B, C, D) = (C, D)(B, CD), (A, B, C,D) = (C, D)(IS,CD)(A,KCD

Pour un élément MjJ et un Lrope M' , il y ii de même un seul i principal qui est le moment, etc.

l'IO. Moment de deui éléments associables. — ]*our deux éléments associables M'j, et M^, si l'un est délini par des |)oints et l'autre par des tropes, on a

et une formule semblable; on retrouve ainsi comme produit des A principaux la quantité appelée moment au Chapitre IV, et l'on a le théorème des déterminants de A, n" 51.

Le théorème général démontré plus haut donne la seconde propriété du moment indiquée au Chapitre IV; le moment entre à la fois dans l'expression de la fonction ponctuelle et dans l'expression de la fonction tangentielle d'un polylrnpe.

Lorsque le moment est nul, les deux éléments sont associés.

m. Cas où le moment de deux êlémenta est nul. — On peut se demander quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que le moment de deux éléments M' MJ soit égal à o, c'est-à-dire pour que l'un des A principaux soit nul. SoitjO ^x oujD-t-Tt-</i; si les éléments ont un point commun, il y a un des A principaux qui est nul et le moment est nul, mais cela fait x — jo -|- i conditions non nécessaires; pour que le moment soit nul, ou que l'un des A principaux soit nul, il faut et il suffit, d'après . l'équation aux I — i^ ou d'après le théorème qu'on en a déduit, que, dans l'élément Mp^.^ qui contient les deux éléments donnés, la fonction ponctuelle de /> + « points soit nulle, et, pour cela, il suffit que cet élément M^^.,r soit conjugué de lui-même. Par exemple, dans le cas de deux points, le moment n'est autre chose que la fonction ponctuelle, et l'on sait qu'elle est nulle si le rayon des deux points est conjugué de lui-même. Dans le cas général, il est facile d'apercevoir le A qui est nul : l'élément Mp+r; étant conjugué de lui-même, il y a dans cet élément un point qui appartient àN''+''; comme les deux éléments M^ MJ^ sont associables dans M^4.^, on comprend que par ce point passe un rayon qui rencontre M' et ÎM^; il rencontre aussi N'J et NJ, et c'est un des

rayons qui rpnooiiLrciU les éléments donnés et leurs transformés; mais ce rayon est conjugué de lui-même, car il est dans M^|.„ et son axe transformé passe par N''+'^ et, en particulier, par le point considéré plus haut; dès lors, le t (ou le A) fourni par ce rayon est égal à o.

Dans riiypolhèscx</>, on aurait un résultat analogue au pré^ cèdent.

Pour deuxéléments M» M^'.lemomentestnul s'ils sont associés.

lia. Moment d'un système d'éléments. — Soient des cléments quelconques A, B, C, D, E, mais tels que le nombre des points nécessaires pour les défiair csl tout au plus égal à « ; on peut appeler moment de ce système d'éléments l'expression

(A, B, C, D, E) = (D, E)(G, DE)(B, CDE)(A, OCDE),

DE désignant l'élément le plus simple circonscrit aux deux éléments D et E; c'est un moment ponctuel; quand les éléments donnés sont des points, on a la fonction ponctuelle. De même, soient des éléments quelconques a, b, c, d, e, mais tels que le nombre des tropes nécessaires pour les définir est tout au plus égal à K : on peut appeler moment de ce système d'éléments l'espression

(a, 0, c, d, c) — (d, e}(c, ds){ù, cde) [a, bcds).

de désignant l'élément qui est l'intersection des éléments d el e; c'est un moment tangentîel; quand les éléments donnés sont des tropes, on'a la fonction tangentieile.

On a la formule générale

(A,B, C, D, E) = {A, lî,G)(n. IC)(AliC,DE),

qui donnerait lieu à un grand nombre de conséquences; on en conclut, en particulier, qu'on peut changer l'oi-dre des éléments sans changer la valeur absolue du moment. Quant au signe, la définition montre que, si l'on échange les deux derniers éléments D et E, le moment est multiplié par ' .' ' ; la formule montre ensuite que, si l'on échange deux éh'nienfs consécullfs B cl C, ]imoment e;il uuiliiplié P*ii' (Tr'-jïy

113. Équation aux i^ principaux en fonction des coordonnées- — Les deux éléments M* MjJ étant définis par des points, si l'on prend l'équation aux i — i=, elle donne facilement

si l'on fait poiier les i — A- sur les termes y(0JI3H) on obtient l'équation sous une autre forme avec 3 racines parasites égales à 1. Pour p^Vi on p + r:^n, l'équalion n'a pas de racine nulle étrangère ; pour /) -|- t: = " + to, il faut diviser le premier membre paf(A>)».

