ÉLÉMENTS M$. MOMENTS ET COMOMEÎSTS

iO'. Composition des points, des tropes. — Soient des points en nombre quoleoiique M,M„, . . . , affectés de coefficients /r,/*,,, , ..; le point résultant M et son coefficient /. sont déterminés par les relations

le coefficient k est déterminé par la condition que les coordonnées X du point M soient des coordonnées normales. La composition des tropes est analogue. Les équations normales des points composants étant M,^ o, .. . , celle de M est ■ ' ■■■■ ', =o.

■41. Théorème des i. — Pour la composition des points, on a, par rapport à un trope quelconque w, la formule

si (i) passe en M, le second membre est nul. Une formule analogue a lieu par rapporta un point O pour la composition des tropes.

i2. Théorème des ■( et des r. — Pour des points, on a par rapport à un point O

^-f(OM) = A-,-f(OM,)-H..., Ay(M0) = A-,7(M,0}+...;

si M est conjugué deO, le second membre de la première formule est nul; si O est conjugué de M, le second membre de la dernière formule est nul.

13. CoefBcient résultant. — En appliquant la première formule des y au point résultanl, et la seconde aut points composants.

^5= A? -H. . . + iyc^fY(M,M„) + y(M„M,)] + . . .;

le signe que l'on donne à k fixe le sens de M {voir aussi n" 77). La même marche a donné y(M]^) ^u n" 26, et on a eu, en particulier, la relation a =^ i . Si les points composants se confondent, on a ^ = A:, + De même, etc.

44. Les points M,M,, . . , , aiFectés des coefficients A',A'„ . . ., sont dits en éqnilibre lorsque le point M, affecté du coefficient — k^ est le point résultant des autres points aHeclés de leurs coefficients : le point résultant est indéterminé avec un coefficient nul; ou a pour w quelconque ^,i,4-. . . = o, et pour O quelconque, etc.

Lorsque l'on a seulement A' = o, le point résultant est sur l'équationnelle double S; le A de ce point et d'un trope w est infini.

De même, etc.

4S. Éléments dérivés. — Nous allons définir les éléments W{p + q=^ii). Soient ç tropes iti'm" ..., et supposons qu'il n'existe pas une même relation linéaire et homogène entre les coordonnées u'i II',, . . . quel que soit l, l'un au moins des déterminants d'ordre q de la matrice des u étant différent de o. Les points M communs à ces tropes vérifient g conditions distinctes et dépendent de jO — I paramètres; prenons parmi eux p points M'M" ..., tels etc. : les coordonnées du point courant M sont données par les formules

les /;■ étant variables. En outre, tous les points M sont dans tous les tropes m dont les coordonnées sont données par les formules

kwi= k' œ'i-\-. . .;

ces tropes dépendent de ç — i paramètres, et vérifient p conditions qui sont de passer par p points M. On aurait pu prendre p points, etc.

Nous appellerons élément M* l'ensemble de tous ces points par lesquels passent tous ces tropes ; c'est à la fois :

r" Un élémem-lieii Mp, lien (le points clépenclaiitde/) — i paramètres et vérifiant q conditions ;

a" Un élément-enveloppe M', enveloppe de tropcs dépendant de ^ — I paramètres et vérifiant/) conditions.

Un élément M^ dépend de pq paramètres.

Un point courant de l'élément a pour équation ~ — ', "" ^=- o ; de même, etc.

Deux éléments tels que MJ et MJ sont dits associab(es.

L'élément M^ est le rayon : il est déterminé par deux points, et ses points dépendent d'un paramètre; l'élément M^ estl'a^ce; il est déterminé par deux tropes, et ses tropes dépendent d'un paramètre. L'élément M^,., est le trope qui peut être défini par n — i points : les points d'un trope dépendent de n — 2 paramètres, d'après les formules ci-dessus; de même, etc.

Pour p ^z=L n on a tous les points de l'hjperespace MJJ; pour ç = rt on a tous les tropes, que l'on peut considérer comme situés autour d'un élément fictif M„,

Un polytrope donne des éléments M^; à chaque M^ est oppose un M^.

46. Coordonnées homogènes d'un ^11- — Étant, donné un élément IM'*^ :

i" Si l'on considère/) points de cet élément, les déterminants d'ordre p fournis par la matrice des coordonnées x', et dont un au moins est supposé différent de o, ont des valeurs dont les rapports sont indépendants des p points qu'on a choisis parmi les points de l'élément pour le définir;

a° Si l'on considère q tropes de ce même élément, les déterminants d'ordre q fournis par la matrice des coordonnées Xj ont des valeurs proportionnelles indépendantes des q tropes qu'on a choisis parmi les tropes de l'élément.

