I. — Pour le sens commun, il semble que rien n’est plus

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facile que d’expliquer comment se forme l’idée de l’unité.

Je vois un homme, un arbre, une maison; j’entends un son ; je palpe un objet ; je sens une odeur et ainsi de suite, et je distingue cet état unique d’une pluralité de sensations. Stuart Mill semble admettre que le nombre (au moins dans ses formes les plus simples), est une qualité des choses que nous percevons comme le blanc, le noir, la rondeur, la dureté : il y a un état de conscience distinct et spécial qui correspond à un, deux, trois, etc.—Môme en admettant cette thèse très douteuse, nous n’aurions en | définitive que des nombres 'perçus^ avec lesquels toute I numération consistante et étendue est impossible ; car, elle / ne peut se constituer qu’à l’aide de termes homogènes, c’est-à-dire donnés par l’abstraction.

Toutefois la notion d’unité doit avoir son point de départ dans l’expérience, d’abord, sous une forme concrète. Quoiqu’elle puisse entrer dans la conscience par plusieurs portes, quelques psychologues, sans raison légitime, ont attribué son origine à un mode déterminé de perception externe ou même interne, qu’ils [ont choisi à l’exclusion de tout autre.

Pour les uns, c’est le sens primordial, le sens par excellence : le toucher. L’enfant considère comme unité l’objet qu’il peut tenir dans sa main (une boule, un verre), ou suivre sans interruption dans tous ses contours. Là où son opération est interrompue, où il y a des pleins et des vides, il perçoit une pluralité. En d’autres termes, l’un est le continu, la pluralité est le discontinu. De nombreuses observations prouvent que les enfants ont, en effet, une notion bien plus exacte et plus précoce delà quantité cou-

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ünue (étendue), que de la quantité discontinue, discrète (nombre) (1).

Pour les autres, c’est la vue, et l’on comprend sans peine que tout ce qui précède peut être répété : la rétine remplace la surface cutanée ; une image nettement perçue et sans discontinuité est l’unité ; la perception d’images simultanées, laissant entre elles des lacunes dans le cbamp visuel, donne la pluralité.

On en peut dire tout autant pour les sensations acoustiques. Preyer, dans un travail sur 1’Arithmogenèse », prétend que « pour l’acquisition du concept de nombre, l’ouïe est en première ligne ». Le nombre doit être senti avant d’être pensé; les idées de nombre et d’addition doivent être acquises : ce qui, d’après lui, se produit cbe;^ l’enfant lorsqu’il entend et compare des sons. Puis le toucher et la vue complètent cette première ébauche. On sait que Leibniz assimilait la musique à une arithmétique inconsciente. Preyer renverse la proposition et dit : Arithmetica est exercitium musicmn occultum nescientis se sonos comparare animi (2).

(1) Mac Lellaii et Dewey, dans leur Psychology of Number and its Applications to methods of teaching arithmetic (New-York, 1895), ont tiré de ce fait des déductions pédagogiques. Ils demandent que pour les commençants, les exemples soient'empruntés à la quantité continue, et te nombreconsidéré comme une espèce particulière de mesure. — Nichols, dans son livre Our notions of Number and Space (Boston, 1894), prenant une théorie de James sur nos jugements de nombre comme base de ses expériences, cherche à établir que la sensation simultanée de deux pointes appliquées sur la peau a son origine dans la sensation successive d’un, contact distinct sur deux cercles tactiles séparés.

(2) Je u’insiste pas sur une thèse si hasardée. On la trouvera exposée dans le Bulletin de VInternational Congress of experimental Psychologi/ of London (déjà cité), pp. 35-41.

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A l’encontre de ceux qui cherchent l’origine de l’idée d’unité dans les événements externes, il y a ceux qui l’attribuent à la pure expérience interne.

Ainsi on a soutenu que la conscience de notre moi, comme monade qui se connaît elle-même, est le prototype de l’unité arithmétique. Il est évident que cette assertion suscite des objections nombreuses : formation tardive de la notion du moi, fruit de la réflexion ; son instabilité ; de plus, cette unité, comme toutes les précédentes, est concrète, complexe ; c’est une unité par composition.

