TS
Dans le casi parliciilier où l'on considère sur un ravon conjugué de Iwi-iiiêmc deux poinis M et N dont l'un, M, appartient à l'équationnelle donble S, le t est ind<5lerminé. (On veira plus loin que les deux points M et N sont conjugués : en particulier, si l'on se donne M, le rayon est dans le trope transformé ou dans le trope primitif de M; on peut dire que le o- de deux points conjugués, lequel est généralement égal à (, est indéterminé quand l'un des points est sur S.)
Nous devons ajouter ici que la pseudo-distance de deux points confondus en nn point de S est indéterminée; il en est de même <iu<r.
Si. Les rayons conjugués d'eux-mêmes donnent une définition géométrique du trope transformé et du tropeprimitif d'un point M. En elïèt, si l'on considère un rayon conjugué de lui-même issu du point M, et qui perce l'équationnelle double S aux deux points Q et û', l'axe transformé du rayon le rencontre par exemple en Cl : comme le point M est sur le rayon, le trope transformé n doit passer par l'axe et en particulier par le point Û ; il en résulte que les rayons conjugués d'eux-mêmes issus du point M rencontrent l'équationnelle double S en d«s points situés dans deux tropes qui sont le primitif et le transformé du point M. Cette définition suppose seulement que l'on connaît le complexe des rayons conjugués d'eux-mêmes. En Géométrie plane, dans l'espace réel, les rayons ne sont autre cbose que les tropes qui sont d'ailleurs des lignes droites; on a deux couiques doubles S et j, doublement tangentes et formant ce qu'on peut appeler un duplex (faire la figure pour -des contacts imaginaires) : étant donné un pointM, on mène de ce point les deux tangentes à la coniques, elles coupent la conique S en quatre points OO'Ûil', el si 00 sont les points transformés des tangentes, la droite Où est la droite n transformée du pointM tandis que la di-oite O'û' est la droite primitive /.
De même, si l'on considère dans un trope les axes conjugués d'eux-mêmes, par chacun de ces axes on peut mènera l'équationnelle s deux tropes tangents w et <o' : si l'on appelle w te trope d'association de l'axe et du rayon primitif, l'enveloppe des trojies w esi le point primitif du trope donné.
Si l'on considère un point M et le trope transformé n, les rayons
48 CM,u.jrftE V.
conjugués d'eus-mèmcs issus de M avec leurs points li dans le trope n, et les axes conjugués d'eux-mêmes dans le irope n avec leurs tropes (j passant par M, les points ti sont les points d'association des rayons ei des axes, les tropes ùj sont leurs tropes d'association. Par exemple, dans l'espace réel, on a un point M et un plan n : les rayons conjugués d'eux-mêmes issus de M forment un cône du second degré, dont la trace sur le plan n est une conique Ci lieu des points conjugués d'eux-mêmes dans le plan n; les axes conjugués d'eux-mêmes dans le plan n forment une conique, et le cône w de sommet M qui a celte conique pour base est l'enveloppe des plans tangents conjugués d'eux-mêmes issus de M ; les deux coniques dans le plan n forment un duplex ; à chaque rayon issu de M et faisant partie du cône des rayons conjugués d'eux-mêmes, correspond dans le plan n un axe transformé qui Im est associé : le point d'association est sur la conique ii, le plan d'association est tangent au cône m.
Lorsque le point M est sur l'équationnelie double S, les rayons conjugués d'eux-mêmes issus de ce point sont ceux des deux tropes qui sont le ti-ansformé et le primitif du point M, et qui passent en M; on peut le voir directement : en effet, un rayon conjugué de lui-même issu de M est associé à l'axe primitif, le point d'association étant M, on à l'axe transformé, le point d'association étant M; dans le premier cas, le point M étant sur l'axe primitif du rayon, le trope transformé n passe par le rayon ; dans le second cas, etc.
