AL A
dans les dt^niières formules, on a mis l ou lien de (, Relaùveraent aux coordonnées h, je reniarquR seulement qu'on a U''t^= — t
avec (('■= { — l'jP^x'', ï|i,= ( — i)Plri}'; on a en particulier U'= j-> avec u'= ( — i)"~'x', A;= (— i)"-' h'; ....
L'élément transformé d'un élément MJ (18, 58) est désigné par N^, avec des coordonnées y ou c ; le comoment de deux éléments M^ est défini aux n"" 18 et S9.
2. La fonction ponctuelle a dep points, la fonction langcutielle S de/> tropes sont définies au n" 27; pour /j= n, on a les fonctions s et S (29).
Le moment de deux éléments associables a deux propriétés essentielles : l'une est donnée anx n°' 56 et 37, l'autre aux n"' 51, 3o, 30; pour le comoment on a les n™ 59, 3(j, 31 .
Les deux propriétés du moment donnent pour le poljtrope de référence (Chap. !) les formules
T-r XVI ',: = .•„,
le détermina
nt des
, li se réduisaii
t ici à un
liculicr,
(^.') (-i)'.Tî,x A'==s„, (-l)'.tS/xA/=S(,.
(3') h^ ... A"= .ïuSo,
avec l au lieu de l dans l'avant-dernière formule; l'élimination de ■f^'-f entre les formules ci-dessus donne les premières formules du n° 6. (Les formules du n" 9 sont employées aux n™ 47, 113, 118, 140.)
Le théorème des déterminants de A explique la définition des coordonnées normales j:\ d'un élément M^ au n" 53, l'élément étant défini par p points ou par q tropes, et par suite la définition des coordonnées homogènes au n" 46. Le cas particulier p = n — i explique la formule du n" 33 (dans laquelle il faut rétablir le signe ^ qui a été omis), et par suite les résultats du n" lA. Le cas p = n rend compte des deux formules du n" 29 (dans ce nuinéro, ligne lo, il faut remplacer le mot. ; colonnes, par le mot :
rangées); ce cas peut encore expliquer le facteur normalisaur uidiqué à la fin du n" 31! .
3. La figure de référence auxiliaire ( 19) a une imjjorlance capitale; on peut la comparer au triangle polaire du triangle de référence en Géométrie sphérique, ce triangle polaire étant à la foiï. PelP.
. En premier lieu, si, dans la suite considérée au n" 59, les deux éléments intermédiaires appartiennent au poljtrope de référence P, on a la suite A.j A^ Af Ag-, qui donne
(4) (Ai,A|) = ((A|,Aî))=vg.
la double parenthèse indiquant un comoment, c'est-à-dire que (58) les coordonnées ai^j^des éléments Aj àa poljtrope P sont les quantités Y^T; par exemple, dans le second alinéa du n" 19, en considérant la suite rt' Ai A;«^, on a pour les coordonnées a;), des tropes deP,
(O i(«',Aj) = -f(A-,,A,)^-;),,;
de même, en considérant la suite A; a'- a' A),, on a pour les coordonnées x'' des tropes de P,
(4") i(A,, «).)^r(a\a') = rw.
En second lieu, si, dans la suite du n" 59, le second élément Intermédiaire appartient seul au poljtrope de référence, on a la suite AtM^A^NJ, qui donne (58, 64)
(A..V, m;^) = ((M^, Af ) = (A^, n;;),
ou bien
<5) 4-((M2,Af))=.T;
on peut aussi considérer la suite L^ AJ M' A.j. C'est ainsi que, aux n"' 20 et 26, en considérant la suite «'M A, /^, on a
(A la fin du 11° 2«, dans les deux formules de droite, il faut
plusieurs l'ois ai pour «'.)
4. Au n° 53 on a !e théorème des momenis; l'élément M^, affecté du coefficient i , est le résultant des éléments de même espèce At affectés de eoeflîcients X^ qui sont les coordonnées X relatives aux éléments opposés : en prenant les moments par rapport à M^, on a la formule
signalée au n° 10. Le théorème lui-même explique les coefficieuts XJ; car, en désignant par AJ les coefficients qui doivent rendre le théorème exact, et eu prenant les moments par rapport aux éléments AJ, on a
a^où l'on conclut /rf^T^Xf, On peut écrire
et cette formule contient des moments d'une seule espèce.