Très supérieure est la thèse de W. James : « Le nombre semble primitivement signifier les coups [strokes) de notre attention dans la discrimination des choses. Ces coups restent dans la mémoire en groupes grands ou petits, et les groupes peuvent être comparés. La discrimination, nous le savons, est facilitée par la mobilité de son objet, en tant que total... Un globe indivis est un; composé d’hémisphères il est deux. Un tas de sable est une chose ou vingt mille choses, suivant la manière dont nous comptons (1). » Cette réduction à des actes d’attention nous ramène, en définitive, à la condition essentielle et fonda- ^ mentale de l’abstraction. “ ”

Sauf cette dernière, toutes les hypothèses énumérées ' (et on aurait pu invoquer aussi les sensations internes : par exemple une douleur localisée comparée à plusieurs douleurs disséminées) ne donnent que des perceptions ou des images, c’est-à-dire la matière brute de l’unité abs- > traite. Celle-ci est une notion subjective. Nous avons dit

(1) Psychology, t. II, pp. 633 «t suiv.

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précédemment (ch. Il) que la question de savoir si la connaissance débute par le général iou par le particulier est mal posée, parce qu’elle applique à l’esprit en voie de formation des catégories qui ne sont valables que pour l’esprit adulte. De môme ici. A l’origine, il n’y a pas perception claire de l’unité d’abord, de la pluralité ensuite ou inversement ; ni l’observation ni le raisonnement ne justifient , une telle affirmation. Il y a un état confus, indéfini d’où sort l’antithèse du continu et du discontinu, équivalents primitifs de l’unité et de la pluralité. Il a fallu des siècles pour arriver à la notion précise de l’unité abstraite, telle I qu’elle a existé dans l’esprit des premiers mat’nématiciens ; / et cette notion est le résultat d’une décomposition^ non d’un acte direct et immédiat de position. Il a fallu qu’un objet / ou un groupe fût décomposé en ses parties constituantes, étant ou paraissant irréductibles; puis qu’une nouvelle synthèse de ces parties reconstituât le tout, pour que la \ notion du rapport entre l’unité et la pluralité fût conçue ; clairement. On ne peut guère douter que pour les petits nombres, 2, 3, 4, la perception successive de chaque objet I séparé, puis des objets appréhendés ensemble d’un seul i coup d’œil, n’ait aidé le travail de l’esprit dans la conception de ce rapport. Nous avons vu que beaucoup de races j humaines n’ont pas dépassé cette phase. La notion abs- \ traite de l’unité est celle de l’indivisible (provisoire). C’est i cette qualité abstraite de l’in divisible, fixée par un mot, qui ! nous donne la notion scientifique de l’unité, par opposii tion à la notion vulgaire. L’unité perçue est un tout con- I cret, l’unité conçue estime qualité, un abstrait; et, en un ; sens, on a pu dire que l’unité et par suite tout nombre abs-

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trait est une création de l’esprit. Elle résulte, comme toute abstraction, d’une analyse, d’une dissociation. Elle a, comme toute abstraction, une existence idéale ; ce qui ne l’empêche pas d’être un instrument d’une merveilleuse utilité.

IL — C’est grâce à elle que la série des nombres, ayant une matière homogène, peut se constituer; car l’identité des unités es t la seule condition qui permette de les compter et de dépasser les numérations exiguës de la période concrète-abstraite. La série se constitue par un procédé de construction toujours le même, réductible à l’addition et à la soustraction. « Ainsi, le nombre 2, le plus simple des nombres, est une construction en vertu de laquelle on ajoute l’unité à elle-même ; le nombre 3, est une construc-. tion en vertu de laquelle on ajoute l’unité au nombre 2 et ainsi de suite. Si on compose les nombres en ajoutant successivement l’unité à elle-même ou à des nombres déjà formés par ce procédé, on les décompose en retranchant l’unité des sommes précédemment construites, et les décomposer ainsi, c’est composer d’autres nombres. Par exemple si 3 est 2 -[- 1 , il est aussi 4 — 1 . L’addition et la soustraction sont deux opérations inverses dont les résultats s’annulent mutuellement;.elles sont les seules fonctions numériques primitives (1). »

