LES RELATIONS SUPPLÉMENTAIRES

Ces réflexions ne sont pas les seules auxquelles donnent lieu les équations générales du mouvement.

Pour que le mouvement d'un système soit déterminé, il faut — au sens général que nous donnons au mot mouvement — connaître, à chaque instant, la valeur de la température et des variables normales; la détermination du mouvement, c'est donc la détermination, en fonctions du temps, de la température et des variables normales.

Chacune des variables normales, hors la température, fournit une des équations (3) qui régissent le mouvement; il est donc visible que le nombre de ces équations est inférieur d'une unité au nombre des fonctions à déterminer ^

Si le système se composait de diverses parties portées à des températures difi'érentes, le nombre

1. P. DuHESf : Hydrodynamique, Elasticité, Acoustique, 1. 1, p. 18 et p. 99; Paris, 1891. — Commentaire aux Principes de la Thermodynamique, 3® partie : Les Équations générales de la Thermodynamique, chapitre ii {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4^ série, t. X, p. 225 ; 1894).

des fonctions inconnues surpasserait encore le nombre des équations du mouvement fournies par la Thermodynauaique; l'excès serait égal au nombre des températures indépendantes qu'il y a lieu de considérer.

Les principes posés jusqu'ici ne sufûsent donc pas à mettre complètement en équations le problème général de la Dynamique; pour que cette mise en équations soit sans lacune, il faut, aux relations déjà obtenues, adjoindre autant de relations supplémentaires qu'il y a de températures distinctes à déterminer, et ces relations, il les faut tirer de principes nouveaux.

Quels seront ces principes?

Décomposons le système en parties dont chacune aura, à chaque instant, une température uni-forme, tandis que la température pourra n'être pas la même pour deux parties différentes. Les principes que nous avons posés suffisent à calculer la quantité de chaleur dégagée, pendant un temps infiniment court, par chacune de ces parties. Ce ceclcul, d'ailleurs, met en évidence un résultat qu'il nous faut signaler incidemment*.

Prenons la quantité de chaleur dégagée par chacune des parties du système; divisons-la par la température absolue de cette partie; formons la somme des quotients ainsi obtenus, et ajoutons-y l'accroissement éprouvé par l'Entropie du système;

1. P. DuHEM : Commentaire aux Principes de la Thermodynamique, 3® partie : Les Équations générales de la Thermodynamique {Journal de Mathématiques pures et appliquées^ 4e série, t. X, p, 228 et p. 238 ; 1894). — Théorie thermodynamique de la viscositèy du frottement et des faux équilibres chimiques, P- ^1 ; Paris, 1896.

LES RELATIONS SUPPLEMENTAIRES 271

la valeur ainsi obtenue est, en général, positive. Cette proposition énonce, sous la forme la plus compréhensive, la célèbre inégalité de Clausius^ qui, si puissamment et si heureusement, a influé sur révolution de la Mécanique. Toutefois, dans certains cas exceptionnels, la somme que nous venonsi de former est nulle; c'est ce qui a lieu, en particulier, si toutes les actions de viscosité sont nulles; ainsi, pour les systèmes sans résistance passive quétudiait TAncienne Mécanique, Tinégalité de Clausius se transforme en égalité.

Mais revenons à la formation des relations supplémentaires.

Le calcul de la quantité de chaleur dégagée par chacune des parties du système fait intervenir les actions extérieures, le Potentiel interne, les forces d'inertie, c'est-à-dire les températures, les variables normales, le& vitesses généralisées et les accélérations généralisées. C'est donc en fonction de toutes ces grandeurs ou de quelques-unes d'entre elles que se trouvera évaluée la quantité de chaleur dégagée par chaque partie du système.

Supposons maintenant que des hypothèses, distinctes de celles que nous avons invoquées jusqu'ici, nous fournissent une autre expression de cette même quantité de chaleur; du rapprochement entre ces deux expressions, jaillira une relation entre les variables qui fixent Tétat du système; nous obtiendrons ainsi autant de relations supplémentaires qu'il y a, dans le système, de

1. Voir: Première Partie, Chapitre xu :L impossibilité du mouvement perpétuel.

parties ou, en d'autres termes, qu'il y a de températures indépendantes les unes des autres.

Cette seconde expression de la quantité de chaleur que chacune des parties du système cède aux parties contiguës, elle nous est fournie par la théorie des échanges de chaleur que permet la conductibilité. Cette théorie, imaginée comme Ton sait par Fourier, devient ainsi l'auxiliaire indispensable de la Thermodynamique ; elle seule rend possible la formation des relations supplémentaires sans lesquelles la mise en équation du problème de la Dynamique serait incomplète.

L'étude de la propagation de la chaleur par conductibilité d'une région à l'autre du système est liée d'une manière intime et inextricable à l'étude du mouvement de ce système; l'un de ces deux problèmes ne peut être traité indépendamment de l'autre. Du moins, en est-il ainsi en général. Mais la dissociation de ces deux problèmes, ordinairement impossible, devient possible en certains cas particuliers; les cas traités par l'Ancienne Méca-. nique sont de ce nombre.

Dès lors, la question suivante^ s'impose à notre attention : Quels sont les systèmes dont le mouvement peut être étudié sans faire appel aux relations supplémentaires? Et, tout aussitôt, cette question se transforme en celle-ci : Quels sont les

1. P. DuHEM : Sur V équation des forces vives en Thermodynamique et les relations de la Thermodynamique avec la Mécanique classique {Procès-verbaux de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, séance du 23 décembre 1897). — L'intégrale des forces vives en Thermodynamique {Journal de Mathématiques pures et appliquées, o« série, t. IV, p. 5; 1898).