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LA DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE

ment, œlleâ qui y sont formellement K II Faut donc, autant que possible! dans les définitions et les démonstrations, ramener la notion de qualité à celle de quantité 2 . Ainsi nous définirons les rapports de grandeur sans parler de superposition, suivant en eela la voie déjà ouverte par les Grées ; mais pourrons-nous de même exprimer par des nombres les rapports de position? Oui, grâce à la géométrie analytique créée par Descartes. La situai ion d'un point dans le plan est en effet entièrement déterminée par deux coordonnées, par exemple par ses distances à deux droites fixes, à condition que Ton affecte ces distances de signes convenables, Dès lors, on peut a tout système de deu3 nombres f;i i iv correspondre un point du plan et réciproquement, en sorte qu'une courbe plane quelconque sera représentée par une équation entre les deux coordonnées de ses points. Ainsi j'aurai un moyen -nsidérer en bloc toutes les propriétés d'une courbe ; il suffira de me donner son équation. Soient par exemple les propriétés de la tangente au cercle : le seul fait que je me donne un cercle au tableau ne peut évidemment rien m'apprendre sur une tangente qui n'est même pas tracée ; au contraire ces propriétés sont contenues, enveloppées dans l'équation du cercle, comme elles le sont dans l'idée elle-même, et, je puis les en l'aire sortir mécaniquement pour ainsi dire, sans rien inventer ci i créer. La démonstration sera ainsi ramenée à de simples transformations d'équations, et tous les problèmes se résoudront à peu près de la même manière. De plus, la nouvelle méthode ne sera plus astreinte à la considération des cas de ligure, car rien ne distinguera plus ces cas : au point de vue analytique, il n'y pas de différence entre deux droites concourantes, parallèles ou confondues. Ainsi se trouvera à peu près réalisée cette généralité absolue des démonstrations, qui est la marque du travail de l'entendement.

Dans la géométrie analytique ainsi constituée les raisonnements ne portent que sur des quantités ; mais ne nous représenterons-nous pas encore ces quantités sous forme d'images , comme des figures dont les éléments satisfont à certains rapports numériques? Sans doute ces figures ne sont que la forme des rapports que nous étudions ; mais pourrons-nous empêcher celle forme de jouer un rôle dans la démonstration? Ne sera-ce pas elle au contraire qui, même malgré nous, sera notre fil conduc-

! Yuir plus haut page 11.