CHAPITRE m

FONCTIO\S PONCTUE LLIÏS ET TANGENTI ELLES.

Bien que ce Chapitre précède toute étude des éléments M^, on devra concevoir ici qu'une figure composée de p points est dans un étémentM^, et qu'une figure composée de p tropes est formée autour d'un élément M^.

27. Fonctions ponctuelles et tangentîelles. — La fonction ponctuelle d'un système de points M,M^. . ., dont le nombre ne surpasse pas n, est une quantité >s dont le carré est le déterminant des y de ces points considérés deux à deux. Pourj^ points dirigés, dans un élément M^ dirigé, l'ordre des points étant donné, la fonction ponctuelle a un signe relatif au théorème des déterminants de A (n" SI) et que nous définirons; inversement, on peut déterminer un élément MJ dirigé en donnant p points dirigés, avec le signe de la fonction ponctuelle des points pris dans un ordre déterminé ; si l'on change le sens de l'élément, on change le signe de la fonction ponctuelle.

La fonction tangentîelle d'un système de tropes m' m". . ., dont le nombre ne surpasse pas n, est de même une quantité S dont le carré est le déterminant des F de ces tropes considérés deux à deux.

La fonction ponctuelle dejO points est nulle lorsqu'ils appartiennent à un même élément Mp i; la fonction tangentîelle de p tropes est nulle lorsqu'ils passent par un même élément M''"' . Plus généralement, la fonction ponctuelle de p points est nulle lorsque l'élément M' qu'ils déterminent t'ait partie du complexe des éléments M^ conjugués d'eux-mêmes; par exemple, la fonction ponctuelle de Tî — I points est nulle, lorsque le trope qu'ils détermineni appartient à l'équationnelle double s. Ces faits seront démontrés,

28- Si l'on considère un système de points dans un élémeiii dirige, cl le svstème des tropes transformés autour de l'élémeni

dirigé qui est le transformé du premier, ou inversement, ia fonction ponctuelle du système de points esl égale à la fonction langenlielle du système de tropes; le signe sera Yérifié. On a, par exemple, pour !e polytrope P, S, =: o'l; et comme on a

on a pour !e polytrope P les mêmes formules que pour P.

(A). 29. Les deux fonctions d'un polytrope. — Nous appellerons fonction ponctuelle s d'un polytrope la fonction ponctuelle des n sommets; la fonction tangentietle S du polytrope sera la fonction tangentielle des n faces. On a

et comme le premier déterminant est le prodiilt du second par le déterminant i;;, on a fucilement la formule

qui délînit le signe de s quand l'ordre des points est donné (celui des colonnes du déterminant); la fonction ponctuelle de n points est nulle quand les points sont dans un même irope. On a de même

qui définit le signe de S ; S est nulle quand les n tropes passent par un même point. On vérifie Sg^ Sa, etc.; on obtient la règle da n" 28 pour le signe.

30. Théorème des déterminants de i. pour n points et n tropes, etc. — Étant donnés deux polylropes quelconques, si l'on considère les points du premier M, ... et les tropes du second m' . . . , en multipliant membre à membre les fonnules qui donnent s et S, on a la formule

en prenant indifféremment A(Mm) ou i(»)M); le déterminant des A est nul lorsque les n points sont dans un même trope, et aussi lorsque les n tropes passent par un même point. Si les deux polylropes sont confondus, on a l'extension à un polytrope quelconque de la dernière formule du n" o.

31. Étant donnés deux. polj-U'opes P eL l" dont les poiiiLs sont désignés par M et N, îes tropes par m et ii, on a

.s'=[-f(M,^,)l, SS'=[l-('«''0]-

(B). 32. Fonction ponctuelle pour Ji — 1 points, etc. — Le carré de la fonction ponctuelle d'un sjstcme de « — i points est

le crocliet double indiquant une inalrîce à n colonnes; lorsque les n — 1 points sont dans un même asc, tous les déterminants de ces deuK matrices sont nuls (n" 47) et la fonction ponctuelle est nulle; elle est encore nulle lorsque le trope des h — i points appartient à l'équalionnelle s (n" 34).

Pour avoir <7^ en fonction des seules coordonnées x, on évalue les déterminants de la première matrice en fonction de ceux de la seconde ; on a, par exemple,

nous reviendrons, dans un instant, sur oe calcul. Nous donnerons enfin la formule

dont le second membre est un déterminant d'ordre 2 ft ^ i ; on arrive à cette formule en mettant la première sous une forme analogue et multipliant par S^ rais sous la forme d'un déterminant d'ordre an — i.

