P -H...= ^^(M3H)(IÎ

celui de ^' est (Mm) ; donc on a

(Mm)^(M,')K)(Ri7i).

[On vérifierait la formule relative au moment M^M^ (n" 128) en employant la formule dn n" H8 au lieu de celle du n° 116.]

CHAPITBE VIII.

GÉOMKTrUE AUTOUR DE M„ DANS M^

IM. Géométrie autour de Ma dans M P. — On peut considérer la Géomélrie autour d'un élément Ma, dans un élément M?, le premier élément étant inscrit an second; les'élénaenls Mn+i passant par Ma et silités dans M^ jouent le rôle du point en Géométrie générale, les éléments MP+' passant par Ma, etc., jouent le rôle du trope, et d'une manière générale on a les éléments suivants passant par Ma et situés dans MP :

Ul*'^ 1 Mtî'i'^" ■ ■ ■ W^î? ■ ■ ■ Mê+5 . . . mP+;.,,) I Mg^^;

un élément M|:Ji( et un élément M^Jy sont associables dans la Géométrie que l'on considère. Le nombre N est défini par la relation a -(- p -(- N = «, on a P + Q ^ N, et les choses se passent comme dans l'hyperespace d'indice N. On peut classer les différentes Géomé tries (a, ^) dans un Tableau à double entrée; si l'on suppose /t = y, et si l'on désigne les six éléments de l'hyperespace Mj par les lettres A, B, C, D, E, F, on a le Tableau suivant, dans lequel ou a indiqué les éléments de ehacjue Géométrie :

Les différentes Gcométries placées dans une ligne horizontale

GKOHÉTRIIÎ. -IllTOUn r> E M^; DANS M&. lt,l

onl le mômt; N, a+p (itant le même; le nombre N surpasse d'une unité le nombre des élémenLs de la Géométrie considérée : il prend les valeurs 2, 3, 4i 5, 6, -j.

13S. Polsrtrope. — Chaque Géométrie a un polytrope particulier. Pour la Géométrie autour de Ma, dans MP, le polytrope est déterminé par N éléments Ma+i ou par N éléments MP+'. Dans le Tableau suivant on a indiqué ces divers polytropes, en notant le nombre et la nature de leurs éléments ponctuels et de leurs éléments tanMnliels :

130- Moments. — Autour de Mo, dansMf, on appellera mome«i de deux éléments Ms;ÎIp, M£*n le produit des à principaux en laissant de côté les racines nulles qui sont dues à la nature même de la Géométrie que l'on considère : c'est le moment réduit. En se bornant aux couples M^+^, Mâ:|:(j', on voit par exemple que, dans le Tableau du n" 134, la colonne à gauche de celle du milieu {lue de bas en liaut) donne lieu de considérer le moment de deux éléments A et E, le moment de deux éléments B et D dans les deux cas possibles, le moment de deux éléments G et C dans les trois cas possibles; le nombre des racines nulles négligées est alors le plus petit des deux Indices a et p. On remarquera que ce Tablea\i donne ainsi une classification des moments del'hyperespace M„, comprenant tous les moments dans tous les cas pos- . sibles. Le moment des deux éléments MP, M^ dont le premier passe par le second, doit être considéré comme égal à t.

137. Comoments. — Le coniomeni de deux clcmeiiLs M„^f qui ont un Ma inscrit commun ne subit pas d'alléralion essentielle, la présence de l'élément inscrit M^ amenant simplement des facteurs i dans ta valeur du comoment; il en est de même pour le comoment de deux éléments M^'"^'^ qui ont un MP circonscrit commun.

138. Fonctions ponctuelles et tangentielles. — La fonction ponctuelle de P éléments M^+t ayant un Mq, inscrit commun est une quantité dont le carré est le déterminant des comoments de ces éléments pris deux à deux; de même, la fonction tangentieile de P éléments MP+' ajant un M? circonscrit commun etc. En particulier, dans chaque Géométrie on peut faire P = N, c'està-dire considérer ta fonction ponctuelle et la fonction tangentieile du polylrope de cette Géométrie : ces fonctions sont indiquées parle Tableau du n° 13S; et l'on doit remarquer que l'on obtient ainsi toutes les fonctions ponctuelles et toutes tes fonctions tangentielles : car si l'on prend, par exemple, P éléments Ma|.i ajani un M« inscrit rommim, ils déterminent un élément M^+p ou MP en posant a + ^ -|- P = n, et forment le poljtrope de la Géométrie autour de Ma dans M?, Géométrie dont le N est égal au nombre P

■ des éléments considérés. 11 suit de là que le Tableau du n" 13S donne une classification des fonctions ponctuelles et des fonctions tangentielles dans l'hjperespace M„; en partantde la rangée supérieure, pour descendre vers la gauclie et vers la droite, on voit que le nombre des fonctions relatives à des éléments 0, par exemple, est égal à (n — i), les unes étant des fonctions ponctuelles et les autres des fonctions tangentielles; d'où il suit que le nombre total de ces l'onclions est (n — i)^.

