III

121. Équation aux ■(' principaux. — Etant doniiés les deux éléments M;;M^, dans cet ordre, considérons la suite LjM^M^Nj et les rayons qui rencontrent ces quatre éléments (ou les axes qui ont un trope commun avec cbacun d'eux) : si l'on veut former l'équation aux A principaux pour les deux éléments LJ Mji ou pour les deus éléments MJN", on aura précisément à considérer ces rayons. Nous donnerons à ces A le nom de f principaux pour les deux éléments M^M^ pris dans cet ordre, et nous les retrouverons plus loin à un autre point de vue. Le degré de l'équation aux y" principaux est le plus petit des quatre indices p, q, tî, x.

L'équalioD aux y^ principaux pour les deux éléments donnés est, par définition, l'équation aux A^ principaux pour les deux éléments Mj^LJJ. Or, les coordonnées (LJ, AJJ) de ce dernier élément sont les coordonnées (M55,A") de l'élément MJJ; de même, les coordonnées ^LJ, Aj^^sont les coordonnées {Mn,AJJ). Il en résulte que, si l'on re|)réiente l'équation du n" 113 poj' la uolntinn

122. Autre point de vue. — Dans ce qui siiil, jjour éviier loutc confusion entre les deux formes de l'équation aux A=, nous dirons ta forme 102 et la forme 103 : la première est relative au cas où les deux éléments que l'on considère sont définis l'un par des points et l'autre par des tropes, la seconde est relative aii cas où ces deux éléments sont définis par des points.

L'équation 103 donne les valeurs du produit Y(M3ri.)-['{3ruM) ou yy', m et 3R- étant les points d'appui sur les deux éléments donnés d'un rayon qui les rencontre ainsi que leurs transformés. On aurait d'une manière analogue l'équation qui donne les valeurs de la quantité y^ : il suffit de changer l'ordre des deux points dans les iî dernières rangées du premier déterminant; dans le second déterminant, au lieu deff on a y*, et l'ordre des points est changé dans les tc dernières rangées. Or, les deux éléments M^L^ étant alors définis le premier par des points et le second par des tropes, si on leur applique la méthode 102 pour former leur équation aux A principaux, on reconnaît que les A obtenus sont égaux aux y que l'on vient de considérer : en sorte que les quantités désignées au n" 121 sous le nom de y principaux sont les quantités y{M3lt'). [On en conclut que si l'on considère les éléments L!J M' Mn N|J N", à chaque rayon qui rencontre les quatre premiers répond un rajon qui rencontre les quatre derniers.]

123. Comoment de deux éléments. — Le comoment de deux éléments MJ.MJ pris dans cet ordre, ou le moment des deux éléments L"M^ est le produit des y principaux; pour deux éléments de même espèce le comoment est naturellement identique au comoment défini au Chapitre fV.

Ajoutons ici que l'équalion aux y- [)rincipauK peut avoir des racines nulles; on aurait à [-éprendre l'idée indiquée aii n" 9G.

124. Moment de deux éléments pleinement conjugués; etc. — Considérons deux éléments M ^ Sl^ formant un système de première espèce, /> + ît < ", et supposons que ces deux cléments sont plei-

nemeiit conjugués (n''96); dans S'éqiiation du n" lOo, les valeurs du produit ■ff' sont nulles, et tous les A^ sont égaux à i comme on le verrait d'ailleurs directement. De même, etc. En particulier, le carré du moment (ponctuel ou tangentîel) de deux éléments pleinement conjugués (de première ou de seconde espèce)est égal à 1.

Il en résulte que le carré du comomcHt de deux éléments dont l'uu est inscrit à l'autre est égal à i .

1!^. Équation aux f-;' ou aux i — i*. — Le n" 122 amène un rapprochement entre les équations 102 et lOS. Il importe avant tout de mettre en évidence le fait suivant : si dans l'équation 102 on remplace A^ par i ^ — (i — A'^), on a une équation que l'on doit considérer comme donnant les valeurs de la quantité i — A*; l'équation lOo dans laquelle on a remplacé le produit '[Y par i — A^ donne les valeurs de la quantité A^; on a ainsi deux équations dont les racines sont complémentaires par rapport à i : l'équation 102 ou équation aux i — A^, l'équation lOo ou équation aux A^ ; l'équation i02 est donnée par un déterminant d'ordre /y-l-x, l'équation lOo est donnée par un déterminant d'ordre /? + t:; et la première peut être développée d'une façon analogue à ce qui a été fait pour la seconde au n" 113.

Or il y a de même une équation aux i — y- et une équation auxy^ : aun" 122, on a formé l'équation aux i ~ y^ [on a appliqué en effet la méthode 102 et il faut remplacer y^ par i — ( i — Y^)]^ et l'on a rattaché cette équation à l'équation 103 qui est l'équation aux A^ ou aiTx i — yy' ; en sorte que l'équation aux i — y^ est liée à l'équation aus A-. Inversement, l'équation aux i — A' ou aux yy' est liée à l'équation aux y- ; cette dernière a été écrite au n" 121 , et l'équation aus i — A- peut s'écrire

y;;f[,-v,(-,)™.H^,jUj^l = <..

[Dans le cas d'une correspondance par polaires réciproques, l'équation aux yy' est identique à l'équation aux y^.]

