CHAPITRE IX

CORRIiLATION; POLAEÎITÈ RÉCIPHOQUlî. GliANDEOR DES FIGURES.

160. Corrélation quelconque. — On a cléfuii yii n" 18 h corrélation initiale, et c'est cetle corrélation que l'on a considérée jusqu'ici. On pourrait maintenant définir une corrélation quelconque, en se donnant à volonté le poljtrope transformé du polytrope de référence ; on aurait deux équationnelles doubles S'ets'; étant donnés deiTX points, en considérant les deux points d'intersection du rayon qui les joint avec l'équationnelle S', on aurait un rapport anharmonique qui permettrait de définir la p se o do-distance de deux points dans la corrélation considérée; on aurait de même le pseudo-angle de deux iropes; on définirait ensuite le paramètre d'un rayon ou d'un axe, on aurait le t de deux points et le S de deux Iropes, et l'on arriverait au A d'un point ou d'un trope ; on serait alors en mesure de faire voir que les formules de la corrélation initiale s'appliquent à une corrélation quelconque.

On verrait en particulier que le rapport anharmonique de quati'e points sur un rayon, ou de quatre tropes passant par un axe, conserve la même expression, quelle que soit la corrélation dans laquelle on l'évalue : c'est là un fait essentiel, attendu que la pseudo-distance de deux points dans chaque corrélation et le pseudo-angle de deux tropes sont donnés par des rapports anharmoniques, et que pour la corrélation initiale on est forcé d'évaluer ces rapports anhannoniques dans la corrélation que l'on étudie.

ICI- CorrespottdanceP par polaires réciproques. — Au lieu d'une corrélation C, on peut avoir une correspondance par polaires réciproques P. Les deux équationnelles doubles se confondent, et l'on a réquationnoJle directrice. L'éîi'menl primitif et Télémeni

transi'orm« d'un élément donné sont, au sens près, un même élément qui est rélément polaire du premier par rapport k l'équationnelle directrice : les coordonnées de l'un sont égales aux, coordonnées de l'autre niuUipliées par { — i)Pi. Comme vérification, étant donné un élément M' dont le primitif' et le transformé sont L^ et N^, si l'on écrit que le moment de deus éléments L et M est égal au moment de leurs transformées M et N, on a

ce qui est exact. On a un exemple frappant dans la rotation d'un angle droit autour d'un point fixe, les côtés étant dirigés : l'angle étant dans la position LOM, on peut l'amener dans la position MON. ON étant de sens contraire à OL; on peut encore faire glisser un quadrant sur une circonférence de cercle.

L'homographie de points conjugués sur chaque rayon, qui conduit au paramètre 6, est ici une involuiion; il en est de même de l'homographie de tropes autour d'un axe, qui conduit au paramètre 6. Le paramètre d'un rayon est ~, le paramètre d'un axe est - (on peut revoir à ce propos le n" 87); le u de deux points est un sinus de pseudo-distance, le S de deux tropes est un sinus de pseudo-angle ; les y ^t les T sont des cosinus.

Le comoment de deux éléments est indépendant de l'ordre dans lequel on les prend. Le déterminant s^ du n" 3 est un déterminant symétrique, etc.

162. J'indiquerai ici une formule intéressante pour la correspondance par polaires réciproques. Soient les quatre points A, B, C, D : ils donnent lieu aux trois systèmes (DA, BC), (DB, CA), (DC, AB};ona