139. C'est ici le lieu de faire observer que chaque Géométrie comprend toutes celles que donne le Tableau réduit dont elle forme la base. Si 'l'on considère, en particulier, les différentes Géométrles placées sur les bords du Tableau, à droite et à gauche, et si l'on se reporte au second Tableau, on voit que :

Dans la Géométrie autour d'un élément B par exemple, on aura à considérer les fonctions ponctuelles 5C, 4 G, 3 G, aC; pour la Géométrie dans un élément D, ou aura à considérer les fonc-

lions langenlielles 4C, ^C, aC, celle dornière clant identique à la fonctioa poiicluelle aC qui csl d'ailleurs un moment réduit; en sorte que l'étude des dîQerentes Géométries placées sur les bords du Tableau offre une importance particulière.

En Géométrie générale, on a rencontré des formules ponctuelles de Géométrie dans M?, parce qu'on a étudié un système de points; de même, etc.

^iO. Théorème des déterminants de S, etc. — Le moment de deux éléments Mc^^.,, MP+i sera leur S. Si l'on considère autour de Ma dans MP des éléments M^^., en nombre P et des éléments MP+' en même nombre, on aura un théorème des déterminants de S analogue au théorème des déterminants de A, et donnant une propriété du moment réduit. On remarquera le cas P = N.

On aura, pour le moment de deux éléments M^j.,,, M^"^"", une seconde propriété analogue à celle du n° 56; elle a été démontrée au n" 108 pour le cas œ = o, et pour le cas ^ = o. Nous rappellerons, à ce propos, les formules des n™ 9 et 118 qui définissent les moments réduits ; lorsqu'il n'y a pas d'indice h, ou d'indice /, on a la propriété du n" 108; dans le cas général, elles sont équivalentes à des formules de Géométrie dans MP autour de M,.

l-il. Pseudo-écart; paramètre. — Dans l'espace réel on considère la dislance de deux points, l'angle de deux droites qui se coupent, le dièdre de deux plans. Dans l'hyperespace, pour l'étude de la corrélation, on a considéré la pseudo-distance de deux points, le pseudo-angle de deux tropes; on a à considérer maintenant d'autres quantités, comparables à l'angle de deux droites qui se coupent. Reprenons le Tableau du n" 13-4 et considérons la première ligne de ce Tableau, pour laquelle N=2, en modifiant la notation : si l'on prend deux éléments M', ayant un M^*', inscrit commun, et, par suite, un Mt~', circonscrit commun, on pourra définir leur pseudo-écart; on aura ainsi des quantités de différentes espèces en nombre n — i, parmi lesquelles seront la pseudodistance de deux points, le pseudo-angle de deux tropes. Si l'on considère alors, toujours pour la première ligne du Tableau, les éléments M^ qui passent par un élément M^t', et sont dans un élément M^") circonscrit iui premier, on pourra définir le para-

in6lre du sj-stèmc formé par im élément MJ,^', cL un élénieiil M^~] dont le second est circonscrit au premier; on aura ainsi des quantités de différentes espèces, en nombre n-— i , parmi lesquelles seront le paramèti-e d'un rayon et le paramètre d'un ase; dans l'espace réel, on aurait par exemple trois sortes de paramètres : le paramètre d'un rayon, le paramètre d'un point dans un plan (relatif aus droites menées par le point dans le plan), le paramètre d'un axe.

Maintenant, en Géométrie autour de Mj,tl, dans MJJ-J, les <;léments extrêmes étant M' M';^, deux éléments lA'K auront un pseudoécart, deux éléments Mj^ auront un pseudo-écart; un élément M^~] aura un paramètre qui sera le paramètre du système M^tJM^+l (le premier élément étant l'élément fixe autour duquel les figures sont construites), un élément M^:!;' aura un paramètre qui sera le paramèti'e du système MJ^:!:', M^:;:}. Par exemple, en Géométrie autour de A dans F, les éléments extrêmes étant B et E, deux éléments B auront uo pseudo-écart, deux éléments E auront un pseudo-écart; un élément G aura un paramètre qui sera le paramètre du système A, G {case B de la première rangée), un élément D aura un paramètre qui sera le paramètre du système D, F (case E de la première rangée).

[En suivant l'idée indiquée aun" 90 on a ceci : dans un élément MP, autour d'un élément Ma, il y a un paramètre ponctuel pour les éléments Ma+i passant par Ma et situés dans MP, et un paramètre tangeotiel pour les éléments MP+' situés dans M? et passant par Ma-

Par exemple, étant donnée une corrélation dans l'espace réel :

i" Un rayon a un paramètre ; un point dans un plan donne lieu à un paramètre; un axe a un paramètre. On peut dire qu'une droite a un paramètre ponctuel et un pat'amètre tangentiel. On a ainsi les paramètres 9 indiqués au début de ce numéro.

