I. Voir plus loin page 31, note

■2. Leéïre à Mydorge, du 14 lévrier 1038, cité par M. H. Adam.

3. lettre à Afffwww, 23 aoûl LG38. Éd. Cferf, t. H, v , 332. « Pour lin- « troduetion à ma Géométrie, je vous assure qu'elle n'esl nullement do <i moi, et je l'ai seulement à peine ouï lire un peu devant que je l'enfer- « masse en mon paquet, » Leilmîtz disait de cette Introàuctiofi : k Je n'y k remarque rien de cette excellence que M. Maillet dit qu'oit lui attribuait, '• el qui faisait dire que M. Desearles en était Fauteur lui-même ■>. {Remarque!* sur V abrégé de îê Vie <le Monsieur Descaries. Cité par M. II. Adam.)

V. Régal*, XIV, HO et sqq. Éd. Garnier p. lfQ. Cf. Principes I, a5, Ed. Cousin, }>. 98 < ., Que Tordre et ta mesure ne diffèrent pas tu elle! défi choses ordonnées et nonibrées. » Et Principes, 11, 8 T p. 127,

:;. Voir Méthode, II, M. Cf. Régula XIV. US, 113 p. UO. « \\ vem nli- « quid imagine mur nec in tell ec lu puro ulamur, sed speeîebus in pliai H « depictis adjuLo, notnndum el nQiil diei de magnitudinibus in génère « non etiam ad quamlibet m specîe possit referri. »

LA DÊMGNSTBÀTJOfl MATHÉMATIQUE 29

autonome. Elle empruntera à d'autres sciences, a ta géométrie par exemple, ses définitions et ses premiers principes. L'imagination, qui intervient dans ces sciences, jouera donc aussi un rôle au début de l'algèbre, Mais faut-il en conclure, comme M. Liard, que l'intuition géométrique a dans cette algèbre une place prépondérante, cpie le but suprême de Descartes est la résolution graphique des équations? l . Rien, il me semble, ne permet d'adopter une pareille solution, M. Liard croit 1 établir en montrant que la science exposée dans la Géométrie, de 1637 et que nous prenons pour une géométrie analytique, est en réalité ^algèbre même de Descaries; mais cela même est difficile à prouver z . Sans doute les commentaires J( de cet ouvrage, publiés en particulier par Florimondde Beaune et François Schooten, apparaissent comme de véritables traités d'algèbre ; mais dans leur pensée etfS commentaires étaient sans doute, comme te Manuscrit de Hanovre, des introductions a la Géométrie. Sans doute aussi, les questions traitées dans le troisième livre sont bien, comme le dit M, Liard, les articulations successives d'une théorie générale des équations ; mais ce livre est visiblement une parenthèse r< où Descartes expose certains principes d'algèbre dont il B besoin pour sa géométrie; c'est pour cette raison qu après avoir traité toutes ces questions sur les équations par de simples trausior-

1, Liard, Deçcarlea, p. ft3. Cf. aussi p. al.

2, Voir Liard T Dcscirtcs, p. I?*B3. Que la thèse de M. Liant soit vraie in fausse, il n'en est pas moins incontestable que les contemporains de Descartes on! été plus frappés de la méthode employée dans la Géométrie que des a pplicaUopB géométriques dé cette méthode.

3, ils soui publiés dans l'édition latine déjà citée de la Géométrw. Les plus importants sont les Nolm Brevet et le De naiura a'quntionum de Florimond de Beaun ; les Principia Matheseoi de François Schooten ; le Ù$ Reductione œquafionum de iluddenius.

