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tions. Mais cela vient de ce que Descartes, placé, comme je Tétais dans la première partie de ce travail, au point de vue de l'intuition instantanée, n'avait pas à parler du temps. De plus, lorsqu'il oppose l'imagination à l'entendement, il ne raisonne pas a priori en s'appuyant sur la différence de nature de ces deux facultés , mais a posteriori par l'exemple du morceau de cire et d'autres analogues.

Une objection beaucoup plus sérieuse est celle qu'on pourrait tirer de certaines lettres de Descartes, d'après lesquelles nous aurions à notre disposition une mémoire intellectuelle indépendante de notre corps. Ne pourrons-nous pas alors, en effet, déduire sans le secours de l'imagination ? — Si telle était la pensée de Descartes, il faudrait reconnaître en tout cas qu'elle serait à peu près en contradiction avec la doctrine exposée dans les Régulas et dans tous les ouvrages dogmatiques du philosophe, où nulle part il n'est question de la mémoire intellectuelle. Aussi est-il fort difficile de savoir au juste comment il se représente cette mémoire, et, ainsi que j'essaye de le montrer en note 1 , les

4. Comme cette question se rattache directement à mon sujet, je vais essayer d'établir brièvement jusqu'à quel point, selon Descartes, la mémoire est dépendante ou indépendante de l'imagination. — Dans tous ses ouvrages dogmatiques, il nous la présente comme une partie du corps. Il est très affîrmatif en particulier dans la 12 e Règle, où il la considère comme l'imagination dans laquelle certaines images s'impriment d'une façon durable, et dans le Traité de V Homme (Éd. Cousin, p. 395) : « Il faut que je « vous fasse ici considérer tout ce qui se fait de plus remarquable dans le « cerveau pendant le temps de la veille, à savoir comment s'y forment les « idées des objets dans le lieu destiné par l'imagination et le sens commun, « comment elles se réservent dans la mémoire... ». Mais il est certain qu'il a souvent changé d'opinion sur cette question, car il attribue à la mémoire dans le cerveau tantôt une place, tantôt une autre. D'après les Regulœ, en effet, la mémoire a le môme siège que l'imagination ; selon le Traité de V Homme, au contraire (Éd. Cousin, p. 398), elle serait localisée dans une certaine glande B, tandis que le siège de l'imagination serait une autre glande H. Ailleurs, Descartes déclare que la mémoire réside dans le cerveau tout entier, et même aussi dans les nerfs et dans les muscles, « en sorte que, « par exemple, un joueur de luth a une partie de sa mémoire dans ses « mains ». (Voir Correspondance, Descartes à Meyssonier, 29 janvier 1640. Éd. Cerf, t. III, p. 20. — Descartes à Mersenne , 1 er Avril 4640. Éd. Cerf, t. III, p. 48). — Voici maintenant les textes où il est question de la mémoire intellectuelle : 1° lettre à Mersenne : 1 er Avril 1640. Éd. Cerf, t. Ilr, p. 48 : « Mais outre cette mémoire qui dépend du cors, j'en reconnois encore « une autre, du tout intellectuelle qui ne dépend que de l'âme seule » ;

LA DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE 17

C8 auxquelles je fais allusion n'empêchent nullement de croire qu'elle est ? selon lui, insuffisante en pratiquent qu'elle doit être associée à la mémoire corporelle. Celle-ci est comme un livre où sont gravées toutes les images perçues autrefois par nous, et où l'entendement peut lire librement. Il aura alors, évidemment, &van1 □ servir, d'autant plus qu'il

ll'a en lui riei) cTéqnî valent. Il possède bien la faculté de conserver des idées, mais il ne les localise pas dans le pat puisqu'il ne les considère pas dans le lemps; rien, à son point de vue, ne distingue un souvenir d'une perception actuelle, surtout s'il s'agit de notions mathématiques : celles-ci, en effet, innées en nous, sont toujours présentes à notre esprit, et ne lui apparaisse ni jamais comme appartenant au passé. La mémoire intellectuelle peut être comparée à un magasin où ces notions sont toutes