La formule dun" 60 doit être comprise comme il suit ; en considérant la suite M^M^N^NJ, on a, d'après la dernière formule ci-dessus,
la formule de I rmisformatlon du n" Îi4, qui donne lù' , s'explique ainsi :
(7) »i.^(AV,M;^)^2^"^--fC'
les coordonnées xii de l'éléjoeut A^ élaut les quantités y^^i,
comme on l'a vu; on arrive à la fonimlc
5. A.I1 n- 61 on a le théorème dos comonienls; lu lonnulf (6) devient
((fi)) L X {(ni, xp) =2"ï'->= Um;'.. -v..));
le second élément est eonsidéré comme on élément résullant, et l'on prend les romoments par rapport au premier; on a de même
le premier élément étant considéré comme un élément résuitant (au n" 61, on a mis par erreur A,, pour A,lQ. La formule de transformation dn n" 59, qui donne ((M^, Al)), et qui éqiiivaut à la formule (i), résulte de la dernière formule que l'on vient d'écrire ;
On retrouve ainsi la formule
((8)1 ((.M;;..\;())=2]2xC.YF,x-.n,.
6. Si l'on suppose eliacun des deux éléments l\l^,,l\j[, délini par^ points, la formule (6) donne la première formule du n^GO, la formule{7)donne la formule de transformation du n" 38, et la formule (8) donne une expression du produit !7it'((MJ, INJ,)) signalée au n''62. De même, si chacun des deux éléments est défini par q tropes, etc.
7. Si les deux éléments M et N sont identiques, les trois formules du n" A de l'Avertissement, ou celles du n° K qui leur sont équivalentes, donnent la relation entre les coordonnées d'un élément MJ(o4); au n" 6 on a les trois premières formules du n" 38 pour le calcul de 5'-, etc.
donne, par un développement connu,
le second membre étant une somme de pi on a écrit, d'une manière très concise,
••-[[»;]].frx;ii.
Une remarfjuc anaioguc s'applique ain malion, quand on évalue le déterminant des
Vt -
ime
de
rodui
sdcdétennin
: formules do transfor-
i'. Avant de faire /> = i ou q t= i dans ce qui précède, nous signalerons la composition des points ou des tropes, dont la première est analogue à la théorie du barycentre, et la seconde est analogue à la composition des forces dans un plan. La composition des points s'explique de proche en proche en partant du n" 76 ; on a facilement le premier alinéa du n" i9; si l'on considère un point M, affecté du coeflîcient i, comme le point résultant des n points de référence affectés de coefficients convenables, on voit, en partant de la composition de deus points, que ces coefficients sont les coordonnées X du point. De même, etc. On a le théorème des i (41). On comprend alors la définition d'un i au n" 12
Los formules du u" 21 s'oxpliqiicnl comme celles du u" 60, et les formules de Lransforoiation du n° 19 s'evpliquoil comme celles du n" 5i ; on H
(ff) v(M,N)= A(N,,.) «2''''-''' = 2''''-ï''
(7) „'-i(»', il) =2X-.. ■.■,,„
(S') ;,M,ti)='^^X^'^Y'XV.r,
on a de iiiêine pour deux iropes
3'. On a aussi le théorème des v (i2). On en conclut (26)
et l'on a également
-f(M,IN)=yX'..-;(A),,IN);
la formule de transformation du n° 26, qui donne yCM, Ai), et qui équivaut à la formule (^'), résulte de la dernière formule que l'on vient d'écrire : on a
onarrivoaiiisiàlalormule
On a de même le théorème des V, etc. On en conclut
el l'on a également
ia formule de It'an s forma lion donne la fûrmule
[ Les formules inverses du n" 19 demandent quelques éclaircissements. D'abord, les deux déterminants inverses du n" o son t
Cela posé, les formules directes étant éufiles sous la fori
3 la fin du n" 1, les formules inversi
on considère les colonnes du premier déterminant et les rangées du second; on tient compte des relations
hi= \(a'. A,) = i(A,, al) = h'.