En outre, les déterminants de la seconde matrice sont proportionnels aux déterminants d'indices complémentaires de la première, affectés du signe ( — j)'"'^; pour le démontrer, on écrit que lepointM, estdans les q tropes et on élimine (/ — 1 coordonnées^, ce qui en laisse /) + 1 ; on fait de mèmr pour chaque point, et

des p relations obtenues on tire les rapports des coeflJcienls. Alors, en tenant compte des formules du n" ti, on voit que les quantités des deux systèmes '-—■ et i— ^ sont proportionnelles : ce seront les coordonnées homogènes x\- de l'élément M^. Ces coordonnées sont siira tondantes. Ajoutons que, si la coordonnée x\ est nulle, l'élémenl M^ et l'élément Â^ de référence qui est K\ sont associés, c'est-à-dire que ces deux éléments ont un point commun et un trope commun (n" 53).

47, Équations d'un élément M;;. — Les déterminants d'ordre p -\~ i de la matrice formée avec les coordonnées d'un point courant M de l'élément et des p points qui le déterminent sont tous nuls; chacune de ces relations représente un trope remarquable, passant par l'élément et par cj — i sommets de référence. Si l'on considère p + i tropes de référence comme formant un système comparable à un poljtrope, on a les dernières formules du n" 9 et l'éqnation du trope remarquable prend la forme

Les équations obtenues sont d'ailleurs surabondantes; on a un système suffisant en maintenant fixes/» des indices l, ce qui laisse gr valeurs possibles pour le (p + i)'""^.

Un élément M| a aussi des équations tangentielles.

48. Les premières relations du n°^l expriment quep + i points sont à un M^; elles démontrent que la fonction ponctuelle de p ■+■ I points est nulle lorsqu'ils sont à un MJ. De même, la fonction tangenlielle de ç -H i tropes est nulle lorsqu'ils sont à un M^.

■49. Interprétation des coefBcients /-. — On peut interpréter les coefficients /c, dans le cas du n° iû, c'est-à-dire lorsque le nombre des éléments composants est au plus égala n. Reprenons les p -t-i relations qui ont servi à calculer le coefficient résultant (n" 43); si l'on calcule -r en laissant de côté d'abord la première relation,

i!lki]e;«-ts m^, jiohents et comoments. ïg

puis la seconde, et si l'on multiplie les deux relations ainsi obtenues, on voit que, en prenant pour k^ le carré de la fonction ponctuelle deSjO points composants, kj sera le carré de la fonction ponctuelle des/) points MM„M,„.. .; si l'on prend pour/- la fonction ponciiielle des p points composants M,Mj, . . . avec un signe arbi- . traire, /■,sera la fonction ponctnelle des p points MM„M,„.. ., le signe de cette fonction ponctuelle étant ainsi déterminé ; k^ sera la fonction ponctuelle deSjD points M,M M,,,. . ., la lettre M remplaçant M„ dans la suite naturelle M^M„M,„... (cette règle se comprend bien en siipposanl k^^o, /f„,= o, . . . , d'où résulte k = k„). On aurait des résultats analogues pour la composition des tropes.

Dans te cas p-^^n — i, si l'on prend n — i des formules du n"'i3, et qu'on en tire les rapports /f, ;k, . . . , en tenant compte des formules du n" 33, on a une vérification. Le cas p = n en fournit une semblable. Une vérification générale peut être faite avec les formules du n" 53.

Lorsque le nombre des points composants est n, on peut donner une autre démonstration que nous exposerons en supposant que les points composants sont les sommets de référence; un point quelconque M de coordonnées X, affecté du coefficient i, est le point résultant des sommets de référence affectés des coefficients X', X^, . . . , comme on le voit en prenant les A par rapport aux

tropes de référence; or on peut remplacer ces coefficients par j

— — ^ — 1 -■■> en sorte que, si l'on affecte le point M du coefficient *oi il sera le point résultant des sommets de référence affectés de coefficients qui représentent en grandeur et en signe les fonctions ponctuelles des pol y tropes MAî Al . . . A„, A, MAï.. . A„, .... De même, etc.

50. Transformation du théorème des A, etc. — Soient/) points M,M„. .. et un(/) + i)'*™*pointMsitué dans l'élément M^ que définissent les/) premiers points; désignons par a- la fonction ponctuelle des^ premiers points, et par <7,i7„ . . . les fonctions ponctuelles des systèmes de points M M^M,,, . . . , M,MM„,..., ..., avec les signes définis précédemment : notts pourrons considérer le point M affecté du coefficient 0- comme le poin t résultan t des points M, M„ ... , affectés des coefficients a-,<7 . .. . Le théorème des A donne alors.

pour un trope m quelconque

et le théorème des y donne pour un point O quelconque