1* Lettre à Mersenne : 11 Juin 1640. Éd. Cerf, t. III, p. 84 : « 11 ny a point de doute que les plis de la mémoire s'empêchent les uns des autres el qu'on ne peut pas «voir une infinité de tels plis dans Le cerveau; u mais on ne laisse pas d*y en avoir plusieurs, el In mémoire intellectuelle e B< >fi i pari qui ne dépendent nullement Je tes plis »; 3° lettre

i Mersenne : G août -1640. Ed. Cerf, L III, p. 143 : a Je ne croîs pas que les u plis de U mémoire doivent être en fort grand nombre pour servira toutes « nos souvenances a cause qu'un même pli se rapporte à toutes les ch « qui initient, el qu'outre la mémoire corporelle.* . je juge qu'il y a

" encore en notre entendement une autre sorte de mémoire qui est tout à lut spirituelle et ne se trouve point dans les bêles; el que eVsl d'elle ' principalement que nous nous servons ». Comment concilier loules ces assertions? Peut-être le Traité de V Homme } un des derniers ouvrages de Desenrtes, nous donne-l-il sa doctrine définitive : mais remarquons que \ge, tout en donnant à la mémoire la glande B comme siège principal, ne contredît pas les lettres de iti40. En somme T si nous regardons dans quelles circonstances, ci pour répondre à quelles objections ces lettres

ont été écrites, nous voyons bien quelle a été la marche de l'esprit de Descartes, U veut d'abord localiser la mémoire dans une petite partie du cerveau ; puis, ne pouvant expliquer Comment un 1res grand nombre d'images peuvent être conservées dans un espace aussi étroit, il la lait 1er dans le cerveau lout entier, dans les nerfs et les mus< les, et finalement lui adjoint une Seconde mémoire, la mémoire intellectuelle, de ïaquelti . dit-H, nous nous servons le plus souvent, La mémoire corporelle n'est plus guère alors que l'habitude d'exécuter certains mouvements ; pour le joueur de luth, par exemple, de remuer ses mains dune certaine manière, CVst d'elle, par suite, que nous devrons nous servir si nous voulons nous rappeler une action accomplie par nous, une démonstration que nous avons laite, et non simplement retrouver des idées isolées.

\. — LïlmtginitiiOn et toi Mathématique».

L IMAGINATION i:i LIS MATHÉMATIQUES SELON DESCARTES

sur le même plan, à autre disposition. Au contraire, la mémoire corporelle, présentée souvent par Descartes comme une mémoire organique, conserve avant tout l'ordre des images : elle nous l'ait revivre notre vie passée. Or une démonstration, faite par nous suivant des procédés qui nous sont dictés par notre constitution, devient une partie de notre vie. C'est donc surtout de ma mémoire corporelle que je dois me servir pour démontrer. Ainsi, j'aurai à ma disposition, non pas un tableau de Unîtes les idées doi puis disposer à un moment ou à un autre, ce qui actuellement ne me serait d'aucun usage, mais un ensemble de [joints de repère me rappelant à chaque instant où j'en suis, et quel chemin j'ai déjà parcouru.

Ainsi, malgré l'existence de la mémoire intellectuelle, l'imagination aura un rôle important dans la démonstration. Mais elle sera surtout d'un grand usage lorsqu'il s'agira de résoudre un problème non plus par une simple déduction, mais par plusieurs déductions sans lien eatre elles dont il faudra ensuite riHudonaer les résultats après en avoir fait une éaumération complète K La mémoire en eifet, sous une forme ou sous une autre, sera alors plus indispensable que jamais pour nous permettre, une fois les différents points de la démons tation acquis, de les considérer à nouveau en les rapprochant, afin d'en faire sortir la solution générale cherchée : nous aurons besoin d'elle aussi, dans ce cas, pour conserver les données du problème proposé, si nous ne nous servons pas au début de toutes ces données : nous risquerions en effet de les oublier, si nous n'avions pas sans cesse présente à l'esprit l'image de l'objet sur lequel nous raisonnons, qui nous les représente toutes à chaque instant '. Mais ces démonstrations comprenant plusieurs parties indépendantes exigent de Tes prit, par suite du rôle qu'y joue la mémoire,

1. Des-cartes désigne par éaumération ou induction deux opérations très

différentes qu'il ne faut pas confondre (ltetjuln% VII) : celle par laquelle notre pensée parcourt d'un mouvement continu les chaînons successifs d'une déduction, et celle qui consiste à décomposer une question en plusieurs autres, c'est-à-dire îllatio ex mullis et disjunciis rébus collecta [ReguUe, XL 66, Ed. Garnier, p, 02), C'est de cette dernière opérai ion qu'il ici question.