(1) Liarü, la Science positive et la métaphysique, p. 226. Remarquons que le procédé par soustraction se rencontre même chez les peuples primitifs, quoique très rarement ; ' « La formation des numéraires par soustraction, dit Tylor (ouv. cité, ch. vu), s’observe dans l’Amérique du Nord et l’existence de ce procédé est bien démontrée parla langue aïno, parlée' dans l’ile de Jesso; les mots huit et neuf signifient clairement deux de dix,

^ un de dix. »

Ribot. — Idées générales.

l’évolution des idées générales

Ce qui fait la simplicité et la solidité de ce procédé, c’est qu’il est toujours identique à lui-même et, bien que la série des nombres soit sans limites, un terme quelconque de la série est rigoureusement déterminé, parce qu’il peut toujours être ramené à son point de départ : l’unité. Dans ce travail de construction, à répétition continue, deux faits psychologiques sont à noter :

1° A peine a-t-on dépassé l’unité dans la confection des nombres, que toute intuition manque. Dès qu’on atteints, 6, 7, etc. (la limite varie suivant les individus), les objets ne peuvent plus être perçus ni représentés ensemble ; par suite, il n’y a plus dans la conscience que le signe, substitut de l’intuition absente ; chaque nombre devient une somme d’unités fixée par un nom.

2oAnofre unité-type nous substituons des unités supérieures qui permettent une simplification. Ainsi, dans le système décimal qui a prévalu, la dizaine, la centaine, sont des unités dix fois, cent fois plus grandes que l’unité proprement dite. On peut les faire aussi grandes qu’on veut : les Hindous, dont l’exubérance d’imagination est bien connue, ont inventé pour compter les journées de vie de leurs dieux, le koti, qui équivaut à quatre billions trois cent vingt-huit millions d’années ; chaque koti représente un seul jour de la vie divine (1).

(1) La pratique eufantine et sauvage de compter sur les doigts et sur les orteils constitue le fondement de notre science arithmétique. Dis semble la base arithmétique la plus commode du système reposant sur la numération des mains; mais douze eût été préférable, et l’arithmétique duodécimale proteste contre le système décimal actuellement employé. Ce n’est pas le seul cas où les civilisations avancées découvrent les traces de leur grossière origine dans l’ancienne vie barbare (Tylor, loc.

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Inversement, on peut considérer Tunité-Lype comme une

somme de parties identiques et poser l = — ou , etc.

Un dixième, un centième, sont des unités dix fois, cent fois plus petites que l’unité proprement dite, mais qui, \ dans la formation des nombres fractionnaires, obéissent aux mômes lois.

Pour le psychologue, il convient de noter la position ^ privilégiée de ce que nous appelons l’unité-type ou simple- i ment 1. Elle a son origine dans l’expérience, parce que ‘ l’unité, môme concrète, môme appréhendée par la perception grossière, apparaît comme un élément premier, spécial, irréductible. Pour l’esprit, en tant qu’il se borne à percevoir ou à imaginer, dans le passage d’un objet à deux, trois, quatre objets, ou inversement dans le passage de quatre objets à trois, deux, un seul, il y a augmentation ou diminution. Mais en deçà de l’unité pour le premier cas, ' au delà de l’unité, pour le second cas, il n’y a plus pour | l’esprit aucune représentation ; l’unité paraît confiner au néant et être un commencement absolu. J

De ce point privilégié, l’esprit, par un mouvement identique, peut suivre deux directions opposées : l’une vers l’infiniment grand, en augmentant toujours, l’autre vers l’infiniment petit, en diminuant toujours : mais dans un sens ou dans l’autre, l’infini est une possibilité qui n’est jamais épuisée. — Ici se pose la question tant discutée sur le nombre infini : la ^y chologie n’a rie n à y voir^our les uns, le nombre infini existe actuellement. Pour les autres, il n’existe qu’en puissance, c’est-à-dire dans l’opération de l’esprit qui peut, sans fin ni trêve,

Vûn^ j/

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i ajouter ou retrancher, comme il a été dit plus haut (1).

