CHAPITRE VI

ll^^■ERSECïlO^'s, etc.

91 . Intersection de deux éléments; question corrélative. — Soient deux élémeiUs M^M*, p^r^-, kÊ</; le plus peLil des quatre indices est/> ou x, et nous aurons trois cas :

i" Les deuii. liléments sout associables, p-\--!z^ n, y.-\-g := n : ils n'ont en général ni point commun, ni trope commun ;

2" On a /» + t: < /i, et soit p -]- t: = n — m : les deux éléments ont un élément M" ^j circonscrit commun, et n'ont pas de point

Oa a y. + q<n

, et sait x.-{- q =z

w : les deux éléments

un élément M^^'^

' inscrit commun.

et r

l'ont pas de trope cir-

crit commun.

On peut dire que deux éléments forment un sjstème de première espèce lorsque le nombre des points nécessaires pour les définir est inférieur ou égala n :/) + itgn; ils n'ont pas de point commun etsonlen général dans un élément Mp^^.- Deiis éléments forment un sjstème de seconde espèce lorsque le nombre des tropes nécessaires pour les définir est inférieur ou égal à n : n -i- q^n; ils n'ont pas de trope circonscrit commun et passent par un élément M^+î. Deus éléments associables sont à la fois de première et de seconde espèce.

92. Élément d'espèce donnée inscrit ou circonscrit à deux éléments : nombre de conditions. — On a trois cas :

1" Deux élémenls associables qui ont un M^,p inscrit commun ont un M''"'' circooseril commun ;

2" Si les deux éléments M^jM", p<,y. ont un M,,p inscrit

3" Si les deux, éléments M^ M", x </>, ont un M* "'' circonscrit commun, k^P^o, ils ont un Mp[. inscrit commun.

On peut former ie 'J'aLIeriu

Mu yÇZv M^, Âpi~3P^' M";

dans le [ireioier cas, les deux intervalles extrêmes sont égaux, etc Ou peut donner cette classification :

M,, -pincer Mn-i'circon

°Tr„,.„

.•ISO),

(En

>articulierM2k

enlique

Point ccmm Trope com

\550ciaLion

un (nMM).

Poil Trop

t d'un élément ( e d'un élément (

cialion d'un point

nM7),

eld'unl

■ope{

lieux élém

cncry

Le nombre des positions relatives que peuvent occuper deux éléments M^M^, au point de vue des points et des tropes qu'ils peuvent avoir en commun, est le plus peiit des quatre indices augmenté de i , c'est-à-dire y? + i ou x + i .

93, L'ordre des deux éléments étant M' M*, on a rattaché l'élément inscrit commun à M^ en l'écrivant M^.,,, et l'élément circonscrit commun à M^en l'écrivant M''"''. Si l'on fait le contraire, on désignera l'élément inscrit par M^q, l'élément circonscrit par M"-«; on aura d'ailleurs

le nombre o étant déterminé par l'intervalle qui sépare les deux éléments donnés dans le Tableau du n" 92, et les conditions ^P^o donneront

94. Si l'on appelle Mp et M-^ l'élément ln-;criL coinini ment cii'coDscrit commun, on a

ît les deux éléments donnés seront MplJ.^ etMpJy; on a Mû Mo+i^ Mjtn M".

Cette notation est bonne lorsque p et w sont donnés. Par exemple, le nombre des conditions nécessaires pour l'existence des éléments Mp et M" est po-,

9o. Conditioas. — Soient deux éléments M|, MJ cjiii ont un élément Mp inscrit commun : si l'on considère un élément M,, ^, inscrit à M^, cet élément et l'élément Mp ont un élément Mp.,.,. circonscrit commim, et ont par suite un point Mi commun; ce point étant dans Mp se trouve dans Mj^ et appartient par suite à tout élément M^"^' circonscrit à M^ : il en résidteque tout élément Mp+, inscrit à M-J et tout élément M**"^' circonscrit à M^ sont associés; ou encore, un élément Mi.+, défini par P + i points de M^ et un élément M''"^' défini par P + i tropes de M5J sont associés. Alors, dans la matrice à laquelle donnent lieu les A des points M qui définissent M' et des tropes [a qui définissent M*, tous les déterminants d'ordre P -+- i sont nuls.

