A,BG) = (A,B}(AB,BC
en désignant par Ali l'élément circonscrit défini par A et H; avec le second énoncé, si l'on considère trois éléments a, b,c, .... On peut voir dan.s l'espace réel le cas jD zz^ 2, a ^ i.
Pour démontrer ce théorème, observons que les deux éléments M''M^ sont deux éléments opposés d'un poljtrope dont MaCt MP font également partie; et faisons d'abord la remarque suivante qui rentre dans une remarque plus générale faite au n" 118, mais qui est indépendante de la notion du moment réduit : les premières formules du n*" 6 peuvent se déduire, comme on l'a dit au n" 8, des formules des n"' 7 et 8; comme celles-ci ont été étendues à un poljtrope quelconque (n"* ^6 et 51 ), les premièresïormuies du n" 6 sont également générales; alors, comme les formules i" et 2" du
9i CIIAPITBR VII.
n" 9 ont élé généralisées (n" 108), les formules 2" du 11" 9 étendîtes au cas d'an poljtrope i:|iielconque peuvent être transformées,
comme on a dit, en des formules contenant des c. Cela posé, désignons par ff^ la fonction ponctuelle des a points qui définissent Ma, etc. ; nous aurons, comino pour le prototype de référence
(,)(!,it /"''■' =ai,,+^i\]„):
en multipliant, on obtient ce qu'on cherclie. La démonstration, fondée sur les formules T''et 3° du n"9, se rapporte à la forme
(MP Mp) = ( M*' M„)(M? M„).
On peut suivre le raisonnemenit sur un tétraèdre en supposant cj = p,p = i, a = i, p = i.
[l'ius généralement on aurait par les formules du n" -118, pour deux éléments MpM^, avec M^ inscrit dans M,,,
( lM„ m,,) = (M„ Ma)(M^+a M,,) ;
c'est une formule de Géométrie dans M^,^^. De même, etc.
On tire de là une conséquence que j'indiquerai seulement pour le cas de l'espace réel. Étant donnés un point M et un plan m, prenons dans le plan un point A qui détermine avec M une droite 7,, et menons par A dans le plan m une droite a' qui détermine avec a un plan a; nous aurons
{•S\m) = {y\\){^,/){am).\ l'29. Si l'on écrit
(iM„^,M„) =
(M, Ma,
on voitque le moment de deux éléments définis parun nombre de points supérieur à n est égal au moment d'un élément inscrit à
rim avec l"aiUrc, divisû par le inomenLcIe ccl élément irisciil et de l'élément r|tii est l'intersection des deux cléments donnés. De même, etc.
130. Voici une application du théorème des quatre élémenls. Considérons pour plus de simplicité l'hyperespace M* et le polytrope dont les sommets sont A, B,C, D,E et les faces a,b,c,d,e. On a
a = (AIÎCDTî) = ix(D,E)x(C,DE)x (B, CDE) X (A,]3CDE), (edcba) = -ix (6, a) x lc,/ja) X (d,cOa) x(>;,dcba),
OU, en multipliant par ( — ,^1+2+^+4
S = (a&crfe)=ix («,6)x(a6,c)x(rtic,£/)x(flic^;,e);
en multipliant ces deux formules on a
■TS = [fA,BCDE) xi][(B,CDE)x(n,&)][(C,DE)x(oi',t)]...
jS = (A,«)(,B,é)(C,c).,,, formule déjà obtenue.
13i. On peut transformer le théorème des quatre éléments. On fera la figure schématique suivante qui répond h ii=^4-, Ç^^'i p = 3, a;=i, p:=2 :un plan M^, un point Mp, un point Ma dans Mj,, une droite MP passant par Ma et Mp; un plan N" perpendiculaire à MP, et le point d'intersection ïp de MP avec N^; un plan Hp perpendiculaire à MP en Ma. (On peut faire une figure analogue sur la sphère, avec n^=3, c/=^ i,/jziz:a, ar^i, p = i; Ma est le pôle de N«, Ip est le pôle de H^,. )
On aura d'abord les cas particuliers suivants du théorème (deuxième énoncé) :
i" Considérons deux cléments H^ I'' dont le second est transformé du premier : leur moment est 1 . En prenant AIq dans le premier, les deux éléments Hy,MP sont pleinement conjugués de seconde espèce, cl leur moment tangentiel a pour carré i ; les deux éléments Ma Ip sont pleinement conjugués de première espèce, et leur moment ponctuel a pour carré i; comme le produit des moments est 1, ils sont de même signe, et l'on a simultanément
aiiloiir de M^ ul. dans M'fi
(HpMP)=-s, (M-( !'') = £,
en désignanl. par s ["iiriité alfeclée d'un signe.
a" Considérons deu-Â élémenls H^Mp; on mène par le second un élément M? pleinement conjugué du premier (deuxième espèce) c'est-à-dire passant par I,,, et qui coirpe le premier suivant Mal- le carré du moment taTigenlicl (H^MP) est égal à i , et l'on a simultanément
(H,, Mfl) = ;, (M,|i'; = :; on !. alors
(H,,M;')= E(MaM;').