3" Un plan a un paramètre ponctuel et un paramètre tangentiel selon qu'on y considère des systèmes de trois points ou des systèmes de trois droites. Un point de l'espace a un paramètre ponctuel et un paramètre tangentiel selon que l'on considère des triodes ou des trièdres; j'appelle triode un système de trois droites concourantes dans l'espace,

3" L'espace M" aun paramètre ponctuel, l'élénient fictif M,' a un paramètre tangentiel].

112. Géométries de même indice N, — LcsciiiTcrenlesGéomfJtnes placées dans une même ligne horizontale, et pour lesqiiellesNala même valeur, donnent lieu aux mêmes formules et peuvent être inlimement rattachées. Nous poserons a + ^ ^ v, en sorte que les nombres v et N sont complémentaires par rapport à n. On fera une figure schématique formée d'un dièdre M'Mv+i, d'arête My; «ne droite IVf" rencontre les faces en M^' el M, , et sur cette droite est un point N, ; un point Ma del'arèle détermine avec M" im plan MP qui coupe les faces du dièdre suivant les droites MP"*"' Ma|.,.

Prenons un élément M^ et l'élément transformé M^; en Géométrie autour de Mv on a des éléments ponctuels ^l^^i et des élémenls tangenliels qui sont des tropesM' ; en Géométrie dans l'élément M' on a des points M, et des éléments tangentielsM^' ; d'ailleurs, les éléments Mv.,., et M' autour de My déterminent par intersection des éléments correspondants M) el M'^' dans M''. Plus généralement, soil Ma un élément inscrit dans My : cet élément et l'élé- ■ ment M^ déterminent un élément IVP circonscrit (a -(- p := v) ; la Géométrie autour de Mh, dans M3, a des éléments ponctuels Mn+i et des éléments tangentiels MP+' , que l'on peut rattacher soit aux éléments Mv+.i M' de la Géométrie autour de M„, soil aux éléments M) M^' de la Géométrie dans M^. D'ailleurs, les deux éléments Ma et MP sont quelconques (le second étant naturellement circonscrit au premier); car, si l'on se donne Ma etMP, ce dernier a un primitif M^ qui avec Ma détermine un élément M^ : et le transformé M^ passe alors par MP.

Cela posé, en Géométrie autour de Ma, dans MP, les élémenls qui remplacent le point et le trope sont les élémenls Ma^, el les élé^nents MP-*"' :i]s ont Ma inscrit commun, MP circonscrit commun, et leur moment réduit est un A unique que l'on peut appeler leur 5 : je dis que, pour un point Mj el un trope M' donnés, ce S est indépendant de l'élément M^ et même de la valeur de a; il esl égal au A du point M) et du trope M'. En effet, pour avoir le S des deux élémenls Ma^, MP"*"', il faut considérer les éléments transformés M"'''^ l^p+h prendre le rajon qui rencontre les quatre élémenls, et le 0- des deux points d'appui sur Ma+i et Mf+', Or, le point transformé du trope M' étant N,, ce rajou est MiN, : il rencontre Ma+i et MP+' ; il rencontre aussi Mp+i qui passe parN) ; il l'encontre enfin M^+i, car ton- i\e\n sont dans IMéinenlM'^ trans-

io6 ciiAPETRi: vni.

forme de M„, ot si l'on forme le Tableau

Mo Ml Ml . . . Mît+i M«, on voit que les deux éléments M^ M""*"' ayant réléinenl M" circonscrit commun ont un point M, commun. Le rajon M|N| étant identique à celui qui donne le à du point M, et du trope M', le fait annoncé se trouve démontré.

Si l'on fait a =^ o, on volt que le moment du point M, et de l'élément M""^' est égal au A du point M, et du trope M' ; cela rentre dans la formule

(Mi.Mi) = (M,.Mv+i)(Mv.Mi),

ec dernier momeiil étant égal à i parce que l'élément M^ passe au point N,. Pour p = o on a un résultat analogue. Air début du Chap. VII on a obtenu le cas particulier v ^ « — 3 ouN zn; 2 avec

143, On vieni de considérer le S des deuK éléments Ma+)MP+i ; ;ar deux éléments sont de même espèce lorsqu'on a

c'est-à-dire v = /i — a 011 N == ?.. L'élément Mv est alors un axe, son transformé est un ravon; et l'on a (première ligne du Tableau 13i, avec les notations du n" 1 W) deux éléments M^ 311^ ayant un M^*', inscrit commun, un élément M^~', circonscrit commun. Pour /> = 1 on a deux points M et Oit sur le rayon, pour y ^^ I on à les deux tropes m et [/. qui passent par l'axe et par les points M et 3[L ; et l'on a vu au n" 98 comment le a des deux points est égal au S des deux tropes, parce que le rapport anliarmonique MSILlili'est égal au rapport anhannonique /nftww'. En général, prenons dans l'axe un élément M^| , et considérons les deux élémenls M^ OiL^ définis par l'élément précédent et par les deux points M et 3IL : il est facile de voir comment le moment de ces deux éléments est égal au moment des points M et 3[L. L'élément M^itï est un élément Mp conjugué de lui-même, car il est dans M et passe par Q, d'où il résulte que son transformé passe par Û et est dans w de manière à lui être associé; il en est de même de l'élément Mp tiï; et l'on a un rapport anhannonique égal au rapport anliarmoniqucM;)rLlîli'; etc.