De même, dans la matrice à laquelle donnent lien les A des points art qui définissent MJ et des tropes /n qui définissent M^, tous les déterminants d'ordre Q -+- 1 sont nuls.

On trouvera au n" 120 les relations entre les coordonnées de deux éléments M.J, M^ qui ont Mp inscrit commun.

96. Conjugaisons. — Étant donnés deux éléments M^ M^, sans supposer ici /><;■::, si l'on considère la suite L^M^MJIS^, on

pourrait étudîerla position des deux premiers éléments ou celle des deux derniers qui sont leurs transformés; on aurait à considérer également les deux éléments dans l'ordre inverse, avec la suite LP M^M* N;. En résumé, on aurait à étudier U position de l'un

dos cléments donnés par rapport au primiti{ on au U'ansloriiié de l'autre. Je ne ferai que signaler celte étude.

J'ajouterai seulement ceci : pour deux éléments formant un système de seconde espèce, ^ + x^/i, dans la suite LJM^MJ^Npe premier élément peut être inscrit au second, auquel cas le quatrième élément est inscrit au troisième ; nous dirons alors que M^ etMn sont pleinement conjugués àe seconde espèce; îeFde deux IropesmetyL appartenant aux deux éléments est nul. De même, etc.

ClIAniRE YII.

ÉQUATION AL:\ \' l'IUNCIPA

On nonsidèro, dans ce Clia|jilre, deivs éléments quelconques M^MJ; deux points seront M et ;)rLj deux LrO|jes sci'ont m et [T., un point et un trope seront M et [i..

97. Le A d'un point et d'un trope. — Soient ini point M et un trope |J. dirigés :

1° Considérons la suite ^[j-M Jb dans laquelle / et iïb sont dirigés, et oii ]A est avant M :1e rayonMSÎi oir R rencontre le trope ^ en un point iJR- que nous dirigerons à volonté, et l'on a, comme au n" 76, ti-ois points 311.M Jt dont les deux extrêmes sont conjugués; si l'on dirige R d'après 3IL de façon qu'on ait i7(3IL-%):= i ou {âÎLX}— 6, le point M affecté du coefficient i est le résultant des points X et 3R. affectés des coefficients 5(,mM) et cr(i\I.)ii); en prenant les A par rapport au trope [*, ou a

i(^iM) = a(3R.M) avec <T(3R-aTi) = i;

la condition est facile à retenir en se rappelant qu'on doit avoir i{;j.3î:,) = i.

D'autre part, l'axe tu. ou A détermine avec M un trope m que nnus dirigerons à volonté; on a les trois tropes l^m, et si l'on dirige l'axe A d'après m de façon qu'on ail S( ^»j ) ^ [ ou (//",) := B, on obtient

A{nM)=S{^w) avec ^(lm) = ,.

2" En considérant la suite J^Mpi/i où M est avant jjl, le rayon ^M ou R* rencontre jjl en un point 011-', l'axe an ou A* détermine avec

.pc m', cl l'on a

Qiiand M fist sur J^3Z-, le point ;iri.* est le point ;1R, ot nous le dirigerons de la même façon. Si n — i est pair, on doit avoir <r(3ILM) = ff*(MaR.), R' est donc R dirigé en sens inverse; en même temps, si la corrélation est une correspondance par polaires réciproques, J^et X sont un même point dirigé de la même façon, etl'on a<7*(^3rL) = T{;)ll.X). Si n — i estimpair, R* est identique à R; en même temps, pour une correspondance par polaires réciproques, 4^ et X sont im même point dirigé de deux façons difi"érentes, etc.