8S. Les faits précédents peuvent être généralisés. On vient de voir que, si l'on considère un point M et son trope transformé, les rayons conjugués d'eux-mêmes issus de M donnent, par intersection avec le trope transformé, des points conjugués d'eux-mêmes. Si l'on considère un point M et son trope transformé, les éléments Mp+i conjugués d'eux-mêmes qui sont issus du point donnent, par intersection avec le trope transformé, des éléments Mp'^' conjugués d'eux-mêmes. Lorsque le point M esl en Û sur l'équationnelie double S, on remarque que tout élément Mp^, mené par Ù dans le trope transformé, ou dans le trope primitif, est conjugué de lui-même; mais on n'a pas là tous les éléments Mp^.i conjugués d'eux-mêmes el passant par fl. De même, etc. Plus généralement,
on pourrait considérer un élément Ma et son transformé M" : les éléments M§4.p conjugués d'eux-mêmes et passant par M;, donnent, par intersection avec M", des éléments M'"^*^ conjugués d'eux-mêmes ; la figure relative an cas de la Géométrie plane dans l'espace réel donne un schéma qui peut aider à l'intelligence de ces faits.
On a employé ici les notations du Chapitre VIII.
86, Étant donné un point M, le lieu des points N qui donnent Y(MN) := o ou •■'(NM) = o se compose du trope transformé et du Irope primitif de M ; or, on a vu que, parmi ces poinis, se trouvent les points où les rajons conjugués d'eux-mêmes issus de M rencontrent l'équalionnelle S : l'accord de ces deux faits résnlte de ce que les rajons conjugués d'eux-mêmes issus de M vont passer par les points où l'équalionnelle S est coupée par le Irope transformé et par le trope primitif du point M.
Etant donné un point M, on peut considérer le lieu des poinis .TTL tels que l'on ait ff(M3H)^ o ; ce lieu est l'ensemble des rajons conjugués d'eux-mêmes issus de M, o- étant nul parce que le sinus du paramètre est infini ; ce doit donc être l'équationnelle conique du second degré, passant par les points communs à l'équalionnelle double S et aux deux tropes qui sont le pi-imilif et le transformé du point M. El, en effet, on a pour les points du lieu ( — Y(M3l1)y(arLM) = o, d'où l'équation du lieu
S7. Rayons â paramètre -■■ — Les rwjons dont le paramètre S est égal à - formctU ilh complexe du premier degré dont on a l'équation en faisant cosS ^:^ o dans la formule du n" 79. Sur Lin piircil rajon, on a
17m = Mi\ = - , par suite
c'est-à-dire que les points L' et N sont un même point dirigé des deux fa<;ons : le trope primitif et le trope transformé d'un point
du ruyon C0(i|jent lo rinon an même pciinL ; ou a ulor>
Y(M.m) = -;(;)lLM),
eL cela rtsulie de ce qu'on a
Y(AlilH. ) = 3(3rL'N), 7(;)IL M ) = T(l.'aR ), avec ^^
ÏTâÎL + MTN = t:.
ObsRfvons (r^iilliîiiL-s que l'hypothèsu
IKAJNliSi'j =-T :
les points i\l et N sont alors conjugués barmoniques par rapport anx points £iQ'. De chaque poînl M de l'Iijperespace partent des rayons à paramètre '-i lesquels vérifient une condition : ce sont les rayons associés à l'axe cjul est l'iutersection du trope primitif el du trope transformé du point M ; ils sont dans un même Irope, parce que le complexe est du premier degré. De m<îme, etc.
Dans le cas d'une corrélation plane, dans l'espace réel, les rayons à paramt'lre - passent par un point {i\e F dont les coordonnées homogènes x sont les quantités cos9^a, cos^s), cos8,a : ce point est le pôle de !a corde de contact des deux coniques du duplex ; en efl'el, la droite primitive et la droite transl'ormée d'un point M coupent le rayon FM en un même point N, et le rapport an harmonique des deux points M et N et des deux points où le rayon MN rencontre la conique S est égal à — [, ce qui donne bien - pour la pseudo-distance MN. D'après la formule du n" 79, le cosinus du paramètre d'un rayon est proportionnel au A du point F ei du rayon ; le facteur qui multiplie i est le facteur normalisant des coordonnées du point F : on verra {n°* 89, 90) que ce fadeur est le cosinus du paramètre du plan. De même, les axes ou points à paramètre - sont sur une droite fixe œ, qui est la corde de contact des deux coniques du duplex, et !e cosinus du para-
mèlre d'un point est proportionnel au A de ce point ot de la droite f.