Ponr ramener le terme du plus haut degré en ( — A-) à avoir pour coefficient l'unité, il faut diviser par u^i?'^, en désignant par <j et ff' les fonctions ponctuelles des deux systèmes de points; et alors le coefficient du terme en ( — i-)""", R£Ç, est une somme de produits dont l'un s'obtient comme il suit. On prend des indices fixes en nombre p — R, des indices fixes en nombre x — R, ces deux séries d'indices pouvant avoir des indices communs en nombre 6; nous désignerons ces indices communs par g ■ ■ ■ g '■ les premiers indices seront/ . . . fg ... ^, le nombre des /étant p — R — S, les seconds indices seront h ... kg ... j^, le nombre des Aétant/. — R — S; eu posant

il reste des indic par i ... ij ... ^ en nombre S + 6

'S en nombre R -f- S + 9, que nous désignerons , les indices i étanl en nombre R et les indices^ ; pour abréger, nous désignerons les suites d'indices f ... g ... h ... i ...j ... -psr FGHIJ, et le nombre de ces indices est donne )>ar le Tableau suivant :

- R — lî S -(

L'un des l'acleiirs du jiroduil, donné jiar Je déterminant e^t alors

les indices étant dans l'ordre naturel; le ^ est relatif aux différents groupes de R indices i que peuvent donner les R + S + 9 indices IJ; les fonctions tangentielles sont relatives à la figure de référence. L'antre facteur est analogue : les x et les ^ sont remplacés par des u et des u, les S sont remplacés par des t; mais chaque terme est divisé par un produit de h qui est d'ailleurs le même pour tous, et qu'on peut remplacer par la quantité

SfC Sf[J X UFC "KU X ïy ï^jjo-

Or, d'après le n" 9, où l'on écliange F et H cl où l'on prend pour indices J d'une part GI d'autre part G, on a

on a encore

(— iJ'-iJufciofj ïjFGr.FJ —(— r)"'"ŒKGŒnj'''iF«,FiJ,

et, dans cette formule, en définissant les ■t\ du polj'trope P comme ceux du polytrope P, on peut souligner les 'r, en mettant en haut les indices qui sont en bas.

Alors, le terme considéré plus haut, et qui est un terme du coefficient de ( — 4^)'''", a pour valeur

^ .^ICI.tJ ^ ,)fl.l,fj ■

' sont les moments réduits des éléments de référence i se rapportent les coordonnées qui figurent en numéraaurait pu écrire, par analogie avec la formule do a" o5,

V ^ll"' „FGI

ensuite varier les indices fixes, et l'on obtient des termes

do difl'iiiTJitRs espèces d'après le nombre 9 des indices g- (voir un exum|)ie au n" 120). Ces termes se simplifient pour =i o.

m. Pour p^K, l'équation précédente est bonne; ponr jO^x, il faut diviser le premier membre par { — A^)/""^, ce qui remplace ( — i^)''"" par { — i-)^^"; c'est donc Tiin ou l'autre selon qu'on a /) + Tt5« ou X + YÏ"- Si l'on suppose les deux éléments définis par des iropes, l'éqnation se présente avec le degré x qui est exact pour y-%p; pour y-%p, il fant diviser le premier membre par { — A^y^-p, ce qui la ramène au degré />. Les coefficients se présentent sous la mémo forme que ci-dessus; il faut, en effet, échanger les lettres ie et ^, et mettre en bas les indices qui sont en haut et réciproquement, en échangeant F et H : or cela ne change rien.

L'ordre des deux éléments étant M^MJJ, les points du premier et les tropes du second joneot des rôles analogues dans le terme obtenu à la fin du n" H3 : on a le produit a;™ Snci- Poui' deux éléments M' M', l'équation aurait une seconde forme, en échangeante et S, et cela sans racine parasite égale à i .