Il est bon de remartiiier qu'on a X-(md\1)= A-(ulM); en efiet, les trois tropes l^m passant par un même axe, leurs poiùts transformés MXN sont sur un même rayon R, etc. Si l'on voulait donner le signe, il faudrait donner le sens de m. et de D\L; on pourrait, par exemple, diriger 3lî- d'après m de façon que le rayon dirigé Rfût le transformé de l'axe A.

98. Inversement, en laissant ici les signes de côté, on peut considérer la fonction ponctuelle de deux points 3-(M-JH.) comme le A de l'un des points et du trope qui passe par l'autre et par l'axe primitif du rayon M;i|L {ou par l'axe transformé); de même, on peut considérer la fonction langentielle de deux tropes comme un A. On peut remarquer que le 1 de deux points iM et ;)R. est égal au S des deux tropes m et \j. qui passent par ces points et par l'axe primitif du rayon M3R.; ce fait est facile à comprendre : en effet, si nous menons par l'axe les deux Ifopes wdi' tangents à l'équationnelle double s, leurs points transformés sont les jmints QÙ' où le rayon perce l'équationoelle S, et ces points sont ceux où les deux tropes ww' rencontrent le rayon; on comprend alors que le rapport anharmonique des quatre tropes m. [Atoio' passant par l'axe doit être égal à celui des quatre points Mailiiii' où ces tropes coupent le rayon, c'est-à-dire que le pseudo-angle des tropes m et ;j. doit être égal à la pseudo-distance des points M et;Tt.; le paramètre de l'axe ou le pseudo-angle {Im) est alors égal au paramètre du rayon qui est la pscudo-dislance des deux

points du ï-ajoii cnlre / cl m; et, finalement, le S des deux tro[jcs m et V, est égal au tr des deux points M et 311..

Observons encore qne le a de deux points peul être considéré à deux points de vue différents : on peut le considérer comme un A, et, à ce point de vue, les deux points sont comparables aux deux éléments M^MJ que nous étudierons dans ce Chapitre; on peul aussi le considérer comme une fonction ponctuelle, et alors les deux points sont un cas particulier d'un système de p points.

On comprend bien comment le y de deux points est uu i (par définition même); on a, par exemple (n"' 76 et 97, 2"),

7((Vi;)!L) = <r(aiLN) = i(;)ri.«) avec t(M.'\) = ;.

99. Extension de l'idée de perpendiculaire commune, — Oit fera d'abord la figure schématique suivante, où les éléments M^^ sont représentés par des droites ; sur la droite de la figure et en haut une droite M^, sur la gauciie en bas une droite M-, celle-ci en trait gras parce qu'elle représente un axe; une droite M^ et une droite M^ (celle-ci au-dessous) rencontrent M^ en M et OR, et déterminent avec M- deux plans m et \i. que l'on indique par un arc comme on indique un angle ; au-dessus de M* vers la droite deux droites Nj N^ rencontrent M:, en .% et N, et au-dessous de MjJ vers la gauche deux droites L^ etLJ déterminent avec M^ deux plans l et')-; enfin, à gauche de MÔ, une droite M^ en pointillé rencontre M^M^LpLJ en M'OT^'L-J^*, et à droite de M^ une droite M^ en pointillé gras détermine avec M^M^N^N^ des plans [ji,m,v,n,. Les plans représentent des l.ropes. L'axe M* est le primitif du rayon Mj ; l'autre axe est le transforme du rayon correspondant.

100. Considérons deux éléments quelconques M'J MJ^ avec l'hypothèse permise jo < TT, >:<; y : les points et les iropcs du premier seront désignés par M et m, les points et les tropes du second par 'ÙVii et y.. Soient N^ l'élément transformé de M^ et N^ l'élément transformé de M^^; les points de ces deux éléments seront désignés respectivement par ÎH et X, le point N étant transformé du trope m, etc. Il est facile de voir qu'un rayon Ma, assujetti à avoir un point commun avec chacun des quatre éléments considérés ici, est délcimiiu';. Nous désignerons par IMOILNk les

points en lesquels un de ces rajons rencuntie les quatre olciiieiits. Au lieu des éléments transformés N^Nj, on peut d'ailleurs considérer les élémenls primitifs h^, LJ ; un rayon M; peut rencontrer les deus éléments donnés et leurs éléments primitifs en des points que nous appellerons M*3TL*L'4^.