UÉOJIBTRIE AUTOUR HE Ma DANS MP. I07

On peut suivre le raisonnement sur une figure si;Iiématique formée de quatre plans ij>m\i.K>' passant par une droite A; une droite R coupe ces plans en ûMOliti'; un point M^, de A détermine avec R un plan Mp~' qui coiipe les quatre plans, en particulier ni et ^ suivant Mp et STLp.

lU. Étant donnés les deus cléments M^MP dont le premier est inscrit au second, la Géométrie autour de Ma dans M? peut se ramènera la Géométrie dans N* autour de Np, ces éléments étant les transformées des deux premiers, et cela de deux manières différentes ; on peut d'abord considérer les figures transformées des premières; on peut aussi couper les premières fignres par N", et joindre les figures obtenues à Np. On a un exemple dans ce fait que l'angle de denx grands cercles sur la sphère a même mesure que l'arc de grand cercle qui joint leurs pôles, ou encore même mesure que l'arc de grand cercle compris entre eux et dont les pôles sont à leurs points d'intersection.

lio. Figure de référence. — Pour étudier la Géométrie autour d'un élément Mg, diins un élément MP, on prendrait dans la figure de référence un élément M" et un élément Mp, le premier défini par les tropes d'indices FG, le second défini par les points d'indices HG, On pourrait supposer, au moins au début, 6 ^ o, c'està-dire supprimer les indices communs G : de cette façon, l'élément de référence M» passerait par Mp, et la figure de référence serait un pol)'trope de la Géométrie corrélative de celle que l'on étudie (un triangle pour la géométrie conique dans l'espace réel). On aurait pour le moment réduit la formule du u" 118, etc.; on considérerait d'abord le S de deux éléments Ma^.,, MP+' ; on démontrerait le théorème des déterminants de 3 ; etc.

\të. Les éléments Ma et MP sont dirigés. — Il est bien entendu que les éléments M^ et MP sont dirigés; par exemple, pour le théorème des quatre éléments, dans la formule

(M^îg, Mg:^) - (M^to. m5Î?"^')(mI+ï + Q' 4-|:r). OÙ l'on suppose Y -|- S = P, le premier moment est un moment autour de M^ dirigé dans MP dirigé, le second moment est un moment autour de M^ dirigé dans MP+^ dirlf,'6, etc.

Je cionncroi dans ce paragraplie un tliéorème remarquable, concernanL des éléments Ma+i qui ont un liliîmeiit Ma inscrit commun, et des éléments M"+' en même nombre qui ont un élément M" circonscrit commun; on pourra, dans t'énonce tic ce thcorème, introduire un nombre [i défini par la relaliun

iS étant le nombre des éléments considérés : mais ici les deus nombres a cl fi ne joueront plus le môme rûle. Le théorème se ratlacbe à la fonction ponctncllo du poljtrope de la Géométrie autour de Mji dans MP, et à la fonction tangenticlle du poljtrope de la Géométrie dans M" autour de Mp.

Ce théorème, qui se déduit du lliéorèmc des déterminants de S, donne lieu à un corollaire relatif au cas où le déterminant que l'on considère est égal à zéro; je donnerai d'abord ce corollaire en le démontrant directement.

147. Composition d'éléments Ma+i ayant M^ inscrit commun, d'éléments M='+' ayant M« circonscrit commun. — Soit un élément fixe Ma; les éléments ponctuels de la Géométrie autour de M„ sont des éléments M^^.!, les éléments tangentiels sont des tropes': on peut composer des éléments Ma^-i, et obtenir un théorème des momeots par rapport à un ti-ope analogue au théorème des A pour la composition des points en Géométrie générale.

[Je ferai en passant la remarque suivante qui généralise un théorème de Mécanique dû à Leibnitz. Soient deux points M^ M^, affectés de coefficients k^k^i et M leur point résultant avec le coefGcient k; considérons un élément Mai ^t '^s éléments Ma+i qui passent par Mg et par les points M,M^,M respectivement : je dis que les deux éléments M;,M, et MgM,, affectés des coefficients k, X (Ma. M,) et k„ X (M„.M„) ont pour élément résultant l'élément M„>r affecté du coefficient k X.{'^U.^^). lîn effet, on a par hvpothèsc

(M, Si) (MMJ __ (AI,M„)

OÉOMÉTBIE AUTOUIl VIE Ma DANS MP. IO9

or, d'après la relation établie à la fin du n" loi, on a

(M„.M,)(M„.M)x(MaM,.M„M) = (M,.M)x(Ma.M,M),

et des relations analogues; on peut donc, dans les rapports précé-

, I 1 - 1 .-.• (MaM,.M5M)

dents, remplacer les numérateurs parles quantités — , - ,; - ,. -- • ■•■>

ce qui démontre le fait annoncé. Ou peut alors, au lieu de deux points, en considérer un nombre quelconque. Si l'on prend maintenant un irope passant par M^, et qu'on écrive le théorème des moments pour les points considérés par rapport au trope, en évaluant les A au moyen du iLéorème des quatre éléments, on obtient le théorème des moments pour les éléments Ma^\ par rapport à un trope.]

