U DÉMONSTRATION MM III^IATIQCE

voie. Ce sont ces obscurs principes, rappelant l'ancienne seolastique, qu'il condamne le plus chez Viète. Mais sur quoi reposait alors son algèbre? Il est difficile de le savoir, car nous ne possédons pas cette algèbre, dont nous ne connaissons que les applications géométriques. Si Ton en croit b v s commentateurs de Descartes el un opuscule retrouvé en 18% l f qui a été écrit sous sa direction pour servir d'introduction à sa géométrie, il semble qu'il ait effectivement réalisé une mathématique universelle se suffisant à elle-même, et où n intervient la considération d'aucune grandeur particulière. Erasmius Bartlmlinus 2 j en particulier, le déclare formellement, et Descartes, dans son Introduction, ne fait nullement appel h l'intuition géométrique pour éclairer l'algèbre ; il donne toutes les règles sous forme de définitions 3 . Mais c'est là, vraisemblablement, une manière abrégée de présenter les choses. Si, en effet, aujourd'hui, ce mode d'exposition est le plus généralement adopté, parce quon s'est vu forcé d'admettre comme postulats

« neas non ndficiunl, sunt qnie propottuntur addenda- duœ mâgnîtudlnes « bomogenese. Plus auLeni vel minus non conslilunt gênera dî versa. Quare * nota cbpulae seu sdRmctionïs commode addentur a,

1. Manuscrit de fl&novre, catalogué sous Je titre de Calcul de Monsieur tries, et publié par M IL Adam (Bulletin des Sciences mathématiques, Septembre 1898), Cet opuscule est probablement dé Juillet iOH8.

2. Dans son Efiistufa Dedicatori& (Ed. latine de la Géométrie, p. 4}, mius Baillioliuus oppose la mathématique universelle de Descartes

à la Géométrie et à l'Arithmétique, qui ont recours à imagination. « Utile < esse atque necessartum ut initie juvelur cugilalio tiostra el intellectus; ti uude fûCtum est quod Geonietrae figuras, Àrîthmetieï numerorum charac- « teres, aliique aïis subsidia mveaerint. Sed experimentis ejus modi vix » aequiescere debeni magna ingénia uec potest is qui sapienliss famam M affectai ». Ce grand géïiie, ce sa^e, c'est Descartes, qui a vu le premier que " quanlitas in itnïrcrsuli et nhstracfo per lilttras Alphaheli CODCipi <- potest », (Er. Bartholmus. PrefûHoad tsotorem. Éd. citée.)

it. h L'addilîon se fait par le signe +. Comme pour ajouter a à o, j'écris

« H -f- h. La soustraction se rail par le signe — . Comme pour soustraire « :i de 6 r l'écris /> — a. S'il est question de multiplier des lettres L'uûe par « L'autre, il les faut joindre ensemble ; mais s'il y a des nombres adjoints ils suivent les lois de L'Arithmétique vulgaire. Et pour (essignes.;., etc. « ul là des énoncés de propositions à démontrer plutôt que des axiomes QU définitions; 1.» preuve en est que l'opuscule est rédigé ainsi d'un bout

a Pautre, et énonce par exemple sans la justifier la règle d'extraction des racines carrées, ce que ne ferait évidemment pas un traité complet d'aïgèbre.

28 ^IMAGINATION ET LIS MATIIÏlMUInl K> SI Vl:rrs

bien des principes qu'on prétendait autrefois démontrer^ il n'en I pas de même au XVII* siècle, 't aucun des commentateurs rie Descartes l cru le droit de procéder ainsi i. Descartes

lui-même ae semble pas attacher une grands Importance théorique à l 1 opuscule <h i 1638, qui, dit-il, contient seulement « quelques adresses particulière touchant le calcul : », et qui d'ailleurs, remarquons-le bien, n'est pas de loi :t . 11 est donc probable qu'il voulait dans cette Introduction énoncer les règles de son algèbre sans dire comment il les avait obtenues, et rien ne nous autorise à ne pas ajouter foi aux nombreux textes des Régules^ où la question se trouve nettement résolue. En laee des

assertions de ce! ouvrage, le témoignage de E. Bartholinus esi évidemment de peu de poids.

Nous avons déjà vu IVscarles, à propos de l'arithmétique. condamner la science vide des nombres ; or, selon lui, de même qu il ne faut pas distinguer le nombre de la chose nombrée, de même on doit représenter par des grandeurs concrètes les quanalgébriques '. La mathématique universelle portera sur les grandeurs en général, mais elle se servira au moins dans les premières démonstrations de grandeurs particulières comme d'intermédiaires. Et cela est légitime : car rien ne se dit des grandeurs en général qui ne puisse se rapporter à une grandeur quelconque en particulier \ et la réciproque de cette proposition est vraie.

Ainsi l'algèbre ne se constituera pas en science absolument