent ; le rapport de leur vitesse instantanée de rotation à leur mutuelle distance demeure invariable.

Au sein du fluide et à un instant donné, prenons une petite surface; par chaque point du contour de cette petite surface, menons la ligne-tourbillon qui y passe à cet instant; ces lignes vont former la paroi d'une sorte de tuyau très délié qui s'étend dans la masse fluide, tantôt s'évasant, tantôt se rétrécissant; avec Helmholtz, donnons à cette sorte de tuyau le nom de tube-tourhillon. Les propriétés des lignes -tourbillons nous font immédiatement apercevoir certaines propriétés des tubes-tourbillons et, en particulier, la plus essentielle; il est clair, en effet, que la masse fluide contenue, à un instant donné, dans un tube-tourbillon, demeure

indéfiniment renfermée dans un tube-tourbillon; la conservation des lignes-tourbillons entraîne la conservation des tubes-tourbillons.

Si, dans un tube-tourbillon, on mène, à un instaat donné, deux sections droites voisines, les points matériels intéressés par ces deux sections droites dessineront continuellement deux sections droites voisines du même tube-tourbillon; d'après ce que nous avons vu, la distance mutuelle de ces deux sections variera de manière à rester proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation du fluide qu'elles comprennent entre elles; mais ce fluide est incompressible; le volume qu'il occupe, et qui est celui du petit cylindre compris entre les deux sections droites, demeure invariable; la base de ce cylindre varie donc en raison inverse de la hauteur; nous voyons ainsi que la partie. d'un tube-tourbillon qui correspond à une masse fluide déterminée s'enfle quand la vitesse angulaire de rotation diminue et se dégonfle quand le fluide tourne plus vite; Taire de la section droite est inversement proportionnelle à la vitesse instantanée de rotation.

Cette loi suppose que l'on suive, dans le temps, une même portion matérielle du tube-tourbillon. On trouve une loi analogue en inspectant, à un même instant, les diverses parties d'un tubetourbillon; on constate que ce tube s'évase dans les régions du fluide où la vitesse de rotation instantanée est petite et qu'il se rétrécit dans les régions où elle est grande ; tout le long d'un même tube, le produit de la vitesse instantanée par l'aire de la section droite garde la même valeur.

Cette loi entraîne une conséquence bien essentielle : un tube-tourbillon ne peut se terminer au sein de la masse fluide. En effet, pour qu'il pût s'étrangler au point que sa section devînt nulle, il faudrait que la vitesse angulaire de rotation fût infinie au point terminal. Il faut donc qu'un tubetourbillon traverse tout le fluide et ne s'achève qu'aux limites mêmes de ce milieu, ou bien qu'il se ferme sur lui-même comme un anneau.

Ces remarquables théorèmes de Helmholtz ont conduit W. Thomson à imaginer*, en 1867, l'hypothèse des atomes-vortex ou atomes-tourbillons.

Une matière unique emplit l'Univers; cette matière, homogène et incompressible, obéit dans ses mouvements aux lois que les équations d'Euler imposent aux fluides parfaits ; au commencement, des forces, incompatibles avec l'équilibre d'un fluide quelconque, ont mis cette matière en mouvement et y ont, en particulier, créé une foule d'anneaux-tourbillons de toutes formes et de toutes dimensions ; puis, ces forces ont disparu, ne laissant plus dans le monde que des forces apparentes, explicables par les pressions et les forces d'inertie du fluide universel; ces forces ne peuvent ni engendrer un nouvel anneau -tourbillon, ni anéantir un de ceux qui préexistent, ni le couper en deux ou plusieurs anneaux; chacun de ces anneaux est devenu un véritable atome physique. La matière qui tombe sous nos sens est composée de tels anneaux-tourbillons.

1. w. Thomson : On Vortex-Atoms [Edinburgh Philosopbical Society Proceedings, 18 février 1867).

ne L'ÉVOLUTION DE LA MÉGANIQUE

Cette hypothèse de W. Thomson nous présente le plus haut degré de simplification auquel puisse parvenir l'explication des phénomènes naturels ; non seulement la force réelle est bannie de rUnivers actuel, où nous ne constatons que des forces apparentes, effets de Tinertie et des liaisons, mais encore la diversité que la Chimie croit constater parmi les corps simples n'est qu'une illusion ; elle manifeste seulement à nos sens les différentes figures et les différents mouvements pris par les anneaux-tourbillons d'un fluide partout identique à lui-même.

Mais l'hypothèse de W. Thomson s'enfonce si profondément au-dessous des apparences sensibles, qu'il devient bien malaisé de remonter jusqu'à celles-ci et de fournir l'explication des faits que nous constatons chaque jour. Les plus simples d'entre eux semblent sans lien avec les fondements dé la théorie. Les forces fictives qu'engendrent les pressions du fluide interposé aux vortex ne rendent pas compte de la gravitation universelle ; pour l'expliquer, Thomson doit recourir à des hypothèses semblables à celles de Lesage.

Les principes mêmes de la Mécanique ne se laissent pas déduire des propriétés des anneauxtourbillons et, comme l'a remarqué Maxwell *, on ne sait où découvrir, dans un atome-vortex, l'élément invariable qu'il conviendrait de regarder comme sa masse.

1. Maxwell : Art. « Atom » de VEncyclopaedia Britannica. — Brillouin : Rcciievches récentes sur diverses questions d Hydrodynamique ; i"^^ partie : Tourbillons; Paris, 1891.