Nous ajoiilerons la remarque suivante : La formule du n" 79, écrite eu coordonnées homogènes, montre que cosO est indélerminé pour les rayons R qui font partie à la fois du complexe des rayons conjugués d'eux-mêmes et du complexe des rayons à paramètre — Si l'on considère les rayons pour lesquels 9 a une valeur donnée, le complexe de ces rayons contient les rayons R ; cela a lieu en particulier dans l'hypothèse 9 = o, c'esi-à-dire lorsque le rayon est tangent à l'équalionnelle S ; il en résulte que les rayons R sont des rayons tangents à l'éqnationnelle S.
88, Équatîoniielles remarquables du second degré. — Je signalerai ici le lieu des points dont le 3' avec un poin! lixe a ime valeur constante. Le point (iite étant désigné pnv W et le point mohile par Oti, on doit avoir a'^ ^= /,-- o»
Y(M3II).y(.')KM)-=(i — )î:!)-f(MM).Y(;)lt3ll);
le lien est une équationnelle du second degré passant par les points communs à l'équalionnelle double S et aux deux tropes primitif et transformé du point M : cela tient à ce que le er de deux points conjugués dont l'un est sur S est indéterminé. Pour A' =: o, on a l'équationneile conique signalée an n" 86. On aurait à considérer également l'enveloppe des tropes dont le S avec un trope (ixe a une valeur constante.
Le lieu des points dont le A avec un trope fixe a une valeur constante est une équationnelle du second deg.ré circonscrite à S, le trope de contact étant le trope donné ; le lieu des points dont le f avec un point fixe a une valeur constante est une équationnelle du second degré circonscrite à S, le trope de contact étant le primitif ou le transformé du point fixe. L'enveloppe des tropes dont le A avec un point fixe a une valeur constante est une équationnelle du second degré circonscrite à s ; etc.
a. Dans l'étude du rapport aiil iiiiionique ( M Tt.l>iJ') on a à coiis[ilérer les différents cas où des points \iennent h se LOnfondre. En laissant de côté le cas où les points M et 3U, «e confondent, on peut avoir ces trois
M et a cimfondui, £2 et [2 confondus M,Ù 2 confondue
Dans le premier cas, la pseudo-distance des deux points M el 511. dont l'un appartient à S est généralement infinie
Dans le second cas, le rayon qui joint les points M et 311. est tangent à S, et la pseudo-distance est généralement nulle.
Dans le troisième cas, la pseudo-dislance est indéterminée.
p. Au point de vue du paramètre d'un rayon, on a trois cas remarquables déduits de ce qui pi'écède.
Le rayon peut être conjugué de lui-niéine, et alors le paramètre est généralement infini.
Le rayon peut être tangent à S et alors le paramètre est généralement
Le rayon peut être à la fois conjugué de lui-même el langent à S, et alors le paramètre est indéterminé (ces rayons font partie des rayons à paramètre - )•
■(. Le iT de deux points M et 3IL étant le quotient du sinus de leur pseudo-disiance par le sinus du paramétre fl du rayon qui les contient, on a le Tableau suivant dans les cases duquel on a marqué les pseudo-
M ET3Tl.QljELCiON'QUl!S.
MûuOILsurS.
Rajon quelconque
Uajon sQio-conjugué
Hayon langent à S
lîayon auto-conjngiié et langeai à S
Sur un rayon qnelconque, nn a aUics ^ = ^ pcin- deux points 4110!îonques, et a = | pour deux points tlont l'un est sur S (n» 81). Sur un rayon auto-conjugué, dont le paramètre est iufmi, on a = —
pour deus points quelconques, < sur S (n°83).