2. Voir Rcgula.', XIV, 11G + Ed. Garnie r, p. 120, ce Etiarasi intellectus •- prœcise tan tu in attendu! ad ilîud quod verbu designatur, imagïnatio ■ tantes reram rai ideam Jîngerc débet, ut ad ejus albs conditioner vocam buio non expressas, si quando usus exigal, Idem intellectus possit <t converti, nec ilias unquani imprudenter judicet fuisse exclusas, j>

LA DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE

tm plus grand effort que tes autres, et nous verrons Descartes s'attacher à tes éviter le plus possible.

Je viens de montrer brièvement quel est le rôle attribué à l imagination par La logique cartésienne ; le momenl es( verni maintenant d'éprouver les conclusions auxquelles je suis arrivé ••►vaut si elles expliquent L'oeuvre mathématique de Descartes.

Si nous considérons l'ensemble de ses travaux scientifiques, nous voyons Descartes préoccupé principalement d'éliminer toute notion 6 "adressant à l'imagination, et cela en ramenant toutes les sciences à la mathématique ! tjui , malgré les restrictions que nous aurons à Faire dans la suite, est plus que toute autre du domaine de l'entendement pur. C'est ainsi quTl s'est proposé de résoudre autant que possible par la géométrie etl T algèbre les problèmes de mécanique et de physique. Il est vrai, — et M. Liard insiste sur ce point, — qu'il ne fait pas li tout a fait de l'expérience -, même dans la physique générale ou théorique; mais

L II s'agît ici, bien entendu, de ce que Descmtes a eu l'intention de Caire, et non Je ce qu'il a fait en réalité, car il est certain que sur ce point il a promis plu a qu'il na tenu. Si dans s;i physique il applique sa méthode m sens large du mot, îl est loin, du moins, d'avoir effectivement réduit cette science aux mathématiques. Tout au plus a-t-ïl recours, dans tes recherches sur la musique et dans la Dioptrhjue, à l'arithmétique et a la géométrie ancieauea mais l'analyse en est à peu près absente, < *."esl plutôt dana ta mécanique de Descaries quelle lienL une place, encore modeste d'ailleurs, comme on pourrait le prouver par d'assez nombreux exemples empruntés a la Correspondance, Ainsi, pour ii m i itei qu'on, dans une lettre a Huygeiis du 18 février 1643 Éd. Cerf., L III, p,

irtes déclare lui-même s'être servi de l'algèbre dans la solution de ce curieux problème : Étudier le mouvement d'une fourmi marchant sur un bâton qu'on hausse pendanl ce temps avec une vitesse égale i celle dont est animée h fourmis

2. Liard, Descaries t liv. l f clmp. 4. M. Liard cite à l'appui de sa thèse

rend nombre : auxquels on pourrait ajouter le passage suivant

d'une lettre a Mersenne du 30 tout 1816 (Éd. Cerf., I. 111» j». 173 : « Talia

■ sunt es quœ scripsi al quum non aliis quam Mathematicis rationibus

« aut cerla experientia nitantur uîliil falsî possint conlinere

sommes-nous bien sûrs qu'il s'en servirait encore si cette science . avait atteint un plus haut degré de perfection ? Il est vrai aussi que Descartes a écrit quelque part : « Mais d'exiger de moi des démonstrations géométriques dans une matière qui dépend de la physique, c'est vouloir que je fasse des choses impossibles * ». Mais il veut peut-être parler dune impossibilité pratique, et d'ailleurs, dans d'autres textes très précis, il déclare que sa physique n'est que géométrie * 2 . On a donc le droit de dire que dans les sciences expérimentales Descartes eut pour but principal de diminuer le rôle de l'imagination. Ne doit-on pas alors supposer qu'allant plus loin dans cette voie il Ta éliminée aussi des mathématiques, et n'est-ce pas ainsi qu'on doit interpréter ses réformes en géométrie?