Le théorème des moments par rapport à un trope passant par Ma peut être transformé, et l'on obtient un théorème des moments par rapport à un élément M*"*"' tout à fait quelconque. En effet, l'élément Ma et un élément M^:!:à| déterminent un trope M,,.,, et le moment de cet élément et d'un élément Mh+i passant par M^ est proportionnel, d'après le théorème des quatre éléments, au moment de l'élément Mn^, et du trope. On aura une idée juste de ce théorème, en le comparant au théorème des moments par rapport à un axe tout à fait quelconque pour des forces concourantes et leur résultante. Si l'on désigne par 3;,^„ ... les coordonnées des éléments composants pour un élément de référence M"+', la coordonnée x de l'élément résultant est donnée par la formule

Soit de même un élément fixe M" : on peut composer des éléments M""*"' situés dans cet élément fixe, etc.

[Si l'on considère plusieurs rayons issus d'un même poini O, avec des coefficients K,K„ ...,onaura un rayon résultant issu de O avec un coefficient K. D'après la formule du n° 79, le paramètre ô du ravon résultant sera lié aux paramètres 0'5" . . . des rayons composants par la formule

On peut retrouver celle formule comme il suit. Étant donné un point O. et des points M, M„. . . affectés decoefIicients/c,A„.. . avec

le polnl résultant M afFcclé du cocfficienl /-, en rcLranehant les deux formules dn n" 42 et en lenanL comple de lu forpnide du a" 79, OD a

/ca(OM)cosO = Â-,3(OM,)cosfl' + ...,

et, d'après une remarque fuite plus haut, cette formule équivaut à la formule ci-dessus.

Dans le cas de deux rayons composants OM„OM„ déterminant un élément Mj, on peut supposer qu'il s'agit de Géométrie plane, et comme alors (n" 87) le cosinus dn paramètre est proportionnel au A d'un point fixe F et du rayon, la formule ei-dessus n'est autre chose que le théorème des A].

148. Déterminants nuls. — PrenonsPélémeotsMn^., ayantunMa inscrit commun, P éléments M*"*"' a yant un M" circonscrit commun, et formons le déterminant des moments des premiers avec les seconds.

Pour P = {;( — a)-i-i, le déterminant est nul.

PourP — (« — a), le déterminant est nul si les {n — a) cléments Ma^.1 sont dans un même trope, ou si les (n — a) éléments M"+' passent par un même point.

Pour P <; (n — a) j le déterminant est nul si les P éléments Ma+) appartiennent à un élément M^+p^,, ou si les P éléments M""''' passent par un élément M^^''"~', et plus généralement si les deux éléments M„^p et M*"^'' déterminés par les deux groupes d'éléments sont associés.

En outrCj le déterminant est nul si les deux éléments &!„ et M" sont associés; car alors il existe un élément M^^, qui est associé à tous les éléments M"+' donnés, etc.

Pour P ;= 3, on peut dire : Etant donnés deux éléments M^ ayant Mp i inscrit commun et par suite M?"' circonscrit commun, et deux cléments M^ ayant M?~' circonscrit commun et par suite Mg., inscrit commun, le déterminant des moments de ces deux couples d'éléments est égal à zéro lorsque l'élément inscrit à l'un et l'élément circonscrit à l'autre sont associés. On aurait une figure schématique en considérant deux angles dans l'espace réel.

149. Avec d'autres notations, en remplaçant P par N, et défi-

nissanl ^ par la relation a+ p + N = n, on peut dire : Étant donnés N éléments Ma+, passant par un élément Ma et qui déterminent im élément M^+s «" l^^i ^^ ^ éléments M""*"' situés dans un élément M" et qui déterminent on élément M""^'* ou Mp, le déterminant des moments est nul si les deu\ éléments MP et Mp sont associés ; il est encore nul si les deux éléments Ma et M™ sont associés {mais il ne faut pas croire que a et ^ jouent ici le même rôle, sauf dans le cas N = a).

Si l'on aN + i éléments Ma+i passant par un élément Ma, et N + I éléments M"+' situés dans un élément M«, le déterminant des moments est encore nul si lesiN + i premiers éléments appartiennent à un élément M^+n ou M?, ou si les N + i derniers éléments passent par un élément M""^'* ou M3,

loO, Théorème des déterminants de moments. — On a le théorème suivant auquel on peut donner le nom de théorème des déterminants de moments, et qui se déduit du théorème des déterminants de S; pour a = o, on a le théorème des déterminants de A :

Étant donnés P éléments M^^., ayant Ma inscrit commun, et P éléments M"^' ayant M^" circonscrit commun (P^ n — a), le déterminant des moments des premiers avec les seconds a pour valeur le produit de la fonction ponctuelle des V premiers éléments par la/onction tangentielle desVderniers, multiplié par le moment des deux éléments Ma+p et M"^*" qu'ils déterminent, multiplié encore par la puissance (P — iJiémA ^^ ,„(, ment des deux éléments Ma et M".

