I>SEUD0-D1STA>CE, ETC

Le T de deux points esl un cas particulier du moment de deux éléments M^, M^ (Chap. VII) : pour cette raison nous désignerons ici deux points par M et 311^; en Géométiie linéaire, A (M, ni) deviendrait ^(M, 0\L). Celte notation esl encore en harmonie avec ce fait que le a de deux points est un cas particulier de la fonction ponctuelle de p points.

7-4. Fonction ponctuelle de deux points, etc. — La i'onclion ponctuelle de deux points M et ;iïL est définie par la relalion

iTî(M,,m)= '^ ' ^[— -/(M,3H.)v(;)lL,M);

on l'évaluerait par rapport à P et P, ou à P seul (n'' 32), La fonction tangentielle de deux tropes m et jj^ a une définition analogue. Pour deux points dont l'un est conjugué de l'autre, l'un des y est nul et l'on a généralement <!-=:: i. On peut remarquer à ce propos que, pour la fonction ponctuelle de p points, dont le carré est défini par un déterminant de y, si les éléments situés d'un côté de la diagonale principale sont nuls, on a t^ = i .

75. Rayons et axes. — Un rayon est un lieu de points dépendant d'un paramètre; un rayon dirigé est défini par deux points dirigés M ei SV^ avec le signe du <7 de ces deux points; ses coordonnées (n" 53) sont des q\ianlités dont le type est

76. Composition de deux points, etc. ~ Si l'on considère Lrois points MjMM,; silués sur un même ra yon, le point M peut être considéré comme te point résultant des deux points M,, et M, affectés des coefficients a-{M,M) et (r(MM„) et on doit raffectcr luimême du coefficient tr(M, M„).

Nous ferons d'abord la remarque suivante; étant pris sur un rayon dirigé deux points conjugués M et N que l'on dirige pour avoir o-(M, N) = i et un point OW du ra^on, en écrivant M31LN on voit que le point !)V~ affecté du coefficient i est le point résultant des points N et M afiectés des coefficients (r(M, 311.) et o-(OIL,N) : en prenant les Y par rapport au point M, on trouve y(M 911') = o'{3fLN); on a de même ff{-^, M) ^: y(^' ■'I^)' les points J^ et SU. étant conjugués sur ie rayon et dirigés pour que t{J^, D\l) ^^i. En résumé,

.j«, M) = 7(M, ril.) = <r(9!l, N) avec a(0 SK) = i, ci(M, ?i) = r.

Cette remarque étant faite, si nous considérons sur un rayon deux points M, et M„ affectés des coefficients k, et ^^ et le point résultant M affecté de son coefficient k, en prenant les y par rapport au point SX, du rayon qui est conjugué d'un point S\L de ce rayon, on trouve

kuimi, M)-=A-,o(3IL, H,) + A-,t(3]L,M,) :

c'est le théorème des 0". En prenant A' ^ i , on peut écrire la formule

qui rappelle l'expression de i. Le théorème des déterminants de y pour deux couples de points à un même rayon donne

Ces deux relations équivalent à celle-ci

en permutant iMM,M„.

Les coefficients des trois points MM M„ étant t(:M,!\J„), etc., on prenant les v par rapport au point M, on a encore, comme au

a(M,M„) = o(M,M)-f(MM„)-^a(M^r,■|ï(MM,);

si l'on prend aussi les •( par rapport à M„ et à M,, on arrive à la formule

o^(M,M,) = n'(M,M)H- TÎ(MM„)

-h t(M,M)<i(MM,)[-;(M,.M„) + -'(iV!„M,)].

77. Pseudo-distance M Jll, etc. — Pour deux points dirigés, nous déllnirons la pseudo-dislance M ail au signe près, at k ik-K près, par la relation

•f(M,3 rc)+ -f (;)n..M) ^ ^^^^^^^-^^^

si l'o7i cliarige le sens de l'un des points, cos(ÂJ,illL) change de

co^(M3K.-) =. X':h:'+ ... -+-Xi=^cos(AiA3)+ ....

La relation » = i est cos(MM) = i, et l'on a l'cqualion de S eu remplaçant i par o. On pourrait calcnler sin^Msil. et examiner les cas où ce sinus est nul.

On a pour la composition des points

k cos(ÔM) = A-, cos{Ôm;) + . . . ,

/.■ï=/-î+...-^,A-yc„cos(M,nrj-t-.,,.

On a encore (n" 50)

même, etc.

78. Un cosinus est un y relatif à une correspondance par polaires réciproques dont l'équationnelle double serait S (Chap. IX). Cherchons la liaison entre MJIL et S. Étant donnés deux points M et 3ÎL, le rayon MSIo rencontre l'équationnelle double -s^ o en deux points ii et 11'; évaluons le rapport anharmonique

iclcspoin

M et 011. affectés des coel'ficieats i et — /f, ce ijui donne pour les coordonnées homogènes de ce poinlles valeurs a:' — A-^', etc.; écrivons que ces coordonnées vérifient la relation ç = o, nous aurons k^— 3/i'cosM3rL + 1 = 0, qui donne les valeurs de /: pour les deux points Û et û'; appelons k celle qui répond au point Q, l'autre sera 7 , et nous aurons R ^: A'- : nous prendrons ^K ;= /." ; on peut écrire

en disposant du signe de MOII. On a finalement

M OIL = -^log/ï),

que Ton doit regarder comme donnant la définition de la pseudodistance; on en conclut M, M +'MM^=^ M,M„. Quand on change l'ordre des deux points, la pseudo-distance change de signe ; quand on change le sens de l'un des deux points, la pseudo-distance augmente de r-..

79. Paramètre d'un rayon, etc. — Soit un rayon dirigé ; pour deux points M et 3iL de ce rayon, on a facilement

Y(M3]i.)-Y(.m;M) dirons que 9 est le p;

en appelant 6,3 le paramètre du rajon AiAj. Un rayon dirigé est défini par deux points dirigés M et an., avec le signe du a; 6 est alors déterminé au signe près; on change le signe du a en remplaçant 9 par 9 -1- Tî, et ce fait se comprendra dans un instant : il en résulte que, quand on parle d'un rayon dirigé, il s'agit du choix à faire entre 8 et7^ + 9.

On obtiendra de même le paramètre 8 d'un axe dirigé.