Que telle soit la tendance générale de Descartes, on ne peut pas en douter, puisque ce qu'il reproche à la méthode géométrique employée avant lui, c'est précisément de trop fatiguer l'imagination ; *. Essayons, bien que sur ce point Descartes lui-

1. Descartes à Mersenne, 27 mai 1638, Éd. Cerf, t. II, p. 142. Et il ajoute : « Car on se contente en telles manières que les auteurs, ayant présupposé « certaines choses qui ne sont pas manifestement contraires à l'expérience, « aient au reste parlé conséquemment ». Si le physicien était forcé de partir d'hypothèses vraies, il ne pourrait pas se passer de l'imagination ; mais il peut partir d'hypothèses fausses, à condition qu'il aboutisse à des conclusions s'accordant avec n'importe quelle hypothèse. — Cf. Dioptrique, Disc. I, Éd. Cousin, pp. 5, 6; et Lettre à Marin du 13 juillet 1638. Éd. Cerf, t. II, p. 197.

2. Cela est possible, car tout s'explique par la figure et le mouvement. Voir Lettre à Mersenne, 21 juillet 1638, Éd. Cerf, t. II, p. 268.— Cf. Lettres à Mersenne des I er mars 1638, il mars 1040, 30 août 1640. Éd. Cerf, t. II, p. 31, et t. III, p. 39, 73. — Cf. aussi Principes, IV, 188.

3. Méthode, II. —Cf. Regulœ, IV, 21, Éd. Gamier, p. 68: « Nihil inanius « est quam superficiariis istis demonstrationibus, qua? casu ssepius quam v arte inveniuntur et magis ad oculos et imaginationein pertinent quam « ad intellectum, sic incubare... » — Dans le Manuscrit de Gôttingen, p. 49, on lit : « Quod autem quidam in Mathesi ingeniosi qui tamen in physicis « rébus et similibus infeliciores sunt, non contingit ex defectu ratiocinii, « sed inde quod mathesin tractarint non ratiocinando, sed imaginando et « omnia egerintper imaginationem ; qua? cum in Physica locum non habeat, « hinc contingit quod adeo in Physica sint infelices ». Ainsi, d'après ce texte, l'imagination tiendrait dans la Géométrie ancienne une place plus grande que celle qu'elle peut avoir en physique ; bien entendu, il doit être question ici de la physique mathématique, considérée au point de vue de ses procédés et non de son objet.

LA DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE

même nous donne peu d'indications, de nous expliquer ce reprcH

D'abord la géométrie ancienne fait appel a un grand nombre d'images dans les définitions élémentaires. Ainsi elle a recours pour définir l'égalité de deux ligures au concept de superposition, i à-dire à la considération d'un déplacement qui s'effectue dans l'espace et dans le temps, et que par suite notre imagination seule peut se représenter.

Mais c'est surtout dans les raisonnements des anciens qu'ileut l'imagination. Sans doute la démonstration — sans cela elle n'aurai! aucune valeur — est toujours faite par l'entendement seul qui lie entre elles certaines idées au moyen d'intuitions. Mais chez les Grecs, qui résuivent tous les problèmes à l'aide de constructions géométriques, elle est astreinte à la considération de la ligure, et se laisse diriger par L'imagination.

I ;i preuve en est que leur méthode n ;» pas une généralité absolue. Nous pouvons, en effet, raisonner ici connue nous l'avons fait à propos du morceau de cire. Si la même démonstration ne s'applique pas telle quelle et sans modification aucune à tous les eas particuliers, c'est quelle n'est pas l'œuvre de l'entendement seul. Or, les démonstrations des anciens sur le triangle, par exemple, s'appliquent, il est vrai, à une infinité de triangles sensibles 1 , mais non pas ii tous les cas de figure. Si dans un problème ils ont a considérer deux droites, les Grées doivent distinguer et traiter séparément les cas ou ces droites se coupent, sont parallèles ou coïncident. Ainsi la méthode a employer Varie lorsque la figure étudiée change de forme tout en restant la même pour l'entendement ; elle varie surtout quand on passe d'un problème à un autre. Tout cela indique qu'elle n'est pas indépendante de l'imagination.

