M)= :y,-{{Om,i-h..., ,TY(MO) = J,Y(M,0)-i
On a
j2=,i H...+ a^(rjY(M,M.}-i-7(M„M,)] + ...
(voir aussi n" 77). On remarquera que ces formules concernent p-{-i points dans unM^; par exemple, dans l'espace réel, elles peuvent concerner quatre points dans un plan.
Si l'on suppose p^^ n -\-i, et si les n points M, M,,.. . sont les sommets de référence, la formule
est identique à la formule
ia formule qui donne la valeur de t^ est identique à la relation entre les coordonnées d'un point, et l'on pourrait l'écrire avec un déterminant. On aurait pu d'ailleurs, dans le cas de n points composants, écrire la valeur du coefficient résultant à l'aide d'un déterminant.
De même, etc.
31. Moments. Théorème des déterminants de â. — Soient deus éléments associabies. L'élément MJ, étant défini avec son sens par p points dirigés M, . . . et par le signe de leur fonction ponctuelle ir, et l'élément MJ étant défini avec son sens par p tropes dirigés m' ... et par le signe de leur fonction langenlielle S, nous définirons ici le moment des deux éléments par la relation
ces A étant des i(M/n) parce que l'élément défini par des points est placé le premier; si l'on met M^ le premier, les A sont des i(mM), le moment des deux éléments étant multiplié par { — i)pî
ÉLÉMENTS M^. MOMENTS ET COMOMENTS. 3l
quand on change l'ordre. Il est facile de montrer que le moment est Indépendant des points pris dans le premier élément, etc. Il faut encore prouver que le moment reste le même quel que soit celui des deux éléments que l'on définit par des points, l'autre étant défini par des tropes; ce fait sera démontré directement (n" o4) pour les moments qui seront les coordonnées d'un élément M', et le fait général résultera alors de la formule (n" SS) qui donne le moment de deux éléments en fonction de leurs coordonnées. Lorsque le moment aura reçu sa définition véritable (n" 107), la relation qui le définit ici constituera le théorème des déterminants de i (n" 110). Pour /? = n — I, le théorème a été démontré (n" 33), le moment d'un trope et d'un point étant leur A.
On aurait en particulier la formule du n" 8 pour un polytrope quelconque.
On trouvera plus loin (n" 56) une autre propriété du moment de deux éléments associables, relative au cas où ces éléments sont définis tous deux par des points, ou tous deux par des tropes, ce qui donne un système de n points ou im système de n tropes; cette propriété est celle du n" 7 étendue à un polytrope quelconque.
52. Les r, des n"" 7 et 8 sont des moments dans le polylrope de référence.
53. Coordonnées normales d'un M^. — Les coordonnées normales X d'un M^ dirigé seront les moments de cet élément et des éléments de référence A^ ; les coordonnées u seront les moments des éléments de référence et de l'élément. Si l'élément dirigé est défini par p points dirigés M, . . . avec le signe de leur t, on aura
Si l'élément est défini par q tropes dir de ]eur S, on aura
etl'on vavoirqueces deruières quantités sont égales aux premières en disposant du signe de S.
Si. Relation entre les coordonnées normales. — Les coordonnées X d'un élément AJ du polytrope P sont Icsquaruilés F'-C. Si l'on rapporte un éliiment M^ à P, on a
■ — ■ ^ Ti. ' en tenant compte de la valeur de o-^ an n° 38 et en posant X'':= -,->
or des rorriiiile» du n" 38 donucnl les foiinules do Iransforinalioii et la relation devient
Si l'élémenl est déOni par des tropes, on aura avec des coordonnées x-^ la même relation ; comme l'on sait déjà que les coordonnées a^ et les coordonnées ^^ sont proportionnelles, cela prouve que les dernières sont égales aux premières en disposant du signe de S, On a ainsi les coordonnées x\ ; les coordonnées w',' sont égales anx premières multipliées par ( — \)pi.
La relation entre les coordonnées normales d'un M'' sera désignée par
4(Xi.Xi-) = i, ou 2sLi,. = i, en posant
on peut écrire ^ ^ ^^
La relation entre les coordonnées d'un élément M^ sera W{X,Xl)= 1, 'i et ^F ne dift'érant que par le changement de y^^i: en Y^ ■
Comme la relation entre les coordonnées normales a pour premier membre une fonction homogène du second degré, on peut
changer les signes de loiitcs les courdoimées : changer ces signes, c'est changer le sens positif de l'élément; ce sens étant choisi, c'est-à-dire l'élémenl étant dirigé, les formules dn n° 53 donnent des signes àaetà S pour /(points dirigés de cet élément ou f^ tropes dirigés passant par cet élément.
