Fonctions -; et T. — On a (n

yGoosle

vérifie -(-(A,, A^) = yiï, .■•■

22. Relations o = i, * = i, ^ L« i d'nn point et du trope transformé, le A d'un tropo et du point transforme, doivent ^tre iSgaux à,;o„ay(MM) = ,,r(,„»,) = ,,o„

On retrouve --^ ^ i , <[> ^ i , et l'on peut écrire ces relations par des déterminants égaux à o (voir aussi n° 77).

23. Points conjugTiés, etc. — l'^ormons la suite mMîNw : les points M et ]N sont conjugués, ou plutôt le second est conjugué du premier, si le trope transformé du premier est associé au second, etc.; leur y est nul. Deux tropes sont conjugués, etc. La condition -^ = o peut recevoir différentes formes; le lieu des points conjugués d'un point est un trope, etc. L'expression e7éwienïsco/y'M^fit's n'entraîne pas ridée d'un rapport anliarmonique

24. Équationnelles doubles. — Une éqiiationnelle sera le lieu d'un point mobile, l'enveloppe d'un trope mobile ; sans insister sur le trope tangent en un point, sur le point de contact d'un Irope, nous dirons qu'une équationnelle a une équation ponctuelle et une équation tangentielle. Le lieu des points conjugués d'eux-mêmes est l' équationnelle double S représentée par tp^o; l'enveloppe des tropes conjugués d'eux-mêmes est l'équationnelle double "S i=o.

22. Le A d'un point et d'un trope étant donné en coordonnées homogènes par la formule

Za h'

on a les trois cas particuliers suivants :

i" Le point et le trope étant associés, on a généralement A = o par définition.

a" Un point de l'équationnelle double S a ses coordonnées nor-

maies infinies à cause du système de eoordonnccs employé; il est défini par ses coordonnées homogènes avec im facteur normalisant égal à o; le A d'un tel point et d'un plan quelconque est généralement inlini. De même, etc.

3° Le i d'un point et d'un trope associés, lorsque le point est sur S, ou lorsque le trope est tangent à s, est indéterminé. En particulier, le i d'un point et d'un trope dont l'un est transformé de l'autre (lequel est généralement égal à i) est indéterminé lorsque le point est sur S, auquel cas le trope est tangent à ,î.

Pour le V de deu\ points, on a les faits suivants :

i" Le Y de deux points est généralement nul lorsque le second est conjugué du premier.

a" Ley de deus points dont Fuji est sur l'équalionncllc double S est généralement inlini.

3" Le -j- de deux points conjugués dont l'un est sur S est indéterminé. Ed particulier, le y de deux points confondus {lequel est généralement égal à i) est indéterminé lorsque les deux points sont confondus en un point de S.

On aurait des résultats analogues pour deux tropes.

26. Coordonnées auxiliaires ■; et l~. — Avec une seule figure de référence, les coordonnées auxiliaires u d'un point ou d'un trope sont les quantités y(M A) et T(ma)\ les coordonnées x seraient les quantités y(AM) et r(«m). On a ( n" 42) les formules mnémoniques

7(MA,) = y X>.Y(A),A/) = ç;, r(,na/) = 'SXiV(aia,) = 1.',

en considérant l'élément donné comme le résultant des éléments de référence, et des formules analogues pour y(AM) et T{am). On a encore

■i(M^) = '^Y'-iiU\,)=..., r{nin)='^\iT(ma,)=...:

en considérant le second élément comme le résultant des éléments de référence. On t-elrouverail a ^ i , <l> ^ i .

Pom

■ un point M prim

itlf ot le trope transformé i.

trope j

n primitif et le poi

ni transformé N, on a

v,^-i{MK,),

(N) y< = T{mai),

xl^.lia'n).