En résumé, on a une équation aux i — A^ et une équation aux A-, une équation aux i — y* et une équation aux ys ; l'équation aux L — A^, étant une équation auxy-;'', rappelle- par sa fo.rm,e

réc|iiatJon aux y-, lanilts t|ue réquation aux A-, (Hanl une équalion aux 1 — yy', rappelle par sa foriiie l'équation aux i — y^-

L'équaûon aux i- et l'équation ans i — i^ sont réciproques. Pour passer de la première à la seconde, il faut remplacer la fonction f^,j^ par la fonction f^'^-, remplacer A^ par i ~- 4^, remplacer Ç"'^par {— i)'«5(^et?''^par ^'^.

126. Exemple. — Nous vérifierons l'équation ci-dessus dans un cas particulier. Considérons deux droites MjSïla dans l'espace réel, et formons l'éqiiatîon aux A principaux pour une corrélation donnée, le tétraèdre de référence étant indifféremment la.Vi ou ABCD. Les quantités i\ des n°= H3 et 9 sont des moments de corrélation relatifs aux arêtes du tétraèdre de référence prises deux à deux, les deux arêtes considéi'ées pouvant être associées ou opposées; on a par exemple, eu mettant les éléments dans l'ordre qui supprime les signes en évidence,

S(c,ft)2(c,«)r,'^V" = i:(c,6,a), i(D, A) <t(D, B) v,D«,nB = !t(D, A, B),

et la quantité 't^fm est le moment réduit des deux arêtes DHet DA. Le premier terme de l'équation est A'. Dans le terme en — A^, le nombre des indices de chaque espèce est donné par le Tableau

elll faut faire successivement Ù ^ o, =^ [ . J-,e terjne îndépendai est le carré du moment. On a l'équation

Lorsque les deux droites sont associées, le terme indépendant de celte équation est nul. Lorsque les deux droites sont identiques, le coefficient de A* est nul, chaque terme étant nul : les termes de

a scuoLide ligne sont nuis par la relation entre les coordonnées

homogènes d'une droite, les termes de la première lign<

parce que, dans le cas général, on peut les écrire sous la forme

On remarque alors que, dans le cas de dea\ droites identiques, on a encore — ^^^^ — ^— = o, el l'on est conduit à introduire de nouveaux termes dans le coefficient de i^, en les détruisant par d'autres. Or, si l'on considère les termes de la seconde ligne dans ce coefficient, el qu'on en retranche le terme indépendant de l'équation (en se réservant de l'ajouter ensuite), il reste après réduction trois termes de la forme

Remarquons maintenant que les termes de la première ligne dans le coefficient de A- peuvent être écrits autrement. Etant ■ donnés deux éléments M* M', lorsqu'on cherche dans l'équation aux A* la partie du coefficient de (— A^}p~' qui répond à () = o, il faut faire R =; S ^ i , et l'un des termes est de la forme (début du n» H3)

hf ...hfh^.hj ...M h'en transformant le dénominateur d'après des formules données au n" 8, on ohiient

[On peut voir, à ce propos, ce que devient la formule du n" 118 pour deux éléments M^ qui ont Mp, inscrit commun. M?"' circonscrit commun, en faisant 6^0; on a alors des indices f en nombre p — i , des indices h en nombre cj — i^ il reste deux indices i et j, et l'on a la formule

I arfi x^i 1 i^ ' =1 ^K,- ^r; I

qui rentre dans le théorème des détcrrairianis d

Les premiers lernies du coefficient de i^ deviennent

;t l'on aurait pu les écrire ainsi immédiatement. On est alors conduit à mettre l'équation aux A- sous la forme

Dans cette éqiiation, le fait que les deux droites jouent le même rôle est en évidence, ce qui n'avait pas lieu avec la première forme, l'une étant alors considérée au point de vue ponctuel et l'autre au point de vue tangentiel. Cette équation offre d'ailleurs un intérêt particulier comme étant relative à deux droites dans l'espace réel.

Si l'on pose maintenant ~ ^= A''^, on obtient l'équation

i^i — A)— i^(i — i')(A — li)-i-]i(i — i-^)==o:

pour 15 =;o on a une valeur nulle de A, pour B ^ o, A ^ o on a deux valeurs nulles de i; pour A. ^ i on a une valeur nulle de 1 — A^; pour A = i,13= i on a deux valems milles de i — A-, On est ainsi conduit à poser

et l'équalion aux valeurs de i — A- prend la forme (,„A')'-(i-iî)(A'+R') + B'=o.

Or, dans le cas actuel, les deux fonctions f^^^- et f^lf sont idcn-

(l(jucs; <in doit (!onc avoir d'après le n" 123

011 s'en assure facilement en mettant A sous la forme d'un délerminanl qui est i — B', et A' sous la forme d'un déterminant qui est I — B.

Si l'on remplace i — A- par yy*, on voit que le coefficient B' doit être le produit des comoments des deux droites, prises successivement dans l'ordre M^aHaetdans l'ordre SR^Ms; c'est bien ce qui a lieu.

Si l'on reprend l'équation aux valeurs de k- donnée plus haut, en posant A — B =: A' — B'^=C, on peut l'écrire sous la forme B'/c'— CA2-(-B = o.

En conservant seulement les coeificients B et B' un a encore l'équation très simple

On remarquera que l'équation ans i- pour àcu\ drc l'espace réel peut s'écrire

((Mî,01U)) I