Fonctions t et 1. — Les deux relations qui définissent
cosM;)R,*!t cosli doniieiiL
f(M31L)=cosM0îL— u(M3n)cos6, ■;{0IL!Vl)=cosMâii: + cr(M3lt)cose;
en multipliant el en rnmplaçant !e produit des y par ' — *'i o" a
on disposant du signe de sin9. De même, etc.
On doit remarquer avec soin qu'une pseudo-distance est un clément relatif à la seule équationnelle S : il est bien vrai qu'on a défini celte quanlilé en considérant des C7, mais le rapport anharmonique de quatre points conserve la même expression quelle que soit la corrélation étudiée, et la pseudo-distance ne dépend réellement que de l'équationnelle S; au contraire, un o- est lié à l'ensemble delà corrélation.
81. En général, la pseudo-distance de deux poinis dont l'un appartient à l'équalionnelie S est infmie, parce que le rapport anharmonique dont elle dérive est alors nul ou infini; il en est de même du a de ces deux points. Oe même, etc.
On a
)5(M;1H) sin(.M.m)
82, Fonctions ■; et r. — On a
Si deux points M et N sont conjugués sur le raj-on, on a Y(MN) = o, MN = 6 ou 9 + t;, selon le sens dans lequel le point N est dirigé, et qous supposerons dans ce qui suit MN = fl ; on peut dire alors que ie paramètre S d'un rajon est la pseudo-distance d'un point M à son conjugué N sur le rayon considéré, et l'on a ;7(MN)= I , On a encore
4G cmapithiî v.
avec -f\m = M.\ := 0. Si l'on ocril
avec L'M = MN ^= Q, on voit que la dilTérence entre les deux y lient à ce que L' el N sont distincts.
Sur un rayon, il y a homographie entre deux points M et N dont le second est conjugué du premier": les points doubles sont les points ii et il'; et en efTetjla pseudo-distance MN est constante, le rapport auharmoniqiie {flÛ'MN) est constant, et cela correspond bien à une homographie dont les points doubles sont Q et II'.
83. Rayons conjugués d'eux-mêmes. — Un rayon est conjugué de lui-même s'il est associé à l'axe transformé, et par suite à l'axe primitif: les deux points d'association sont les points QQ' où le rayon rencontre l'équationnelle double S, attendu que ces points sont conjugués d'eux-mêmes. Un axe est conjugué de lui-même, etc. Si l'on considère un rayon conjugué de lui-même et l'axe transformé qui est aussi conjugué de lui-même, le point d'association Q est sur l'équationnelle S, le trope d'association w est tangent à l'équationnelle s.
Un rayon conjugué de lui-même a un paramèti'e 6 dont le sinus et le cosinus sont infinis, ce qui revient à ceci : tang-9 =± /. En effet, si l'on prend un point M sur le rayon, le trope transformé qui doit contenir l'axe transformé passe par l'un des points iltl', le conjugué N de M sur le rayon est l'un des points ÙQ', et la quantité sinMN ou sinB est infinie. Il en résulte que, sur un pareil rayon, le tr de deux points est nul, comme valeur d'une fraction dont le dénominateur est infini, pourvu qu'aucun des deux points ne soit Q ou iV ; c'est un cas particulier d'un fait général relatif à la fonction ponctuelle dcjo points dans un élément MJ, conjugué de lui-même.
Le Y de deux points Met 31L sur un rayon conjugué do lui-même a pour valeur
cos(M.0rO
■otesin(MJrL),
K,M3ll) + i
(Mi)II) ou l/ït,
de
même
■/('■'Il