On aurait des formules analogues pour le S de n ^ i tropes ; cette fonction est nulle quand les tropes ont un rayon commun, etc.

33. Trope déterminé par des points, etc. — l.es coordonnées du irope de « — i points sont données par les formules

on e

n tire

et comme on a Vx, h, = i, on a ).- = t'. Dès lofs, en prenanl }. ^^ 17, les coordonnées normales du trope dirigé défini par n — i points et par le signe de leur <t (l'ordre des points étant connu) sont données par les formules

\T-:rl...\

La fonction ponctuelle de h — i points dans un trope dirigé a un signe lorsqu'on fixe l'ordre des points; on vérifierai t.v, ^S,,. .., et on aurait la règle du n° 28 pour le signe. On a des résiillats analogues pour le point de n — i tropes.

Le facteur normalisant du n" 14 pour l'équation du trope de n ■ — ■ 1 points est tSo ; il est nul quand le trope appartient à l'équalionnelle s. Le facteur normalisant pour l'équaljon du point de n — I tropes est Ss,,.

34. Les formules précédentes éclairent les calculs du n" 32 relatifs à T^ : la première formule équivaut à la relation entre les coordonnées d'un trope, écrite avec u et u ; les formules de transformation équivalent aux formules qui donnent les coordonnées u d'un trope en fonction des coordonnées u \ la formule qui donnerait !7* en fonction des seules coordonnées x peut s'obtenir en remplaçant dans 4" = i les coordonnées u par leurs valeurs cidessus, et si l'on écrit cette relation par un déterminant égal à o, on obtient t* par un déterminant égal à o. On peut écrire

T est nui quand le trope des points appartient à l'équationnclle s. De même, etc.

On pourrait considérer deux systèmes de {n — i) points, et obtenir des formules donnant la valeur de l'expression

3o. Théorème des déterminants de A pour n — i points et n — i tropes, etc. — litant donnés n — i points qui déterminent un trope »î, et n — I tropes qiii déterminent un point M, on a

yGoosle

FONCTIONS PONCTfBLLES ET T A N GEN T I EI.L E S. l3

tous les éléments étant dirigés. Ce déterminant est nul dans trois cas : lorsque les points sont à un même axe, lorsque ics iropes passent par un même rayon, enfin lorsque le trope des points et le point des tropes sont associés.

Lorsque le trope des points est conjugué de lui-même, le déterminant n'est généralement pas nul, bien qu'on ait cr^ o, parce que le A du second membre est alors infini ; si le point des tropes est en outre associé au trope des points, le déterminant est nul, le A est indéterminé. De même, etc.

36. Si l'on considère maintenant n — i points M qui déterminent un trope m, et n — i autres points N qui déterminent un trope n, on a

le déterminant est nul dans trois cas et on a une remarque comme ci-dessus. En supposant les deux systèmes de points identiques, on retrouve des faits connus. On développerait le premier membre de cette formule comme le premier membre de celle qui donne 0-^ ; la dernière formule du n" 32 serait remplacée par une autre dont le premier membre serait S^a-<r'r(mn). De même, etc.

37. Extension des formules s^ = si h', So = Si Ai. — Si l'on considère un point M et le trope de « — i points, l'équation normale du trope donne s = <Ti(Mnî), lï étant la fonction ponctuelle des n — I derniers points. De même, etc. On peut encore partir de la formule (n" 29) qui donne sS^-

(C). 38. Fonction ponctuelle de p points, etc. — Le carré de la fonction ponctuelle de p points a pour expression

celle quantité est nulle lorsque les p points sont dans un môme élément My,) (n° 47) et, plus généralement, lorsque l'élément déterminé par les p points est conjugué de lui-même (n"' 54, 63). Pour avoir o-- en fonction des seules coordonnées x, on a les formules de transformation

dans l'étude d'un élément M^, nous reviendrons sur ces calculs qui se rattachent à la relation entre les coordonnées normales d'un élément MJ. Je donnerai encore pour 17^ la formule suivante analogue à la dernière formule du n" 32, et dont le second membre est un déterminant d'ordre n -+~p :

" Icc} r^J '

pour p^>, même, etc.

B les coordonnées d'un point. De