De même un axe M^, assujetti à avoir un trope commun avec chacun des quatre élémenls M^M^JL^LJ, est déterminé; et d'ailleurs, à chacun des rayons Mj obtenus précédemment correspond un axe M' qui est l'axe primitif du rayon ; nous désignerons par «([aA les tropes communs à «n de ces axes et à chacun des éléments considérés, en observant que ces tropes sont les Iropes primitifs des points NxMSUj considérés ci-dessus. Au lieu des élémenls primitifs LJL^, on peut d'ailleurs considérer les éléments transformés; un axe M^ peut avoir un trope commun avec chacun des éléments donnés ou transformés, et nous désignerons ces tropes par //j'ji'^'v'.

101. Le nombre des rayons M^ ou des axes M^ est le plus petit des quatre indices/?, ç, î:, k, c'est-à-dire/) ou k, d'après l'hypothèse faite au début. Ce fait résultera du degré de l'équation aux i^ principaux; on pourrait s'en rendre compte à l'aide de considérations analogues aux considérations d'homographie qui démontrent dans t'espace réel l'existence de deux droites rencontrant quatre droites; l'idée essentielle est que, par un point, on peut mener un seul rayon rencontrant deux éléments associables, et le cas le plus simple est celui de deux éléments de même espèce ou de deux éléments associabies. On verra comment le degré de l'équation aux A^ principaux est en harmonie avec le nombre des positions relatives que peuvent occuper les deux éléments.

Nous ferons observer que, à chaque rayon M^ doit coiTespondre un axe M'i de telle façon que l'on ait a{M3rL) = S(7kY*); ou encore, à chaque rayon M, doit correspondre un rayon M^; je n'ai pas éîucidé cette question.

102. Équation aux 4^ principaux. — Etant donnés les deux éléments Mj^Mîi, considérons les rayons M^ qui rencontrent ces deux éléments et leurs transformés, et les axes primitifs M- qui ont un Ifope commun avec ces deux éléments et leurs primitifs,

et conservons les notations précédentes : noiTs désigneroiis sons le nom de ^principaux les i des points M et des tropes jx correspondants; ce sont aussi, en laissant les signes de cûlé, les i des poicts 31L et des tropes m ; ce sont enfin les a- des couples de points M et SK, el les S des couples de tropes m et [x. Le nombre de ces A principaux est le plus petit des quatre indicesjO, q, Tt, x, c'est-à-dire le plus petit des deux indices /? et x ; nous allons chercher l'équation au carré des A principaux.

Définissons le premier élément par des points M, M,^ . . . Mf^,), et ie second par des tropes ij;' ji" . , . ; soient M un point du premier élément, [j. on trope du second : le point M affecté du coefficient i peut être regardé comme le point résultant des points M, M^ . . . affectés des coefficients k,k„ . . .; le trope w., affecté du coefficient I, peut être regardé comme le trope résultant des tropes iji' [j." . . . affectés des coefficients h' l\' . . . . Pour obtenir un rayon Mj, nous prendrons les points M et X sur MJ' Nj, et nous écrirons l'existence des points de rencontre SItetN; pour cela nous écrirons directement l'existence du point i)tV, et nous écrirons comme il suit l'existence du point N : considérant l'axe M^ primitif du rajon Ma et les tropes / el jj. primitifs des points M et 3îi, nous écrirons que l'axe ^ ]* a, avec l'élément M*, «n trope commun m dont l'existence entraîne celle du point N.