V. Descartes aous dil (Lettn à Ifawine, Déc 1 1637. Ed. Cerf, t. I, p. 470), en parlant de cette partis d»- son ouvrage, a A La page 372 qui est l'endroit h où je commence à donner les règles de mon algèbre, » N'est-ce pas indiquer f luirrniL-nt rpie dans ce qui précède il n'est pas question d'algèbre ? — D'ailleurs Descartes nous avertit qu'il nous donne celle théorie des équations pour qoub éviter des fautes dans la solution de certains problèmes géométriques. eftnétoïe, Éd. Cousin, pp. 387, 388). Comment alors

M. Liard peut-il dire m s'appuya ni précisément sut la Lettre que je de citer : • Ainsi déterminer généralement en toute équation le sombre « i1l-n rsciaes, tel a été de son aveu le but de Descartes dans la géométrie» (P- W) ■'

30 l'imagination et les mathématiques sslqn descartes

mations algébriques 1 , il en doune ensuite l'interprétation géométrique, Ge cpie M. Liard prend pour la mathématique universelle cartésienne a*en es1 donc, il semble bien, (juc l'application. Descartes lui-même le déclare dans une lettre h Ciermans 'K disant, qu'il n'a pas traité dans sa géométrie toutes lesqi qui devraient entrer dans une mathemafica puni.

Il 1 "n montré aussi en donnant en 1*538 à cette géométrie une algèbre comme introduction :t .

L Dans le premier livre, Dôscartéa résout l'équation du second degn n i* l'une construction géométrique; mais c'est seulement pour montrer que celle construction est possible, car iî ajoute : u Au reste ces tni racines se peuvent trouver par une inimité d'au ires moyens, et j'ai sn i le i voulu mettre ceux-ci afin de faire voir qu'on peut construire tous '< les problèmes de La géométrie ordinaire sans faire autre cliose que le peu « qui est compris dans les quatre figures que j\û appliquées, fl (Qéoméirié Éd. Cousin, t. V, p, 3li}j. — Au contraire, dans la théorie générale des

équations, exposée au livre ÎIÏ, Descartes considère une équation comme une somme de termes égale à 0, et non en tant qu'elle représente une courbe. n Il faut que je dise quelque chose en général de la nature des h équations, c*est-à-dtre des sommes composées de termes partie connus H et partie inconnus qui considérés tous ensembles sont égaux a rien, ûsr m ce sera souvenl le meilleur de les considérer en celle sorte » \(iétnuëtri(\ Éd. Cousin, p. 38Sj. M- Liard ne me semble donc pas autorisé à dire, comme il le fait p, 5t, que Dcscartes emploie des eonstm géométriques à

résoudre ces questions sur les équations, — Tous les commentateurs de le Géométrie ont traité algébriquement les équations {même dans les problèmes de géométrie, comme le montre Le titre seul de cet ouvrage de Schooten : Tractatus de ùonemn&ndia dern&n&traHonibis* ffeomeiricis ex C&lcutù Àlgebralco), et ils ont distingué nettement la résolution de la construction des racines* (Voir en particulier Iluddcnius, De lierfucliane ïrqu.itionum. Ed. lat. de la géom., t. I, p. 107, et Seliootcn, Dr cofteinnandis demon&t ratio nibu9 f ibid,, p. Soi.)

2. Le P. Ciermans avait dit en parlant de la géométrie (Lett, à Descartes Mars 1630, Ed. Cerf, t. ÈI, p. 56). <c Matheinatiea tainen purs potius quam geometria dici mallem. < M. Liard cite celle lettre, mais sans donner la réponse de Descartes où celui-ci tout en se disant flatté ne se rend p ravifi de Ciermans (lett, du 23 mars 1638. Ed. Cerf, t. Il, p. 70). nihil « eniin ibi eoruni qiue ad arithmetieam proprie pertinent explicui,... Sed u praderea nihîl etîam docu de molu in quo tamen ennsiderando malliema- « tica pura, ea sallem quam exeoluî, pneeipue versalur. >» Voir aussi lett. à Mersenne, 23 août 1038. Éd, Cerf, t« il, p. 328, q Que j'ai écrit mu géométrie et non une arithmétique., >>

3, Si l'analyse est si souvent dissimulée dans Fouvre de Desearl. remplacée par des considérations géométriques, c'est qu'elle passait alors