Si l'on met les éléments M^^' les premiers, le théorème reste exact avec le signe, en plaçant également M''"^^ avantM^.^p et M" avant Ma.

Pour P ^ 2, le théorème peut s'énoncer ainsi ;

Étant donnés deux élémentsWp ayant M^i inscrit commun et par suite M*~' circonscrit commun (première rangée du Tableau 13i), deux éléments M^ ayant Mp~' circonscrit commun et par suite Mj i inscrit commun, le déterminant des moments de ces deux couples d'éléments a pour valeur le produit du moment réduit des deux premiers par le moment réduit des

PITHE '

deux derniers, mulliplié par le moment des deux éléments M^j^iMp-' et par le moment des deux éléments M?~'Mj).

On a une figure schémaLÎcjiie en ronsidéianl iieii\ angles liaiis l'espace réel.

ISl. Ce théorème se ramène au théorème des déterminants de S pour la Géométrie dans M". On veut démontrer la relation

[(Mï+i.,\If+')] ==c7.i;.(M3.+i..M=i+i')(Ma.M«)P-S

les crochets indiquant un déterminant.

On fera celte figure schématique : dans un plan M" sont deux droites M""^'M^"^' se coupant en M*"^''; d'un point extérieur Ma partent deux droites MJi + iMa+, déterminant un plan M^+p : elles coupent le plan M" en m' m" et leur plan coupe M=^ suivant m^; le reste est en pointillé : du point Ma on mène la perpendiculaire au plan M*, de son pied on mène la perpendiculaire à nip, et l'on joint le pied de cette perpendiculaire au pointMaj on fait de même pour le point M""^^, le plan Ma^p, la droite m^.

Coupons les éléments Mâ^.,.. . issus de M^ par l'élément M" qui contient les éléments M"+', et désignons par»i'. . . les points d'intersection ; nous aurons, d'après le théorème des 4 éléments :

■(Ma.

(M;,.M.Mr')-(MUi.M'^)(«.'.Mr^') = V^''-^('"'.Mf+'),

(Ma + p.M^ + P) = (Ma + r.Mï){/>i

en appelant /Wp l'élément df';fiiii par les P points m. La relation à démontrer devient

ou, d'après le théorème des déterminants de o pour les P poi et les P éléments M"^', dans M^»,

(W„.y»')ÇM.^.m" ). . .X J - J' X(Ma.7«,0,

en dcsignanl par t7' la fonction ponctucllo des P points m.

GliûMKTHlK AUIOi:H DE M^ DA^S M?. Il3

C'est donc celle dernière relalîon qu'il faut établir. Or, le second membre est le moment du système d'éléments M^m'/n" .. . (n" 112), ou le moment du système d'éléments m'm", . ,m"''Ma multiplié par ( — i^pik+i)^ ou enfio, pour plus de commodité, le moment du système d'éléments m!-^'. ..m''m'.Mci multiplié par e

en posant. = (-./'"" X (-

■i) ^ ; c'est donc

■)x(ni\M^m'm')x.

OU bien

£.(;«■. M„) X (/Jî".M,)(MamMVIam

;') X(,m'"irï)(Mïm"'.ft

ou enfin

c'est-à-dire le premier membn

; de la relation, qui

montrée.

On aurait une démoiisli'ation

! corrélative.

1S2, La relation que l'on vient d'obtenir est d'ailleurs intéressante par elle-même. Lorsque l'élément Ma est un point m, on a la formule

T étant la fonction ponctuelle du système de rayons mm.', mm", etc. ; c'est ainsi que, en Géométrie ordinaire, le sextuple du volume d'un tétraèdre ÂBCD est égal au produit des arêtes AB, AC, AD par le sinus du trii'-dre A. On aurait une formule corrélative .

[J'indiquerai en passant la formule suivante. Dans le polytropc de référence, la formule h' . . . h" = .s'nS,, donne

c'est ainsi qu'on peut avoir le carré du volume sextuplé d'un tétraèdre en fonction des aires doublées des trois faces qui ont un sommet en D et du sinus du trièdre supplémentaire du trièdre D. On aurait une formule corrélative.]

En général, si l'on prend a points A, A^ ... Ah dans M^, en multipliant les deux membres de la relation par la fonction ponctuelle de ces points, le second membi'e devient égal à la fonc-

lion j;ioiicLnolle des a -\- p points A et m, et Ton a la foriiiiil

= (Ai.A3...Aa)x(Ma.m')(MK.m")... x (Mi + ,.MÏ + , . . .