1° Écrivons que le rajon MX rencontre M^ en un jioint 311. En considérant les trois points M3lt-% on voit que le point OÎL est le point résultant du point 3t. affecté du coefficient 3-(M3it) ou — i{u.M) en prenant o-(3IL3î:.) = i et du point M affecté du coefficient r ; si l'on écrit que ce point 3lt est dans chacun des tropes [j.' y." . . . on obtient des relations dont le type est

ou enfin

>t,A(M,ti')-i-A-,A(M„ii')-+-...= i(M(i)[A-'-i-rr([iV)-H ...J.

2" Écrivons de même que l'axe l)). a un trope commun m avec l'élément M^. Si l'on considère les trois tropes Im^i., on voit que le trope m est le trope résultant de [a et / affectés des coefficients 1 elS(m[A) ou — ^ i{^M) en prenant £{^m) = i; en écrivant qu'il passe par les points M,M„... on obtient des relations dont le

f>8 ,:im-irin: vu.

tjpe est

A(,i;M,) = i(uir)i(;,\I,) .y„ A(M,rj.) = i{Mj*)y(M,M),

ou enfin

k'Si (M, ['■') + '-"H^l'/) + . . . = i(^l ;J.) L^-, + ''■■„T('"\',!^1„) +■.-"!■

L'élimjnalion des coefficients /■ entre ces deux séries de

relations donne l'équation chercitée, en posant pour abréger i = a(iVf;A) :

L i(M,n') A.r(lJ:>')J

le premier membre est un déterminant d'ordre p ~\-v.oii n — S, dont les p premières rangées se rapportent auK éléments M, . . . occupant le premier rang, les v. dernières rangées se rapportent aux éléraenis ja' , . . occupant le second rang, les p premières colonnes se rapportent à M, ..., les y. dernières colonnes se rapportent à. a' ....

L'équation écrite sous cette forme est du degré p-i-y-; mais elle ait— /> ou p—y. racines nulles selon que le plus petit des quatre indices est p ou x, en sorte qu'elle est du degré ip ou du degré ax. Dans le premier cas, si l'on divise les x dernières colonnes par A, et qu'on multiplie ensuite les p premières rangées par A, ce qui supprime précîsémcnl. les •/. — p racines nulles, l'équation prend la forme

et c'est une équation en i^ du degré yj; le terme indépendant, obtenu en faisant i^ := o, n'est pas nul, parce que le nombre des colonnes restantes dans les p premières rangées est supérieur ou au moins égal su nombre des rangées. Dans le second cas, ou obtient une équation analogue du degré x, les A^ portant sur les quantités P; mais on peut aussi garder la forme ci-dessus, en observant seulement que l'équation a alors p — v. racines nulles et en convenant de décrire le premier membre par (A')/'"''. On a ainsi l'équation aux carrés des A principaux, et l'on voit que son degré est le plus peUt des quatre indices />, q,r.^ •/..

103. On a sLipposé l'élément M^ le plus rapproché de Mo défini par des points, l'élément M^ défini par des tropes, et l'on a pris A (Mm) : c'est ce que l'on peut faire de mieux. Toutefois, on peut définir l'élément M* par des points, l'élément MJ par des tropes, et prendre i(31Lm); l'équation aux A principaux se présente alors sous une seconde forme, le premier membre étant un déterminant d'ordre T^ + q oa n -\-o : c'est une équation du degré T -f- ^, ayant q — ^ ou t: — q racines nulles, c'est-à-dire le même nombre de racines nulles que précédemment, el l'équation aux carrés des A principaux se présente avec le degré t: ou q; mais, en posant it — p^= q ^x^S, cette équation a 3 racines égales à i , et le nombre des A principaux véritables est p ou x; c'est ce que nous allons montrer.