3° Considérons deux éléments M^l^; on prend dans le premier un élément Ma pleinement conjugué du second (première espèce), c'est-à-dire <]ui soitdaos H,, primilifde I'' ou dont le transformé N" passe par Ip; il détermine avec 1'' un élément M0 ; le carré du moment ponctuel (MhI^) est égal à i , et l'on a simultanément
on a alors
Cela posé, reprenons les deux élémenls M^ Mp (deuxième énoncé), avec M^ dans le premier, MP passant par le second, MP passant aussi par M^; si nous prenons ]\=' transformé de M», son intersection 1/" avec MP, et le primitif Hp de Ip, nous avons un second élément H^ passant par Ma, un second élément iP situé dans M3, et celui-ci est le transformé du précédent; H^est pleinement conjiigué de MP, iP est pleinement conjugué de M^; nous avons d'abord
{M;,Mc) = (iM;,M3)(M,Mi');
or, puisque Ip est transformé de H^,, on a simultanément
(H;,MP)===:, iMy,]i')=^i:
on 11 alors |iar la formule ci-dessus
(M,,lP) = î(M^Mf*),
i formule devient
(Mj,MP) = (M„lP)(H„Mi').
Il n'y a cjiio ilcs inonieiiLs d'élemenls associables. On a encore
(>IpM„) = ((MM;'))(I''M,,).
Nous donnerons une ajiplicaLÎon pour g^i. a; refait la figure scliémaLÎque en remplaçant Mp par [j., MP par R, Ip par M, Ma par L et Hp par /, on a les et M, avec un point L de l'axe {({>■) qui délermint rayon K; on a alors
Si l'on
par M,,
. A(/M,) = ô(LM,),
et la première formule est une formule du n" 97 en l'iiisanl s =^ i ; on a ensuite les formules du n" 102
i(|iM,)= A([xM) A(m,).
i(M,;j.) -- v(.'\i,nr)A(M,u).
132. Corollaire du théorème des quatre éléments. — Sur la figure schématique du n" 131 , on ajoutera en pointillé une perpendiculaire à Mp menée de Mp et coupant N^ en Wp. (On peut, sur la figure sphérîque, ajouter en pointillé un grand cercle perpendiculaire à Mp, etc.) On a deux éléments de même espèce M^Np par lesquels passent deux éléments MPN"{a+p=:^) pleinement conjugués de seconde espèce (l'un détermine l'autre), se coupant stiivant J/"; les formules du théorème précédent donnent
({M''Npj) = ((M''Na))((MPN(')), ((MPNP)) = ((MJ'Ic))((I"N/'))-
On aurait un corollaire corrélatif.
Nous donnerons une application (n" lOo) pour p = n — i, a ^ I . Si l'on refait la figure schématique en remplaçant M/'I^'N'' par M,M91L, on a deux points M, et OÏL par lesquels passent un rayon R et un trope (le primitif de N du n" 105) pleinement conji.it' rii^s, se coupant en M; on a alors
1)8 CIllPETltK VU.
[La formule do n" 103 centre encore dans ceci: Pour Irois points ABC, eti appelant i et c les deux rayons AC et AB, on a
lT(AA, T(AB)i
I y(CA) y{CB) I > ' v Al, 1 th
-KCB) = ï(GA)Y(AIi) + <i(AC)<7{AB)({i,c]);
lorsque ies deusrajons sont conjugués, leur comomenl est nul et la formule se simplifie. C'est ce qui arrive ici ; le rayon M,M étant dans M*, l'axe transformé passe par NJ et contient le point N, en sorte qu'il est associé au rayon B ; les deux rayons sont conjugués.] Oatreles ligures schématiques du début, on a une bonne représentation du corollaire en faisant ^:= 2, p =:-i,^^^i, p = i; on a deux droites M^N? par lesquelles passent deux plans conjugués MPN"se coupant suivant «ne droite 1^; pour la démonstration, le point Ma est dans MP, et par ce point passe une droite Mp primitive de Np. On peut suivre sur cette figure les relations qui traduisent le théorème et le corollaire
(MpM/0= (MpMP)(MaM'') = (M;,I/')(H^M/'), ((M''NP)) = ((M/'N«))((MPN/'}) = ((!«/• IP))((I/'N/'));
on peut d'ailleurs suivre le passage direct de la première formule à la quatrième: on a d'abord (MaM/") = ((MJ"!^)) en Géométrie dans M3; on a de plus, en considérant Ng transformé de M? (point dans N^), (MpMP} = (N/'Np) =((!/■ IVp)) en Géométrie dans N«.
133. Démonstration analytique du théorème des quatre éléments. — J'indiquerai celte démonstration sur un exemple. Considérons dans t'espace réel un trope m en un point M, un point 31idu trope, et le rayon R qui passe par M et par :ill. On a, par une formule corrélative de celle du n" H6,
J^î3--^i ^i^-^i a^ig-J^a = fif R my orona(nM16)
donc (le théorème des quatre éléments étant vrai pour le polytrope
EQUAT
de référence)
