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2i L'IMAGINATION BT LES MArilKMATiiji i ES

teur, et nous déterminera à transformer nos équations (Tune manière ou d'une autre, suivant qu'elles représenteront telles ou (ri 1rs courbes? Ne serons-nous pas obligés surtout de recourir à elle pour traduire en relations algébriques les premiers axiomes de la géométrii

Pour éliminer complètement l'imagination, il faut faire un pas de plus. Après avoir présenté la qualité comme UD simple occident sans intérêt de la quantité, il faut en débarrasser complètement les notions mathématiques. Il faut constituer une science des grandeurs eu général à laquelle on ramènera toutes les autres sciences. On :» accompli un premier progrès en créant la géométrie analytique, la physique et la mécanique mathématiques : il B^agit maintenant d'aller plus toifi encore et de errer la mathématique universelle. Cette science aura pour objet In grandeur abstraite (mais non acquise par abstraction), susceptible de recevoir toutes 1rs déterminations particulières, et qui, pur suite, uni a aucune, c'est-à-dire l'idée de la quantité, dépourvue de toute figure permettant à l'imagination de se la représenter. Cette faculté n'aura définitivement plus rien a voir avec les mathématiques.

Descartes a-t-il été jusque-là? Est-ce bien ainsi qu'il a conçu cette science universelle dont il est question dans les Régal Je ue le crois pas, et je vais dire pour quelles raisons ; mais on peut affirmer dans tous les cas que si Descartes n'a pus créé une science des grandeurs en général, c'est qu'il n'a pas jugé la chose

îible. Une telle science, teuvre de l'entendement pur, eût en effet pour lui la science parfaite, et nul doute qu'il n'ait cherché à en approcher le plus possible. Mais la logique nous a tait prévoir que le mathématicien rencontrerait de grandes difficultés s'il voulait se passer du secours de l'imagination ; si donc ces prévisions sont réalisées, c'est-à-dire s'il est pratiquement impossible de raisonner sur des quantités pures, si renteiHlement humain ne peut pas, en fait, se placer dans les mêmes conditions qu'un entendement non uni à un 0Orps 1 mieux

i. Refful r T y ÏV r 21. Éd. Garnier, p. 70 : « Quod altentius considérant! k tandem innoluît illa omnïit LanLum ïn quîbus ordo vel mensuni examinait tur ad Mathesin referri , nec intéresse utrum in numerîs, vel fi^uris... « aliove quovis objecta talis mrnsura quterenda sît; ac proinde generalçiû u cjiiandain esse debere Hcientiam, quus id omneeiplîoet quod ciren ordincm

et oaen&uram nulli spécial! materue addicta qweri poteau eamdemque... u Mathesin universalem nominari »;

là démonstration mathématique

vaut prendre le part! tîe ne pas repousser l'imagination, et s'en servir utilement : c'est un instrument qui s'impose à nous, sans doute, mais dont nous ne devons pas chercher à nous passer. C'est à ce litre, comme j'essayerai de le montrer, qu'elle aura un rôle dans la mathématique universelle de Descari

Kst-il possible de raisonner sur des quantités absolument nues, c'est-à-dire sur des quantités qui n'aient aucune réalité concrète? Il semble, au premier abord, que les nombres arithmétiques répondent à cette condition ; mais ce n'est qu'une apparence. En effet, s'ils y répondaient, ils seraient évidemment susceptibles de revêtir toutes les formes ; or, l'arithmétique ne s'applique pas à toutes les grandeurs existantes, mais seulement aux grandeurs discontinues. Donc les nombres offrent encore une prise à l'imagination K

Mais les quantités algébriques ne sont-elles pas précisément ce que nous cherchons, et l'analyse de Vièle n'est-elle pas la science des grandeurs en général dont a besoin Descartes? Si celle analyse a un caractère général , remarquons toutefois quelle est née de l'étude des grandeurs particulières. II y avait à l'origine deux algèbres, dont l'une était une simple généralisation de l'arithmétique, et l'autre une méthode d'analyse encore toute géométrique. Viète, un des premiers, eut l'idée de fondre en une seule ces deux sciences nouvelles, et en cela Descartes ne fit que te répéter, apportant cependant à sa méthode «le nombreux perfectionnements -. Mais tous deux, voulant ériger

1. Voir n*>{jitl;r, XÏV t H G. Éd. Garnier, p, 121 : « Si de nu nu su est a Cruâ&fttio, imagînemur snbjecluiu aiïquod per mullas imitâtes mensurau bile;... euvebinius ne Inde postea alitjuid concluilamus, in rpio res nuine-

« rata à ttoatro concept*] exclus;* fuisse Bupponafor; sieuli farinai illi gui « numeris mira tribuuul myslerki, cl nieras Kkiiges quibus eerle non lanbim « adhiherent fîilcrn nisi nu me ru m a rébus numeralis distinclum esse coni ciprivni -■-. — Descartes a d'ailleurs un profond inépris pour rarithmétyjtre, qu'il traite plutôt comme un jeu de patience que comme une véritable science. Voir en particulier Cetire à fferêeitrtëj du iU mars ItVIjS. I«j|. <!erf, t. 11, p. M.