Signalons le facteur normalisant des coordonnées homogènes.
On peut écrire pour/> points
i'S= = i|(-i)'-J|rili:ï, -,.|;
cette fonction est nulle lorsque l'élément M-f, des p points est conjugué de Uii-méme (n" 63).
55. Expression du moment. Théorème des moments. ~ \y.i U'vmule qui définit le moment devient d'ahoid
^^(H,<^Mg) = [[r;]].[[x;]|.
(Mj;Mf;) = 2'*'-^'-
On peut considérer MJ affecté du coefficient i comme le résultant des A^ de référence affectés des coefficients X, relatifs aux éléments opposés, et regarder la formule comme !a (radiiction d'un théorème des momenls.
56. Autre propriété du moment. — La fonction ponctuelle s des n sommets d'on polvtrope est donnée par la formule sS(,^ [r']; on en tire facllcmenl
7 étant la fonction ponctuelle des points d'indices L, etc., M^ et M^ étant les deux éléments déterminés par les deux systèmes de points. On a de même pour h tropes
S=^f,)i.,Tvv'fivi;;i\i;;,.
57. Association de deux éléments. — Les éléments M* et M'' sont associés lorsqu'ils ont un point commun et, par suite, un irope commun. Le premier étant défini par/» points, le second par p tropes, la condition d'association est [A|'| z= o : le moment
est nul; on peut é
Si les deux éléments sont définis par des points, om a
etc.
En supposant les X, fixes et les ^'•variables, la relation ci-dessus est l'équation normale de l'élément MJ en éléments M^ associés; les coefficients ne sont pas quelconques.
J}8. Élément NÇ transformé d'un élément Mj;. — Considérons p points M,M,,... et leurs tropes transformés n'/î" ... ; les p points définissent un élément M^, les p Iropes définissent un élément NJ, et tont point du premier élément a pour transformé un trope passant par le second ; tout trope du premier élément a, d'ailleurs, pour transformé un point du second; le second élément sera le transformé du premier, qui sera son primitif. Un point quelconque du premier élémentel un point quelconque du second sont conjugués; on peut définir le second élément par g points dont chacun sera conjugué desp points qui définissent le premier; le second élément est le lieu des points qui sont conjugués de tous les points du premier; on aurait des remarques analogues en considérant les tropes des deux éléments. Les coordonnées Cl du second élément sont données par les formules
Les coordonnées des éléments A^ du poljtrope P sont les quantités IVl! '^^ "ïui définit le sens de ces éléments; on en conclut cr^^Sf, ... et l'on a la règle du n" 58 au point de vue du
S9. Comomenta; théorème des déterminants de ■; ou de F. — I^e moment de deux éléments associables est égal à celui de leurs transformés : cela résulte du théorème des déterminants de i; si
ÉLÉMENTS Jr^. MOMENTS iîT COMOHIÎNTS. 35
l'on considère alors deux éléments de même espèce Mj,, N*, et si l'on forme la suite MJMj^N^N^, on peut appeler comomenl
des deux éléments M', N^ le moment des deux premiers éléments de la suite, ou le moment des deux derniers; nous désignerons ce comomentpar la notation ({M*, N^)).
Si l'on considère deux systèmes de p points M, M„ ..., N,N„ ..., qui définissent les deux éléments M^, N'J, on a le tliéorème des déterminants de y,
^a'(CM,^,N;;)) = [ï(M,N,)).
De même, etc. Le comoment de deux éléments identiques est i ; le moment d'un élément et de son transformé est égal à i. Le comoment de deux éléments est égal à celui de leurs transformés.
Les quantités j,p sont des comoments. Si l'on considère un élément MJ et un élément de référence AJ, on a la suite AJ, M^, A', NJ; le moment des deux premiers éléments, pris dans l'ordre oîi ils sont écrits, est la quantité u^; le moment des deux premiers est la quantité égale t'i,; l'une ou l'autre de ces quantités est le comoment des deux éléments M'^, A^ ; on a
((»i?..Ar)) =2"^ ■'«■=*•■
60. Expression du comoment; théorème des comomeûts. — Les deux éléments étant définis par p points, on a
^a'((M^,Np) = [K|].[[Y;]]; on en déduit
les formules de transformation donnent