Par exemple, dans un tétraèdre AiAam'm", on a

6V = (A,.As)(AiAs.m')(A,As.m")sm(A,A,m', A,A,nt").

On peut donner une autre forme au résultat précédent et t

(A,.A5...Aa.m'."i"...)

__ (A, .A^...Aa.ni')(A|.Ai...Aa." (A,.A,...A„)''-i

Quand il y a seulement deux points m' el m", cette formule rentre dans une formule relative au moment réduit de deux éléments; on a, par exemple, pour un tétraèdre

Lorsque l'élément M^ est un point m, la formule que l'on vient d'écrire ne diffère pas de la première.

On aurait des formules corrélatives.

153. La formule donnée à la fin du n" 131 permet de ramener le théorème des déterminants de i pour p points et jD tropcs au théorème des délerminants de 3 pour^ éléments M^^.i et ^ tropes M' autour d'un élément M^ : cette réduction offre un certain intérêt, parce que le théorème auquel on ramène l'autre joue pour la Géométrie autour de M^ le rôle du théorème des déterminants de A pour n points et n tropes en Géométrie générale. Désignons les points par A, B, C, . . . , les Iropes par a, b, c, ... ; soit Mp l'élément déterminé par les points, Mp l'élément déterminé par les tropes; on veut démontrer la relation

L(«,A)] = (a.è.c.,.){A.B,C...)(Mj,.M^).

Si l'on désigne par a, p, y, ... les éléments MJ^, définis par l'élément M^ et les points A, B, C, . . -, on a, par le théorème des quatre éléments,

(a,A) = (fl,i)(M^,A),

yGoosle

GiiouÉrnij; .vlioib de M:, dans M?. ri5

et le ))remlor membre de la relation devient

[{«,«)]x(MP,A)(MP,B)...,

ou, en tenant compte du théorème des déterminants de ô pour p iropes et^ éléments M.^^., en Géométrie autour de MJ,

(a.è.c...)(c<.p.-f...)x(MP,A)(M^,B)...;

cette quantité sera égale au second membre de la relation si

(a.p.Y...)(Mj, A)(M^,B)...=(A.IB.G...)(Mp, Mp)

Or cette relation n'est autre clio^e que la relation du n" ÏM, pourP=/>eta==^.

En particulier, la formule relative au produit h' h" . . . A'/" dans un poljtrope se ramène à la formule qui joue, en Géométrie, autour deMç, le rflle de la formule relative an produit A' /*',.. h"; et l'on peut dire que la formule du o° IM est équivalente à la formule relative au produit k'h" . . . /i'/"'.

Au lieu de ramener le théorème des déterminants de i pour p points el p Iropes au théorème des déterminants de' 8 pour p éléments M^^, et p tropes M' autour de M^, on pourrait le ramener au théorème des déterminants de 3 pour p points et p éléments Mp+' dan? M".

loi. On peu! démontrer le théorème des déterminants de moments par un calcul dont je donnerai une idée. On définit l'élément Ma par a points, et l'on donne un point pour définir chacun des éléments Ma+i, de sorte qu'on a a + P points; on a de même a-t-P tropes en considérant l'élément M", etc.; on applique îe théorème des déterminants de A; on transforme le déterminant d'ordre a. + ï* par des combinaisons de colonnes de manière à faire apparaître des zéros en nombre «P distribués dans un rectangle de dimensions œ et P, ce qui met en évidence le produit d'un déterminant d'ordre a. par un déterminant d'ordre P, les termes de ce dernier éUnt d'ailleurs des déterminants. Alors, pour que le théorème soit démontré, il reste à démontrer la relation du n" 1^1 et la relation corrélative.

iîio. On peul énoncer le théorème des déterminants de mo-

menLs avec la noLalion du n" 149, en remplaçant P par N et déHnissanl p par la relation a + ^ + N :^ n ;

Étant donnés N éléments Mh^i ayant Ma inscrit commun, et des N éléments M^^' ayant M" circonscrit commun, ledéterminant des moments des premiers avec les seconds a pour valeur le produit de la fonction ponctuelle des N premiers éléments par la fonction tangentielle des N derniers, multiplié par le moment des deux éléments M? et Mg qu'ils déterminent, multiplié encore par la puissance (N — ij'^"»^ Ju moment des deux éléments Ma et M".

On peut alors classer les différents cas qui résultent de la valeur de a et de la valeur de N d'après le Tableau du n" iU; il faut seulement observer que les deux nombres a et ^ jouent ici des rôles bien différents. Par exemple, en reprenant l'hypothèse « = ^, soient quatre rayons B passant par un point A, et quatre axes E situés dans un trope F (voir le Tableau du n" 133, et remarquer que le système ^È est un système ponctuel autour de A tandis que le système 4E est un système tangentiel dans F) : le déterminant des moments a pour valeur le produit de la fonction ponctuelle des quatre éléments E par la fonction tangentielle des quatre éléments E, multiplié par le moment des deux éléments E et B qu'ils déterminent, multiplié par le cube du moment des deux éléments A et F. Dans cet exemple, la case du Tableau du n° 13S qui contient le système ponctuel 4^ est à gauche de celle qui contient le système tangentiel 4E; le contraire peut avoir lieu.