L'éf]uation en question est (sans racines null(^s pour -rz-^q on

Si l'on remplace A^' ^jar i — (i— i^), en considérant i— A^ comme l'inconnue, il faut montrer que cette inconnue a o valeurs nulles; or, pour former un terme en (i — A^)^*"', i prenant les valeurs S, ,.,, i, on prend (i — A^)Y(ffl'L3ïïj) dans S — (termes et lemultiplicateurest un déterminant d'ordre «-1-Î qui est un mineur du déterminant ci-dessus pour A = i : je dis que tous ces déterminants sonlnuis; on va voir, en effet, que le déterminant ci-dessus, quand on y fait A = i, a tous ses mineurs d'ordre n-i-i égaux à o. Les relations qui conduisent à l'équation aux i^ sous sa forme actuelle sont

■f(jiL,;)R)

elles sont toutes vérifiées en supposant que le point 3IL est en même temps un point N transformé de m, et faisant A = i ; or, les éléments Mj et MJ ont un élément Mg inscrit commun, et les points de cet élément qui dépendent de o — i paramètres sont des points DîO et en même temps des points N : si l'on considère alors m comme le résultant des tropes m' m" . . . , -31L comme le résultant

des Lropes 31L,;)IL„ . . . , les relations ci-dessus dans lesquelles on failA^i donnent ^ + ^ ou n + S équations homogènes par rapport aux coefficients k, lesquelles doivent se réduire à n; donc, le détertninanl ci-dessus, quand on y fait i = i, a tous ses mineurs d'ordre n + i égaiis à o.

10-4. On a pris les rayons qui renconlrenl les deux éléments donnés et leurs transformés, les axes qui ont un Lrope commun avec les éléments et leurs primitifs ; on peut prendre les rayons qui rencontrent les deux éléments donnés et leurs primitifs, etc.

105, Équation aux valeurs du produit y(M31I) y(311M:) ou i— i=. — On peut définir les deux éléments M^ M^ par des points M,M„ . , . M^, 3IL,3lî.„ . . . 3\tn ; mais alors on forme une équation aux -valeurs du produit Y(M3ro) y(3ÎLM) ou i — AS M et 3lt étant les points d'appui sur les deux éléments donnés d'un rayon qui les rencontre ainsi que leurs transformés.

Les points M et 3K, étant pris sur les éléments donnés, écrivons que le rayon M 311^ rencontre les éléments transformés. Le point N considéré comme résultant de M et STU doit être conjugué des points M, M,,...; de même le point Jt doit être conjugué des points DV., Ort„ ... ; on doit donc avoir, en considérant les deux systèmes de trois points MN3il-, 3R.XM, et les points M, et 311., par exemple

'!(N3H,)y(M,M)+ s(MN)y(M,31L) = o, 5(5t,M)Y{0IL,3rc) + CT(0r^X)-r(3IL,M) = o, ou bien

Y(M3rL)-f(M,M) =Y(AÏ,3I1.), Y(3n.M)Y(3lt',0Tl.) = Y(^ï^,M):

donc enfin, en considérant le point M affecté du coefficient i comme le point résultant des points M, M,, . . . affectés des coefficients k,k„ . . ., et le point ÙiL comme le point résultant des points 31t, SIL,, . . . affectés des coefficients K,K,,..., on a

Y(M3K.)[^,-i- A-,y(M,M„) -t-...] = K,Y(M,3TL',)-HK°Y(M,;T|L.)-^,..

Y(3rL,M)[K,-(-K,Y(3lL,3R-J-l-...]- k,~!{fftL.M,) -h /r„y{3K-,M,) ^ .. .;

l'élimination des coefficients /: et des coefficients K entre les deux séries de relations ainsi obtenties donne larelation suivante, dans

EQUATION AUX i* PBINCIPAUX. 7I

laqriolie on a posé pour abréger y = y(M3R) et f = y(Ori,M) :

le premier membre est un déterminant d'ordre /) + tt.