JCn éclmngeant ). et /, ou a les formules du n" 19.]
6'. La formule (6"), en supposant chacun des deux tropes m et n défini par n — i points, conduit à la formule qui donne la valeur de l'expression vrx'V[m, n) en fonction des coordonnées u des points du premier trope et des coordonnées Y des points du second : cette formule est analogue à la première formule du n° 32; h formule (7") donne les formules de transformation du
n" 32, et h formule (8") donne la valeur de l'expression cl-dessiis avec la seule figure de référence P. De même, etc.
7'. Si les deux tropes m et n sont identiques, les formules (6"), {;■), (8-), o„ le, formules «6")), ((/)), «8')) q.„ leur >onl équvalentes, donnent la relation entre les coordonnées d'un Irope (22); au n^e', on a le calcul de <r^ (32,34.). De même, etc.
8. On peut rapprocher des calculs indiqués aux n"' 6, 7, 6', 7' de l'avertissement les calculs des n"' 116, 117, 118 de l'Ouvrage.
9. Au Chapitre VU, § IV, on a le lliéorème des quatre éléments : je prie le lecteur de lire les deux énoncés, en se reportant à la figure ci-dessous.
J'(îcris ici les formules du n" 131 : tout d'abord, Célémeut H^ ayant pour transformé \P, oti a
i^(H^, l/') = (£I,„ M'^i X(.Mx, I''),
et comme les deux éléments H^, M3, pleinement conjugués de seconde espèce, ont un moment tangentiel dont le carré est i, . . ., on a simultanément
on a alors, par le théorème des quatre éléments,
(loj (H;,, W) = (H,„ Mh X (Ma, M.") = (M„, M''),
(IL) (M^, iP) = (M,,.Mfi)x (ll„,l/') ={M,.,W),
le momenl Langentiel, ou le moment ponctuel, étant égal à i parce que les deux éléments dont on prend le moment sont pleinement conjugués; on en conclut
on a aussi, en faisant disparaître l'élément H,
(i3) (Ml', M,,) ^ {(M", V')) X (\P, Mp).
[Après cette formule on a mis dans le texte : et ainsi de suite, pour : etc.].
On a en particulier, avec la ligure suivante
les relations
(lo') (/, M,) = (l, R) X (L, M,) = (L, M,),
(II') ([.,M) = (|j.,R)x(L,M) =(n,R)
ella formule (lo'), avec riijpotliése (L, iM) = i, est une formule du n" 97 ; on a encore
(12') {îi,M,) = {:.,R)x(L,M,) = {!»,;M)x(;, M,),
et ces formules ont servi au n" 102.
Je donne encore, pour le théorème des rjuatrc éléments, la
figure schémaliqiie
On a ensuite le corollaire du théorème des quatre éléments, avec une application (105) qu'on peut voir dans le texte. On a la iigure schématique
[A la fin du n" 97, on a mis te rayon A pour l'ase A; au n" 99, ligne 11, il faut lire M'. Au n" 103, lignes a3, aS et ?>g, il faut mettre A^=i; au même numéro, le A des deux formules est i(31Lm), et il est égal à { — i)"~', et non à i, quand 311. est le transformé de m, attendu qu'on a alors i(m,')lL) ^3= ! : d'ailleurs, la suite mS\i,,3K. donne Lien
Hm,:iïi,) =
10. Je signale en terminant la Géométrie autour de Ma dans MP (Chapitre VIII), les moments réduits (9, 118), la fonction ponctuelle de P éléments Ma.,., ayant un élément M„ inscrit commun (138), et le théorème des déterminants de moments (ISO). Je
donne ici deux figures schémaliqucs indiqiiées aux n"' lia et 151.
11. Dans les figures schématiques, on doit considérer iin point comme un élément dirigé : on dirige un point en l'affectant du signe + ou du signe — - La notion de point dirigé ne se présente pas en Géométrie euclidienne, parce que la relation entre les coordonnées tétraédriques d'un point s'écrit