Un voit d'ailleurs facilement où intervient cette faculté. Comment, en effet, procède le géomètre grec? Après les avoir li dans son imagination, en traçant une figure, il ne tient plus compte de toutes les données : mais il considère a part certaines

L Notre imagination peut en effet, par abstraction, se représenter un triangle plus parfait et plus général que ceux que nous rencontrons dans U nature, Vbû plus haut page S, note 8. D'ailleurs une démonstration faîte sur une figure particulière s'appliquera a toutes les figures de même forma si nous ne nous sommas pas appuyés sur des propriétés particuli à celle figure; mail il n'en c^l plus de même si la tigm de forme

tout en conservant la même nature.

(/IMAGINATION Kl LUS MATHÉMATIQUES SELON DESCAATES

lignes particulières qu'il ch<»isit arbitrairement; au lieu Saborder la question de Front, il porte toute son attention sur une laine bissectrice, une médiane ou un angle, Or, n'est-ce pas son imagination qui le conduit h prendre le problème par tel ou tel bout, à faire telle construction plutôt que telle autre?

L'entendement, lui, ne divise pas ainsi une question 1 : pour lui chaque notion est une et indivisible ; il embrasse huit le donné dans une seule intuition, însi qu'il peut cbneevoir

un cbiliogone aussi facilement qu'un triangle, et il le conçoit [nul entier e1 tout à la loi- Mais si, ayant ;< raisonner sur un triangle, il s'attache à l'idée d'une hauteur ou d'une médiane particulière, il situ obligé de recourir h L'imagination pour la rapporter au triangle complet auquel elle appartient 3 .

Ainsi la méthode des anciens réclame à chaque instant Je secours de l'imagination; mais, pour cette raison, elle fatigue ; il en exigeant de lui une trop grande coûtent ion. Il faut en chercher une autre s'aclressant, autant que possible, à 1 entendement, seul.

Pour cela, nous devons trouver un moyen d'embrasser a la fois toutes les données tî un problème, et d'en déduire la solution par une marche sûre et, s'il est possible, toujours pareille. Nous devons éviter aussi d'introduire trop d'images dans nos premières détentions. Or, si l'on veut que l'entendement ait une vue nette des choses sans le secours de I imagina tion, il faut, lorsqu'on le peut, substituer aux natures simples qui sont en nous éminem-

1. Lorsque Descartes nous dit dans le Discours tfeia Méthode qu'il faut diviser la difficulté, il nous donne probablement une règle pratique ; c'est parce nue j'ai une imagination que mon esprit, fini, doit recourir à l'analyse, dont un entendement pur pourrait sa dispenser \ mais, il ledit luiniènu\ il ne faut pas abuser de ce moyen; on dotl s "eu servir seulement autant que cela est requis pour résoudre une question. On le volt, la méthode exposée par Descartes a'esi pas celle que suivrait la science parfaite, maïs celle qui est pour l'homme la pins avantageuse : Je reviendrai plus loin sur C€ BU jet. Voir page $$<

2. Voir Réponses ans S ww abjections t 5s, Éd, Cousin, p. 2',kï. i< Pour ce -> qui est de rintellection dun ehilio^one... il est très certain que nous le

concevons très clairement tout entier et tout à la fois, quoique nous ne u le puissions pas ainsi clairement imaginer* m — Au contraire si nous imaginons un pentagone, noua ne te considérons pas loul h ta Bois ni en luimais nous portons notre attention d'une par! sur ses cinq tf côtés, d'autre pari sur l'aire ou l'espace qu'ils renferment ■ tfécfi'taliorHr, VI t 2, fcd. Cousin, p, 323}.