Celte relation est du degré /> en y, du degré t: en f'> mais le premier membre est divisible par -f^ ; si l'on divise les ît dernières colonnes par ■[•', et qu'on multiplie ensuite les jO premières rangées par Y (ce qui supprime le facteur y'^), en remplaçant ff par I — i-, on obtient l'équation

cette équation donne les valeurs de la quantité i ^ A^ ; on peut encore la considérer comme étant, sons une nouvelle forme, l'équation aux i^ principaux, et elle est du degré p. Si l'on fait porter les i — i^ sur les termes y(9R-3II.), on a une équation du degré -re en i — A^ avec S racines nulles, ou du degré tï en A^ avec S racines égales à i , Remarquons encore que, dans le cas p 4- u <; n, l'ordre /> + ti du déterminant étant inférieur à n, l'équation aux I — A^ n'a pas de racine étrangère égale à i, et l'équation aux A^ n'a pas de racine nulle étrangère; mais, dans l'hypothèse /) -i-Ti;= /î + u), auquel cas l'ordre />+iî du déterminant est supérieur à n, l'équation aux i — A- renferme w racines parasites égales à I , et l'équation aux A^ a le même nombre de racines nulles étrangères.

Au lieu de définir les deux éléments par des points, on peut les définir par des tropes; on a alors un délerminant d'ordre ^-\-g, et l'équation aux i — A'^ se présente avec le degré x; si l'on a X + ^ <; n, celte équation n'a pas de racine étrangère égale à î , ou encore l'équation aux A- n'a pas de racine nulle étrangère.

106. Racines nulles dans l'équation aux A' principaux, — On a vu, au n" 92, que le nombre des positions relatives des deux éléments M^Mj^esl le plus petit des quatre indices p, q, it, it augmenté de 1, c'est-à-dire le plus petit des deux indices /> et x augmenté de i; le degré de l'équation aux carrés des A principaux est lié à ce fait.

Supposons, par exemple, jO ■< x, €l ptenoiis rôfjualion ans isous la forme (Iti u" 102, qui est la meilloiiro; nous pourrons l'écrire, en considéranL comme inconnne — 1^ en niison de fails iiUérieurs,

Au(— i2)/'H-...-i-Ap(— Aï);'-P+Ap n(— iî)"-ii'+ii-i-...+ A,,= i),

et il est facile de s'assurer que, si les deux éléments considérés ont un élément inscrit commun M^,,., l'équation aux \'' n p — V racines nulles, c'est-à-dire que l'on a

Ap^o, Ap+i=o, ..., ■ A;,^^,.

En effet, on pciil développer l'équation aux A- en produits de mineurs d'ordre /? formés avec les p premières rangées multipliés par les mineurs complémentaires d'ordre x formés avec les k dernières rangées; pour former un terme du degré jo — R ayant pour coefficient A(i, on prendra pour les p premières rangées/* — R colonnes parmi les premières et R colonnes parmi les dernières, et, par suite, pour les % dernières rangées on prendra x — R colonnes parmi les dernières et R colonnes parmi les premières; dès lors, pour que le coefficient Ap^, soit nul, ainsi que tous les coefficients suivants, il suffit que tous les déterminants d'ordre P + i soient niils dans la matrice formée avec les quantités i{M^ [x') : et c'est bien ce qui a lieu comme on l'a vu au n" 9o.

Pour P=o, l'élémentM^est inscrit à l'élément Mj^ : l'équation aux i^ a alors toutes ses racines nulles. Le coefficient Aq est essentiellement différent de o; c'est le produit du carré de la fonction ponctuelle desjo points M^M,,. , . par le carré de la fonction tangentielle des -/, tropes ^l'u." ....

Si l'on prend l'équation aux A-, soi/s l;i forme du n" 103, avec S racines étrangères égales à i,

^-Bu(— Aî)"-^-^-I!((^-L(— i^l^-l'!+ii-f-...-Hli^=o,

on verra de même que, les deux éléments ayant un élément inscrit commun M^-q, cette équation a -r. — Q racines nulles, c'està-dire que l'on a

107. Moment de deux éléments. — Nous hippelleroiis inoinciil de deux éléments J\F, M J Je produit des i principaux relatifs à ces deux éléments ; si l'on prend la première forme (n" 102) de l'équalioQ aux i^, on a, dans l'hvpolhèse p <^x.

Moi,.^ = (-.)'