156. Casp = o. — Prenons !c cas P = n. — a ou N = /i — a, ce qui revient à Jaire P = o dans la notation précédente. Pour donner un exemple, si nous supposons n = ^, en faisant N =; 5, nous aurons à considérer cinq éléments G autour d'un rayon B, et cinq éléments D dans un axe E (voir le Tableau du n" 135); on remarque ici que, en Géométrie autour de B, le polytrope peut être défini par cinq tropes F déterminant, quatre à quatre, cinq éléments C qui sont les éléments ponctuels du polytrope : la fonction tangentielle est connue, et l'on va rencontrer la fonction ponctuelle; de même, en Géométrie dans E, le polytrope peut être défini par cinq points A déterminant, quatre à quatre, cinq éléments D qui sont les éléments tangentiels du polytrope : la fonction ponctuelle est connue, et l'on va rencontrer la fonction

GÉOMÉTRIE AUTOUR DE Ma DANS MP, II7

taDgcnlielle. D'une manifire générale, autour d'un clément Ma, le poljtrope peut être défini par N Iropes déterminant N éléments MJJ"! qui sont ses éléments ponctuels, et dont chacan est l'intersection de N — i de ces tropes ; de même, dans un élément M", le poljtrope pent être défini par N points déterminant N éléments Mgt|. Alors, dans le théorème des déterminants de moments, entrent la fonction ponctuelle a des poljtropes de la Géométrie autour de Ma, et la fonction tangentielle S du poljtrope de la Géométrie dans M"; d'autre part, M^ et Mp sont M» et Mo, et le premier moment disparaît : il reste seulement la puissance (N — i)''^'"' du moment de M„ et M«.

Alors, en appliquant le théorème à un système de N éléments Ma^, ayant Ma inscrit commun, et à chacun des systèmes de N éléments M«+i ayant M" circonscrit commun que fournit la figure de référence, on introduira à la puissance N — i les coordonnées de l'élément Ma; on pourra donc obtenir ces coordonnées par des radicaux d'indice n — i en fonction de a-, et la relation entre les coordonnées de l'élément Ma fera connaître la fonction ponctuelle a- de N éléments Ma+, en fonction de leurs coordonnées. C'est ainsi que, en Géométrie ordinaire, on pourrait évaluer le sinus d'un trièdre en coordonnées tétraédriques par des radicaux carrés.

De même, on pourra évaluer la fonction tangentielle S de N éléments M'+' ayant M" circonscrit commun; on aura, par exemple, l'expression de la quantité f 77J pour un triangle en coordonnées tétraédriques.

lo7. Théorème des déterminants de comomeots. — Si l'on considère P éléments M^+i ayant un élément Ma inscrit commun, P, autres éléments Ma^i ayant aussi un Ma inscrit commun, le déterminant des comoments donnera lieu à un tliéorème analogue au précédent; et l'on aura un théorème corrélatif en considérant deux systèmes de P éléments M"+' ayant un M^^ circonscrit commun. Pour P =1^ 2, ces deux théorèmes se simplifient.

Dans le cas particulier où les deux éléments Ma sont identiques, leur comoment est égal à i et l'on obtient le théorème qui, en Géométrie autour de Ma, joue le rôle du théorème des déterminants de Y en Géométrie générale. De même, etc.

158. Explication de déterminants nuls. — l.e carré de la l'onctioD ponctuelle de P (éléments Mo^., a yant un Ma inscrit commun, et qui déterminent par conséquent un élément Ma|p, est donné par un déterminant d'ordre P dont les éléments sont des comomenls ou des expressions ^(n" 59); on peut encore l'écrire sous la forme d'un déterminant analogue an dernier déterminant du n° 38. Ces déterminants sont nuls lorsque l'élément inscrit M^ est conjugué de lui-même, etaussi lorsque l'élément circonscritMn|p est conjugué de lui-même : on en rendrait compte facilement (n^SQ). On généraliserait les remarques précédentes en considérant le théorème des déterminants de comomeots, comme on a dit au n° 62 qu'on pourrait généraliser les considérations indiquées

•lo9. Pour P = 2, lo carre de la fonction poncUielle ou du moment réduit de deux éléments M' qui ontM^.., inscrit commun, Mî~* circonscrit commun, donne lieu à des remarques relatives à l'équation aux A^ principaux. Si l'on reprend les considérations du n" H8 pour deux éléments M^ etc. (il faut faire P = i dans le n" 118), on voit que le carré du moment réduit ou de la fonction ponctuelle est nul dans deux cas : par exemple, dans l'espace réel, pour deux droites qui se coupent, le carré de la fonction ponctuelle est nul lorsque le point commun aux deux droites appartient à la quadrique des points doubles, et lorsque le plan des deux droites est tangent à la quadrique des plans doubles. D'ailleurs, en se bornant à ce cas particulier, on a

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