Considéi jioiir Ifistjuels on
. Éléiiienls M„M„
L'élément Mp^T, est alors un trope, et la données peut s'écrire soiis la forme d'un i obtient alors sous une forme simple, et coordonnées x et ^, le moment des dei que, dans l'espace réel, le carré de la
relation entre ses coorléterminant égal à o ; on en fonction des seules s éléments. C'est ainsi itance d'un point à une
droite en coordonnées tétraédri(|iies est donné par une formule
118. Moments réduits. Explication des coefficients Ap, — Lorscjuc les deux éléments M^ M^ ont en commun un élément inscrit Mj,,,, un élément circonscril M'''"^ (Géométrie autour d'un élément, dans un élément ; par exemple, droites autour d'un point dans un plan), on peut appeler moment j'érfuii le produit des A principaux qui ne sontpas nuls; le carré de cette quantité est le coefficientAp du terme en (^A^)''"'' de l'équaiion générale, les coefficients suivants étant nuls. Nous allons trouver une propriété de ce momenl.
Considérons des points en nombre /i — P =: t: — Q dont les indices seront désignés dans leur ensemble par A, des points d'indices D en nombre P, des points d'indices E en nombre Q ; nous avons deux éléments MpM^ aj'ant un élément M^p inscrit commun, un élément M"""'' circonscrit commun. Définissons une quantité a par la relation {voir le n" 9)
l'ordre des indices étant celui que la notation indique; nous allons voir que \i. est le moment réduit des deux éléments M^n M^eî considérés autour de M^ dans M^^j;- Écrivons l'identité
les indices GFIJ étant respeclivement en norabrp D, p — P — 0, Pi Q + 9;.dans la deuxième colonne du premier membre on peut remplacer les premiers Xj et les xj, par des zéros, et en développant le premier membre en produils de mineurs d'ordre/) pfir dns mineiii-s d'ordi'c it on oblicnt
PII appcluuLx'^'' nne coordonnée de l'élémenl Inscrit conmuin, et ^ii(j une coordonnée de l'élémenl circonscrit commun; c'est une formule de Géométrie autour d'un élément, dans un élément, avec une figure de référence tjni est simple dans le cas 9 = o ; la notation A, D, E est en harmonie avec la notation F, I, J. On voit déjà que i(. est indépendant des points choisis pour définir les trois éléments. On a une formule analogue avec des (/, des u, des ïj. Ecrivons alors la relation entre les coordonnées de l'élément M„p et la relalion entre les coordonnées de l'élément M""'' ;
en tenant compte des relations ci-dessus, on obtient pour jxle coefficient du terme (^A-)''"'' dans l'équatton aux i^ ; il en résulte que la quantité désignée par u. est le moment réduit.
Ce moment a nne propriété corrélative de la précédente, qu'on obtiendrait en définissant les éléments par des tropes. Au n" 9, on vérifie la concordance de ces deux propriétés pour des t, qui sont des moments réduils, à l'aide des formules du n" 6; comme celles-ci peuvent se déduire des formules des n"' 7 et 8, lesquelles ont été étendues à un poljtrope quelconque (n"* §6 et 51), la vérification peut être généralisée.
En posant/) — Piz= p, x — P =^ t, on voit que la relation entre les coordonnées d'un élément Mp, multipliée par la relation entre
les coordonnées d'un :;lômcnL M'^, conduit au monienl, rôduil des deux éléments M?^^ ^^p+Qi 4"^' 'ï"*' ^'^''' '''i '^^^ deux élénienls élaat supposés avoir nn élément Mp inscrit commun.
Le coefficient Ap de l'équation aux i^ principaux est lié à l'écriture Mp+^Mp+JJ. Ajoutons que, pour P = o, la loi g-énérale des coefficients de l'équation aux i^ prtDcipaux donne le coefficient A^ sous la forme du polynôme égal à i qui est écrit plus liaul.
Les deux éléments M^ M^ ajanl en commun un élément inscrit M i„ un élément circonscrit M""'', si l'un de ces éléments est
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usué de lui^
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le moment réduit des deux éléments considérés est alors égal à o. [On pourrait considérer deux éléments M^ M^ ajanl en commun un élément inscrit Mp.,. et un élément circonscrit M"""'", deux éléments N^ N^ ajant en commun un élément inscrit N^.,, et un élément circonscrit N''~'',et calculer le proiluildu moment réduit des deux éléments M^M^ par le moment réduit des deux éléments N^Nn, multiplié par le comoment des deux éléments inscrits M pNj^p et par le comoment des deux éléments circonscrits M'''"''IS''^''; cette expression sera nulle lorsque les deux éléments inscrits seront conjugués, et aussi lorsque les deux éléments circonscrits seront conjugués. Par exemple, dans l'espace réel, on peut considérer deux systèmes de deux droites concourantes.]
119. Pour les deux éléments de référence A,,, A^j, on vérifie facilement la relation donnée plus haut, avec Q = o.
120. Condition a pour que ^J,M^ aient Hp inscrit commun. M" circonscrit commun. — Lorsque deux élcmenls M^ MJ ont un élément M.,,. inscrit commun, w.: élément M'-""'' circonscrit commun, loos les termes du coefficient Ap . sont nuls cl l'on a
Il" nomliic des indices g étant 0, celui des indices / étant ^^(P4-i) .0^ eiceliii des indices /iétnnt x — ( P + i) — D; le nombre des indices i'est P + i, celui des indicesy estQ + i + 'i, en posant p — P =^ -s ^ — Q.
On aurait d'autres conditions qui se rattacheraienl à l'autre forme de l'éqnalion aux i^ principaux.
Si l'on fait 9 ^ o, on a les conditions les plus simples, les mêmes d'ailleurs des deux façons. Les deux éléments inscrit et circonscrit étant désignés par Mp et M"^, pour obtenir un système de conditions distinctes' en nombre p'(n" 94), il suffit de prendre les p ^ 1 indices/parmi p indices déterminés, et les t — i indices h parmi o- autres indices déterminés.
Pour on point commun, il faut faire \? ^p — 'iP+ ' =p< et il n'y a pas d'indice g; de [même, etc. En supposantjo ^ i , on retrouverait les équations ponctuelles d'un élément M^; pour x =: i on aurait les équations tang^entielles d'un élément Mj^.
