VI

60. Identité des A pour n^i points, «-,-1 tropes; etc. — On peut toujours mettre n -h i points ou «4-1 tropes en équilibre avec des coefficients convenables; il eo résulte pour n -\- 1 points MM^..., et n+i tropes mm'... l'identité [i]=o. Pour deux systèmes de n -\-i poiiUs, on a une identité analogue avec des ^i etc.

66. Relation pour n points dans un trope, etc. — Pour n points et n tropes, on a vu que le déterminant des A est nul quand les points sont dans un même trope ou quand les tropes passent par un même point. Cela tient à ce que n points dans un trope peuvent être mis en équilibre, etc. Dans le premier cas, la relation linéaire et homogène qui lie les éléments d'une colonne a pour coefficients les coefficients d'équilibre; pour la relation entre les éléments d'une rangée, oa peut considérer le Irope des points M comme le trope résultant des tropes m, et appliquer le théorème des A par rapport à chacun des points M, lesquels sont dans le trope résultant (n" M). C'est ainsi que, dans la relation qui exprime, au n" 1i, que n points sont dans un même trope, les coefficients d'une rangée sont X),Xi, ..., c'est-à-dire les coefficients du trope des n points considéré comme le résultant des tropes a.

67. Pour deux systèmes de n points, le délerminant des y est nul lorsque les points de l'un des systèmes sont dans un même trope : on expliquerait ce fait comme le précédent; en particulier, la fonction ponctuelle de n points est nulle lorsque les n points sont dans un même trope. De même, etc.

68. Relation pour (/> -1- 1) points dans un M^ îidèreyj-i-i points et /) + ! tropes, le détern

- Si l'oi

yGoosle

dans Li'ois cas : en premier lieu, lorsque les p -\- \ poiuLs sonL dans un même élémeniM*; en second lieu, lorsque lesj» + i tropes passent par un même élément M^ ; en troisième lieu, lorsque l'élément M/,+) déterminé par les points et l'élément M''+* déterminé par les tropes sont associés. Dans ce dernier cas, n" 57, le déterminant est nul, parce que le point commun peut être considéré comme le point résultant des /J -h I points affectés de coefficients convenables et doit se trouver dans les jD + i tropes; on aurait une explication analogue en considérant le trope commun. En particulier, lorsqu'un élément M'^ est associé à un élément de référence AÇ, on a [^x] ] ^ o ; la relation linéaire et homogène entre les éléments d'une rangée est l'équation du trope remarquable qui passe pai- les deux éléments.

Lorsqu'on a/) + i points appartenant à un élément M' et jo + 1 tropes quelconques, le déterminant des A est nul parce qu'on peut mettre les points en équilibre à l'aide de coefficients convenables : ce fait donnelarelationlinéaire et homogène entre les éléments d'une colonne. Pour obtenir la relation entre les éléments d'une rangée, on remarque qu'un certain trope de l'élément M'J;!;! défini par les p -H 1 tropes passe par les/j + i points {p conditions) : on considère ce trope comme le trope résultant des jU + i premiers, et l'on applique le théorème des A par rapport à chacun des /> + i points, lesquels sont dans le trope résultant; en somme, les deux éléments ont un trope commun. C'est ainsi que, dans les relations qui expriment que p -h i points appartiennent à un élément M^, les coefficients des rangées sont des X,

Lorsqu'on a, p-\-\ points dont l'élément Mp+, est conjugué de lui-même eljO + i tropes quelconques, le déterminant des A n'est généralement pas nul, bien qu'on ait c = o, parce que le moment des deux éléments est alors infini; si l'élément 1^+' des tropes est alors associé à l'élément des points, le déterminant est nul, le moment est indéterminé,

69. Si l'on considère deux systèmes de/i + i points, le déterminant des Y est nul, soit lorsque les points de l'un des systèmes appartiennent à un même élément MJ^, soit lorsque les deux éléments Mj,.^, définis par les points sont conjugués l'un de l'autre; on ferait des remarques analogues aux précédentes. En supposant

les deux systèmes de points identiques, on l'ctrouvcryit des faits connus. De même, elc.

70. Si l'on fait/> = M — a, au n" 68, on a « — i points et « — t Iropes : le déterminant des A est nul dans troi.s cas, dont le plus important est l'association du trope des n — i points et du point des n — I tropes.

Pour deux systèmes de « — i points, n" 69, le déterminant des y est nul en particulier si les deux Iropes déterminés par ces points sont conjugués; elc.

S Vil.

71. Formes compagnes d'une forme quadratique. — Soit la forme quadratique

dans laquelle cij et co. sont différents. Considérons le déterminant!^ des coefficients c supposé différent de o, et ses mineurs [cxi\, les indices étant dans l'ordre naturel. Les formes compagnes seront les formes quadratiques

la lettre/) indiquant le nombre des indices ^ou X; les deux formes pf ^^ ,/ seront dites associées. PourjO =: « — i , on a une forme qui ne diffère de la forme adjointe que par les signes des coefficients : c'est ainsi que la forme ax^{b -ir b')xy -{- cy^ a pour forme compagne c^(^-f-(6 + è')«c -)- ar^, tandis que la forme ■ adjointe est cU- — (i+ b')\N +■ aV'K Pour /? = o, on a

Posons,"commeau n" 21, f{^,^„)=^cuz';zi = ^,'j,{z,y,

yGoosle

ni étant d'ordre p, le second d'ordre n -+-/>, et les quantités F étant celles qui ont été définies au n" 1 ; en laissant de côté l'espression intermédiaire qui sert seulement à la démonstration, on a une identité remarquable. Cette identité se simplifie quand on suppose Ct\ nul pour l dilTérent de À. Pour p = n^ on peut dire que le premier membre est égal au produit ["'][*^ii-'( + '^ïi-^f"'"- • -Il ^1"' devient rf[a,']-; une démonstration analogue peut se l'aire dans le cas général.

72. Formes compagnes d'une forme biiinéaire. — Considérons une forme biiinéaire dont les deux systèmes de variables seront désignés par z et (, savoir :

Nous aj)pellcrons/o/'mes compagnes les formes bibnéaires

parmi lesquelles on doit remarquer la forme biiinéaire adjointe. On a une identité analogue à l'identité ci-dessus, les seconds 3 élant remplacés par des t.

T6. Remarque sur la forme adjointe. — Considérons les deux déterminants inverses d cl A, cl n'étant pas nul : les deux formes

sont entièrement réciproques. La forme $ est le quotient par d de la forme „^^f, si la variable Z; est Identique à la variable z'—"~^ multipliée par ( — i)'; la forme compagne ^'S est le quotient par d de la forme ,/, si l'on a Z^ = {— i)'"^;''.

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