Sur un rayon langent à S la formule ^(Mari.} =
3. Si l'on calcule sin(M3H.) d'après la formule du 11° 77, on a I I cos(M3iV.) I
et si l'on introduit des facteurs normalisants en supposant les coordonnées liomogéncs, on retrouve les quatre cas possibles pour sin(M SiL).
La formule du n" 79 permettrait de calculer sin6, etc.
Pour a, si dans la relation entre les coordonnées d'un rayon on remplace ces coordonnées par leurs expressions données au n" 7S, on obtient avec des coordonnées homogènes une formule qui donne les quatre cas possibles.
. Pour deux points ronrnndu', la p«eudfi-disl
, généralei
eii un point de S, il y a inilélermination.
(f. Dans le cas d'une correspomlancc! par polaiixs lôcipiu^iics, on a ci
M KT ail- Qi;iii.coNon;B.
M ou 3R suK S.
Hayon quelconque.
[îayon taiigenL s S-
nur le dernier cas on peut dire que le tr de dei t généralemenl égal à i, est indéterminé quai
; points conjugués, lequel i un des deux points est
89. Développement remarquable de $1. — Considérons le déterminanl si du n" -l, c'est-à-dire le délejminani des y fournis par les points de référence. D'après le n" 80 on a ^12:= cosia — ^,2 et Y2i=^cosi2 +^ia en posant k,2^= a-jnCOsQu; dans le déterminant transformé avec cette écriture, les éléments sont les sommes des éléments correspondants d'un délerminanl symétrique et d'un déterminant gauche : comme il ne cliange pas quand on cliange simultanément les signes de tous les k, son développement ne
contient qu Salmon, Al^ loppement, 1
d'ordre 2p
des termes oi!i le nombre des k est pair (voir ibre supérieure, n" iO). Pour effectuer ce déve- >us désignerons par k,i- . .^p\e Pfaffien /ci^f^'si- ■■ , qui est la racine carrée du déterminant gauche
1 o /rn /.u ■■■ 1
le nombre des I par exemple
Gela posé, on considère le déterminant A d'ordre n formé avec les cosinus, et les formes compagnes relatives à ce déterminanL, en notant les variables comme au n" 73 : p/= Vc,»ZtZs, le nomijie des indices /étanl/>; et ]"o» a
si II est pair, le dernier terme est un carré.
Pour « = 3 (Géométrie plane) on a facilement
î. - + s,) 1^ —jjr- h' "^ ■ ■ ■ + ■•' ""Âl" A2 cos 1 î + . . . j ;
or, les quantités cosB^a--' sont alors les coordonnées homogènes ^r du pûle F de la corde de contact des deux conicjues du duplex; il en résulte <\y\a le facteur normalisant de ces coordonnées est
!)0. Paramètres d'un élément iM^. — J'indiqLi
iJÈc q„
s'est présentée à moi quand ce travail était près d'être terminé, et dont je n'ai pu profiler pour l'ensemble de l'Ouvrage.
Le paramétre d'un rayon M, peut être défini par la relation
■iVÔMM) 1 I
On peut se demander si, dans un élément fixe M^ où l'on prend/) points quelconques, le déterminant qui a pour éléments les cosinus des pseudo-distances des points deux à deux, et le déterminant qui a pour éléments les Y des points pris deux à deux, sont dans on rapport constant.
Pour n poitils on a (par un cidciil qui ne dilTère pas de celui
du n" '
I v(A,Ai) Y(A,AO I -.'(AiA,) Y(A,A,*
Or, les foniidlesdii n" 26 resien l exactes en l'emplacjanl les y par , des cosinus; il eu résulte que, dans la relation précédente, on peut également remplacer les v |iiii' des cosinus; (in en tléiliiit
en appelant u une constante qui serale paramètre |)oiietucl On aurait un paramètre tangentiel li pour M'„.
[Au n" 87, pour une corrélation plane (h-= 3), on a pour le paramètre d'un rayon une relation qui .peut (
iO = i(FR)
xt.
à l'idée qt
iei,
ffl, relative
au
triang
le
de
que la quantité -j du n" I
être la même quel que soit ce triangle.]
