PRELIMINAIRES

J'indiquerai brièvement les deux idées essentielles de ce travail; la première est, je pense, une idée neuve, el je l'esposerai en restant dans l'espace réel.

On a défini depuis longtemps la pseudo-dis lance de deux points el le pseudo-angle de deus plans par rapport à une quadrique quelconque; celte qnadrique est la quadrique double d'une correspondance par polaires réciproques.

Je ne crois pas qu'on ait essayé de remplacer cette correspondance par une corrélation générale, la pseudo-distance étant alors définie par rapport à la quadrique des points doubles de la corrélation, le pseudo-angle étant défini par rapport à !a quadrique des plans doubles.

En chercliant dans cette voie, j'ai été conduit à la notion du paramètre d'un rayon (droite lieu d'un point) et du paramètre d'un axe (droite enveloppe d'un plan); et c'est cette notion que je crois surtout nouvelle. Étant donné an rajon, tout point M de ce rayon donne lieu à un plan transformé n qui eoupe le rayon en un point N; les deux points M et N sont liés liomographiquement sur le rayon, et la pseudo-distance MN est constante; c'est cette

constynle que j'appelle le paramètre du rayon. Dans une correspondance par polaires réciproques, l'homographie des points M el N est une involulion, et le paramètre esl - pour tons les rajons; dans une corrélation générale, chaque rayon a nn paramètre particulier.

Je définis de même \e paramètre d'un axe.

J'appelle alors <s de deux points le quotient du sinus de leur pseudo-dislance par le sinus du paramètre du rayon qui les contient; je définis de même le S de deux plans. (Le rapport anharmonîque de quatre points ou de quatre plans conserve, avec des t ou desSjlamême expression qu'avec des sinus de pseudo-distances ou de pseudo-angles.) Le y de deux points M et 3IL, pris dans cet ordre, est le <s des points ÛRjciN, Nétant le point du rayon qui est dans le plan n transformé de M; lesquantités y(M,3IL) etY(31l.,M) sont différentes. On définit de même le F de deux plans dont l'ordre est donné. Dans le cas d'une correspondance par polaires réciproques, les a et les S sont des sinus, les y et les V sont des cosinus.

Les propriétés métriques du tétraèdre dans une corrélation générale sont les mêmes que dans une correspondance par polaires réciproques, avec des a et des S au lieu de sinus. Par exemple, la proportionnalité entre les aires des faces et les sinus des trièdres supplémentaires de ceux du tétraèdre se conserve avec les changements convenables.

Je suis arrivé à la notion du paramètre, ou du moins à la notion analogue pour la Géométrie conique, en considérant le déterminant d'un triédre et en cherchant à le remplacer par un déterminant non symétrique ; j'ai à peu près deviné la forme {n" 89)

dérivée d'un déterminant symétrique et d'un déterminant gauche, et j'ai alors été conduit à prendre y = col9 afin d'avoir

cula ine donnait les premières formules du n" 82, c[ui définissi

■Y(M, dm) eiy(an., M) (').

Dans riiyperespace M,j un point dépend de re — i paramètres. Les éléments analogues au point, à !a droite, et au plan dans l'espace réel M,, sont en nombre n — i ; nous appellerons trope (-^péizia, je tourne) l'élémenl qui remplace le plan; l'élément qui suit le point et celui qui précède le trope seront le rayon et l'axe; les éléments seront désignés comme il suit, avec p -j- (/ = n :

MJ-', M?-^ . . . , IW^, . . . , m;;, . . . , M?,^s , Mi, ;

tous ces éléments seront dirigés {voir n" 79 poin- un i-ayon dirigé).

Nos calculs forment une étude des propriétés métriques de la corrélation générale dans l'hyperespace, en prenant comme point de départ (coordonnées d'unpointou d'un trope) le A d'un point et d'un trope; on verra (n''97) que cette quantité est le ff de deux points ou le S de deux tropes, et il est essentiel de remarquer que c'est une quantité relative à la covrélalioo que l'on étudie (n" 80) {voir le n" 17'J).

Pour deux éléments associaLles M^,M^ on aura à considérer une quantité appelée moment Ql(\vt\ est un produit de A {n° 107); le moment d'un point et d'un trope est leur A; nous désignerons un moment par la notation (M*, M^), un A sera (M, m). Quand on change l'ordre des deux éléments, le moment est multiplié par (— i)/»*; ona en particulier (m, M) = (— i)"-' (M, m).

Je me suis attaché à considérer toutes les quantités avec des signes. Il y a là une question délicate, et des erreurs ont pu se glisser dans ce travail, d'autant plus que j'ai dû modifier mes premières idées à ce sujet. L'accord des formules entre elles me fait cependant croire qu'il n'y a aucune erreur grave à ce sujet.