III. L’importance des signes, comme instruments de Z' l’abstraction et de là généralisation, ne se montre nulle part aussi bien que dans leurs multiples applications à la quantité discrète ou continue. L’histoire des sciences mathématiques est en partie celle de l’invention et de l’emploi de symboles à complexité croissante, et dont l’efficacité ressort clairement de leurs résultats théoriques ou pratiques. Aux choses considérées comme dénombrables ont été substitués d’abord les mots; puis des signes particuliers, les chiffres; plus tard, avec l’invention de l’algèbre, les lettres remplacent les chiffres ou du moins leur fonction et leur rôle dans les problèmes à résoudre ; plus tard encore, à la considération des figures géométriques se substitue celle de leurs équations ; enfin, aux calculs sur les quantités infinitésimales, sur les quantités négatives, les nombres imaginaires, correspond l’emploi de nouveaux \symboles.

Ces symboles sont un si puissant auxiliaire pour le travail des mathématiciens, que ceux-ci — ceux d’entre eux qui se piquent de philosophie — ont volontiers disserté sur leur nature et leur valeur intrinsèque. Ils paraissent se diviser en deux camps.

Les uns attribuent aux symboles une réalité ou du moins y inclinent. C’est l’introduction des nomina nurnina dans ^ les mathématiques. Ils soutiennent que cesprétendues conventions ne sont que l’expression de rapports nécessaires

(1) Pour l’exposé le plus récent de cette discussion, avec les arguments de part et d’autre, voir Goi3tdr.a.t: De l’Infini mathématique (1896), 2» partie,

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que l’esprit est obligé, à cause de leur nature idéale, de représenter par des signes arbitraires; mais qu’il n’invente pas au gré de son caprice ou par la seule nécessité de sa nature et qu’il se borne à saisir tels que la nature des choses les lui offre. Ne voit-on pas d’ailleurs que le travail qui s’opère grâce à leur aide est, avec les modifications requises, applicable à la réalité?

Pour les autres, les symboles ne sont que des moyens, des instruments, des stratagèmes. Il se moquent de ceux « qui regardent les rapports une fois symbolisés comme des choses en soi contenant la science à priori, comme des idoles que l’on supplie de se laisser voir » (Renouvier).

Les signes, quels qu’ils soient, ne sont que des conventions : les quantités négatives représentent un change- y ment dans la direction de la pensée ; les nombres imagi- ; / naires « représentent sous une forme simple et abrégée/, des relations considérables. » Les symboles servent à surmonter les difficultés, comme dans la pratique le levier et ses perfectionnements servent à soulever des poids. « Ce n’est pas dans le calcul, disait Poinsot, que réside cet art qui nous fait découvrir; mais dans la considération attentive des choses où l’esprit cherche avant tout à s’en faire une idée, en essayant par Tanaipse proprement dite de les décomposer en d’autres plus simples, afin de les revoir ensuite, comme si elles étaient formées par la réunion de ces choses plus simples dont il a pleine connaissance (1). » ^

(1) CoüRNOT, Ouv. cité, t. 1, 331 et suiv. Renouvier, Logique, t. I, pp, 377-394. — Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps, p. 78. . '

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En résumé, les nombres consistent en séries d’actes d’appréhension intellectuelle, susceptibles de directions diverses et d’applications presque illimitées. Ils servent à comparer, mesurer, mettre de l’ordre dans la diversité des choses. Si maintenantonrapproche les deux extrêmes, c’est-à-dire le premier essai de numération enfantine et les plus hautes inventions numériques des mathématiciens, on doit reconnaître que la notion du nombre est un bel exemple d’évolution complète de la faculté d’abstraire appliquée à un cas particulier, dont nous avons pu noter les principaux stades, en faisant ressortir la puissance toujours grandissante des signes.