CHAPITRE I

POLYTRÛPE DE HÉFÉBENCE.

Nous considérerons des indices en nombre n, <\m ne seront pas nécessairement 1,2, ...,«; nous les supposerons seulement rangés dans l'ordre naturel. Nous désignerons par L iine suite de p indices / pris parmi les indices ci-dessus; les q indices complémentaires t seront désignés par T. Quand on écrira ( — i)""', la notation L, T indiquera le nombre des dérangements entre des indices / et des indices f dans la suite LT; on aL, T + T, h=pq. Les lettres i^, E se liront : grand l, grand t.

1. Déterminants inverses. — Soit un déterminant d, d'ordre n, différent de o, dont l'éiémeiit général est cn, et que nous représenterons par [c]. Le produit de deux mineurs complémentaires, d'indices L^ et TS, entre dans la valeur de d avec le signe de combinaison (— i)'-'^*^.'^ ou (— ,)t.''-^S,^

Le déterminant inverse de d sera un déterminant A ayant pour éléments T^ les premiers mineurs de d, affectés du signe de combinaison et e/i'cwésjonr (/; onarfi=: i, et les deux déterminants sont réciproques; un mineur d'ordre quelconque de A est le quotient par d du mineur complémentaire dans d alTecté du signe de combinaison, et inversement.

Si l'on multiplie nar /ries éléments d'une ligne de isf, les éléments de la ligne correspondante de A sont divisés par k.

On a simultanément les relations

les rangées des 1" étant les colonnes do A.

2. Polytrope de référence. — ■ Soient n lettres A; représentant les points ou soinroets de référence, et n lettres «' représentant les

tropes ou faces de référence. Le trope a^ passe par les poinls de référence autres que A;, en sorle que le point A; est dans les tropes autres que a'; chaque point est opposé à un trope,

La notation A,2 représente le rayon A.A^, et le nombre des rayons est - . ' .. " i J ; ^'^ représente t'axe a'a^; chaque rayon est opposé à un axe. La notation Al ou ci^ ou AJ représente un élément A*, enveloppe des tropes passant par les p points L, lieu des. points communs aux q tropes T; les indices sont rangés dans, l'ordre naturel. L'élément A^ opposé est A\;. Ces éléments forment le polytrope de référence P.

Dans ce qui va suivre, on se donnera arbitrairement les signes des quantités is\ les signes des S seront alors déterminés. Un a ou un 2 à un seul indice sera l'unité positive.

3. Premiers èlém.eiits métriques. ^ Soient n {n — i) quantités arbitraires y, 3, . . ,, qui seront y (A,, Aj), - - . ; yia ^lya) sont dilTéreots; on a y,, = i, .... \^ft. fonction ponctuelle du système des n poinls de référence est une quantité iy\...n ou So, dont le carré est le déterminant des y, supposé différent de o, et dont le signe est arbitraire. Le signe deS)...„ change quand on échange deux indices; une convention analogue s'applique aux s et aux S que l'on rencontrera. La fonction ponctuelle des n — i points Aj... Ah est une quantité «■a...^ ou S|, dont le carré est le déterminant des y de ces points pris deux à deux, et dont le signe est arbitraire; on aura des quantités analogues ff|3,.. ou s^i les indices étant dans l'ordre naturel.

Si l'on considère les n — i points A du trope a' et les n — i points A du trope a'^, nous définirons le T de ces tropes pris dans cet ordre, en disant que le déterminant des y fournis par la combinaison des premiers points avec les seconds a pour valeur itJïT'^; on a r"=i. Le signe du T est indépendant de l'ordre des indices, pourvu que l'ordre des indices dans le déterminant soit le même que dans les tr.

-4. Les y et les T sont réciproques. La fonction tangentielle du système des n tropes de référence est une quantité S,..,„ ou So dont le carré est !e déterminant des r, et dont le signe sera fixé.

On définit d(! même S,, En considérani les àcnx détof-

minanls inverses, dont l'un est le déterminant des y, et l'antre a pour éléments ( — i)'''*'-'^^r»', on a

en disposant des signes relatifs des S. On a alors deux déterminants inverses dont l'un estle déterminant des F, et on en conclut une formule corrélative de celle qui définit les F.