Si, au lieu des deux éléments M^Mj^, on considère leurs transformés ou leurs primitifs, l'équation aux A principaux est la même. On peut remarquer à ce propos que, pour passer de l'équation aux A principaux pour deux éléments Mj; M^ à l'équation relative à deux éléments MJMÇ, il faut échanger e et ^, en échangeant en même temps F et II.

lis. Expression du moment. — Pour avoir le caiTC du moment, en supposant p-{-n^n (Géométrie dans un élément), il faut faire R^p, ce qui exige 9 = o; il n'y a plus ni indices /, nî indices ^. Le nombre des indices h est x — p ou w, en faisant ^-i-îT=n — ti), et chaque système d'indices h donne pour le carré du moment un terme qui est un produit de deux facteurs : le nombre des indices i est/», le nombre des indices/ est tv, et ces indices sont pris de toutes les manières possibles parmi les ii — ai indices autres que les indices h ; les indices HIJ forment la série complète des indices i, 2, ..., n. On a pour lo carré du moment

la ^ioinme lUanl relative à Lotis lus sj-sLÈiiies de <a indices 11; la quantité ï,'"" est le moment des deux éléments de référence Â^Â^ auxquels se rapportent les coordonnées du noméraieur.

Si l'on suppose p-\-T:yn (Géométrie autour d'un élément), l'équation aux A^ a des racines nidles en nombre p —v. ei pour avoir le carré du moment il faut faire R =: x, ce qui exige 9 = o ; il n'j a plus ni indices h ni indices g. Le nombre des indices/ est/5 — X ou w en posant /j +-71=: n + w, le nombre des indices i est X, le nombre des indices y est i/, et les indices FIJ forment la série complète des indices 1 , 2, . . ., n. On a

'"^•-'ïîi;^!;'^

Il est intéressant de comparer cette formule à la précédente. On a deux éléments Mj^MjJ, avec deux cas possibles jO <;k ou y.<ip; pour déduire la formide du second cas de celle du premier cas, on échange x et Ç, et l'on met en bas les indices qui sont en liant et réciproquement avec écliange de F et il. Ce résultat se comprend Lien en supposant que, dans le second cas, les deux élémcnls sont définis par des tropes comme au \\" \\\.

Pour deux éléments associables, p -4-7:= /(, on a

les deux facteurs du second membre sont égaux et l'on icuouve lu formule du n" So qui donne un signe au moment.

HG. On peut vérifier le résultat précédent et le rendre mnémonique; on suppose p -\- -n <. n : \a relation entre les coordonnées d'un élément Mp+n conduit au moment des éléments M^ et M^, et cette méthode a l'avantage de rapprocher tous les moments pour lesquels la somme p -Y--r.a la même valeur. Considérons l'élément Mp+^ défini par les/) points M el les t: points ;)IL, c'est-à-diie l'élément Mp|„ circonscrit aux deux éléments donnés; ses coordonnées sont données par des formules dont le Ivpe est

cr désignant ici ia fonction ponctuelle lies p -+■ -re points; si l'on développe le déterminant en produits de mineurs d'ordre p multipliés par des mineurs d'ordre -n, on obtient (n" 108)

c'est une formule de Géométrie dans M^+„, la ligure de référence étant un élément M.P+^ (Chap. VIIT). On aurait de même

Si l'on se reporte alors à la relation entre Ici coordonnées de l'élément M^+n, qui est

on retrouve le résultat précédemment obtenu.

Au n" S4, dans le calcul de la relation entre les coordonnées normales de l'élément Mp^T^, on a eu recours à la formule du n° 38 qui donne t-; en écrivant ta formule sur laquelle repose le calcul du n" HîJ réduit à la recherche de 311.=, on reconnaît que les deux modes de calcul de 3IL* sont en somme identiques.

Lorsque Télémetit M,,4.T, est conjugué de lul-mcmc, on a

et cela correspond à Sli^o; la fonction ponctuelle des p + tt points est nulle.

[La méthode précédente peut être étendue. Considérons deux éléments M^ M^ pour lesquels on a /) + tc <^ n et deux autres éléments de même espèce que les premiers NJJ N^ ; on pourra calculer le produit du moment des deux éléments M par le moment des deux éléments N, multiplié par le comoment des deux éléments Mp^nNp+TT que déterminent les éléments donnés; cette expression sera nulle lorsque les deux éléments M;,^nN/,^n seront conjugués. Par exemple, dans l'espace réel, M^ et M^ peuvent être un point

t une droite.]