Pour/* points M,M„..., dans un M^ donné, nous emploierons une méthode qui pourrait être utilisée systématiquement pour l'étude d'un élément MJ. En considérant les points comme les points résultants de p points A, B, C, ... de rélément, affectés de coefficients a'b'c' . . . , a" !/c" . . . , etc., on aura
[-f(M,M,)] = [«'J^xtY(A,\)], cl une loriiiiile analogue avec des cosinus. On en conclut
[c°.(.'Pî:)]
en appelant s une constante qui sera le paramètre ponctuel de l'élément M* . Cet élément aurait aussi un paramètre tangentiel^, en considérant q Iropes de l'élénteiit.
L'éléiiieiil iM'u a un pLirauiùlre taiij;eiiLiel 13, l'iiyiiciespaue M," a lia paramètre ponctuel m. Un point a un paramètre tangenliel, un trope a un paramètre ponctuel. Le paramètre ponctuel d'un rayon a été désigné par 9; le paramètre tangentiel d'un axe a éti^ désigné par 0,
Si l'on écrit
on voit que la l'onction ponctueUe de p points dans un élément M*, reJHtivement à la corrélation étudiée, est égale (n° 78) à la fonction ponctuelle relative à une correspondance par polaires réciproques dont i'équationneile double serait S, divisée par le sinus du paramètre ponctuel de l'élément M*. De même, etc.
On trouverait sans doute pour coss) une formule analogue à celle du n" 79 pour cos9.
[J'ajouterai ceci, en considérant une corrélation générale dans l'espace réel . Soil un tétraèdre ABCD ; apjielons a le point dont le plan transformé est BCD, ^ le point du plan BCD dont le plan transformé passe par CD, y le point du ravon CD dont le plan transformé passe en D; appelons a' le jjoiiit dont le plan polaire par rapport à S (quadrique des points doubles de la corrélation) est BCD, ^' !e point du plan BCD dont le plan polaire par rapport à S passe par CD; les droites A.a et Aa' percent le plan BCD en T et I', les droites Bp et B^' rencontrent CD en J et J'; la droite cca' coupe le plan BCD en I", ta droite p^' coupe CD en J". On a ( n" 109)
<î(A,li,C, D)=. T{C,D) x(li,CD)x(A, BGD),
ou bien (n" 07, etc.)
aC.\, li, G, D) = 3(C, D ) X t(B, J) X a(A, I) = ^^ X ^^ X '-^. siii-fD sinJiJ sinal
Or, dans la correspondance par polaires réciproques dont S est la quadrique double, on a (n" 128, etc.) pour le dernier rapport
^inAÏ" sinÂïsin(A[,BCD) sinÂT jin^ ~ siii"7isin(al, BCD) ~ MnïH"'
parce que W el al" passent en y': et une lelation analogue pour
Je second rapport; on en conclut
comme ie numérateur du secoild membre est la fonclion ponctuelle 5 du téti'aèdre relative à la correspond an ce par polaires réci proqucs dont S est k quadrirjiie double, on a
sino = sir)YDsiLilïrsin5y
ou bien, puisque y et 1> sont conjugués, ainsi que [i et J", i. et I"
ant par fi" le paramètre du rajon CD, par 0' le paramètre tj'on |3^', par 9 le paramètre du rayon ax'. On peut présenter
il ainsi de suite.
Si le tétraèdre ABCD est oS^Xi, dans lequel a dé2)end de 3 paamètres, °i dépend de deux paramètres, et y dépend d'un paraiièlrc, on a d'abord
Y(Da) -f(Dp) -fCDy) ,
d'où il résulte immédiatement que sino est la l'onetion ponctuelle du tétraèdre a^yD relative à la quadrique S; on retrouve ainsi la formule donnée pins haut.
Celte formule montre que le rapport étudié ici restera le même si l'on chang'e le point A; on eu conclut qu'il est le même pour deux tétraèdres quelconques.
On aurait pu adopter pour celte démonstration la mélliode de proche en proclie, en passant du paramètre ponctuel d'un rayon au paramètre ponctuel d'un plan, et de celui-ci au paramètre ponctuel de l'espace. J