[-f(,U,M,)]ir(ii';^')] ■'

et une formule analogue dans i'Ii;)'potlicse contruifc. Oji peut, d'ailleurs, calculer le carré du moment avec la seconde forme de l'équation aux i principaux donnée au n" 103, attendu que la présence de racines étrangères égales à i m; change pas le produit des racines. Et si l'on suppose que le premier élément est M" défini par les n tropes de référence, le second M^ étant défini par des points, on retrouve la formule du n" 38, en admettant que le carré du moment est égal à i. Si l'on suppose que le second élément est M," défini par les n points de référence, etc.

108. Application aux fonctions ponctuelles, etc. — Soit /» + Tt 5 n ou /» S /i . Les deux éléments étant définis par des points, reprenons l'équation aux i — A-; considérons l'équation aux i^ sous la forme qui en résulte, et. prenons le produit des i-. Nous aurons

M !- I TOrL,M,] Y(.m,.-)rL,-) J

' [V(M,M,)Jx[Y(9l1,jrt,))

Nous avons donc ce lliéorème, qui concerne la Géométrie dans un élément M^^^ : la fonction ponctuelle d'un système de points dont le nombre j5 + r. ne surpasse pas n est égale an produit de la fonction ponctuelle de p de ces points et de la fonction ponctuelle des Tc autres points, multiplié par le moment des deux éléments que ces points déterminent respectivement; les éléments M^MnMj,^n sont dirigés, et les fonctions ponctuelles ont des signes ; le moment est cehii des deux éléments dirigés M^ M^ considérés dans l'élément dirigé Mp+^; l'ordre des points dans la fonction ponctuelle des/>-f- ■;* points est celui-ci : on met d'abord les p points dans le même ordre que pour la fonction ponctuelle des p points, et ensuite les-;: poinls.,(.'C|[c rc!;le délinit le signe du mo-

inent fies doux, élémenls dans l'élément qui les cmiLleni; et il est facile de voir qu'elle ne diffère pas de la règle donnée au n" 9 du Chapitre I; il y aura seulenientà faire voir, n''lJ6, que le signe du moment est indépendant des points considérés. Quand on change l'ordre de deux éléments, ce moment est multiplié par (— 1)/"=, et, en effet, on le considère dans M^+„. Le moment des deux éléments est nul lorsqu'ils ont un point commun, auquel cas tes deux éléments sont dans un M^^^.,; la fonction ponctuelle est nulle.

On aurait un théorème analogue {Géométrie autour de M*+*) en considérant deux éléments définis par des tropes, avec l'hypothèse k4- y ^rt. Alors, quand on change l'ordre des deux éléments, le moment est multiplié par ( — i)î% parce qu'on le considère autour de ^1*+".

On peut dire que deux éléments de première espèce, n" 91, ont un moment ponctuel (Géométrie dans un élément), que deux éléments de seconde espèce ont un moment tangentiel (Géoinétrie autour d'un élément).

109. Moment d'un point et d'un élément, etc. — Pour un point M, et un élément M^, il n'y a qu'un i principal qui est le moment : on mène par ce point le rayon qui rencontre l'élément et son transformé. L'élément M^ étant défini par des tropes, la valeur de i^ est donnée par la formule du n" 102 qui renferme alors un seul i'. Si l'élément M^ est défini par des points, on a le théorème du numéro précédent avec un énoncé plus simple : la fonction ponctuelle d'un système de points, dont le nombre ne surpasse pas n, est égale à la fonction ponctuelle de ces points moins le premier, multipliée par le moment du premier point et de l'élément déterminé par les autres. Comme conséquence, prenons des points en nombre n que nous désignerons par A, B, C, D, . . . , et soit (A, B, C, ...) la fonction ponctuelle d'un certain nombre de ces points; désignons par AB le rayon défini par les points A et B, par ABC l'élément Ma défini par les points A, B, C,ctc., et soit (AB, C) le moment de l'élément AB et du point C, etc.; on a successivement