LA DÉMONSIKATIUN MATHÉMATIQUE

Ainsi la représentation géométrique n'intervient pas directement dans la résolution des équations. Ce n'est pas qu il ne puisse être souvent avantageux de construire leurs racines; mais ce sera seulement un moyen d'illustrer la démonstration, rien de plus L'imagination aura cependant en algèbre un rôle non négligeable, quoique plus modeste. Elle contribuera d'abord, comme j'ai essayé de le montrer plus haut, à établir les premiers principes de ce Lie science. 11 suffira, eu ellet, de figurer par des segments de droites deux quanti lés algébriques, pour en obtenir immédiatement la somme, le produit, le rapport 1 . Mais il ne faudra jamais oublier que ces droites sont là seulement pour représenter les grandeurs en général : pour l'imagination, ce sont des figures géométriques, mais l'entendement ne voit en elles que des quantités pures, et il en serait de même si nous traduisions ces quantités en mouvements, en vitesses ou en toute autre chose. Toutefois, il est plus simple de noife les représenter

pour une méthode de découverte, non d'exposition, — Voici ce cpie Vièle disait à c è s 1 1 j e l i Tsaj/ose in ^ l H e m Ana li/ f ica m . E< I . Se h o o t e n , p . I ti . ) « S i 1 1 - « guîa problemata suas hebeai elegantias, verum en céleris anlelertur quie .< corapositionem operis (c'est-à-dire la construction géométrique) bon ex [Ualitate, sed fequalïtatera ex composilione arguit et demonsli at... « llaque artifes geometra quancjuamÀualyticum edoctus, illud dissimulai « et taniquam de opère elficiundo eogitans, profert suuni synlheticum probleina el explieat. rt

i. Voir Regulm XIV, m, 117, XV et XVI L Cf. Sehooteu (Principia m.'ttheHeos. 6d* lai. de lu géométrie, t* 11^ p. 1, et sqq.ï. m Attamcn quia ■ tum phantasiav, tnm sensibus ipsis ziîlii I simpîieius m -v dislîuetius e\hi-

(i beri posse occurrit quam reçue linea\ quaeque relatkmeset proportiones. fc qiue ni ter omnes alias res invemuntur, exprîmere valent : prœslal pec u pnedictas Litteras solimunodo ïioeas rectas concipere, u Ouam) il traité des opérations sur les monômes, Schooten répète, à propos de chaque Opération, que les lettres représentent des droites. Il dit pat exemple : n Igitur ad addeodum Unoam a. ad lincam 1>. seiiho pro summa a -f- h ». (X Florimond de Beauoe {Nota ///ères. Éd. cit., p. 107). « Optimum vero • es! ad stahUienda hujus scieutiœ proecepta et ad cognitiouem ejus asse- « quendam ut gênerai i ter ratio lies basée in lincis consideremus, cuni shn- « plieissimie suit et hoc sthi \i -Ji-liu ail, (juod rationes oranefi quflB inl.er h qunscumque alias res considérait possunL exprimant : id quod numeri <• non cllkiuut... » — Ou sait que la représentation géométrique est encore fôH employée aujourd'hui. Les travaux de Chastes sur les segments affecta signes l'oilt plus que jamais remise eu honneur. On sait aussi que la représentation d'un nombre imaginaire par un point du plan a été l'origine de la théorie moderne des fonctions.

32 L 1 aiAGINATîON l;J LFs MAI HÉMÀTlQïïES Ml«i\ t>ÉSCARTES

sous forme de grandeurs étendues. L'étendue, en effet, est I essence même des corps; de plus et pour la même raison, toute image imprimée dans l'imagination est une véritable (î^ure 1 : patf exemple, dit Descartes, nous nous représentons forcément oulétir comme quelque chose d'étendu, et par suite, de figuré. lors, quoi de plus naturel que de voir dans toute quantité Une ligne OU une Burfaee géométrique — ?

Nous aurons doue retours à cette interprétation pour donner ii l'algèbre ses principes fondamentaux. Mais ensuite on pourra de ces principes faire sortir toute une suite de propositions sons nuis d'aucune intuition géométrique. Devons-nous en conclure que l'imagination ait achevé son rôle? Il n'en est rien : en créant l'algèbre, la [dus générale des sciences connues, on n'a pas encore dépouillé les grandeurs de toute figure particulière ; "ii sera encore foçcé de se servir d'images, abrégées, il est vrai, et offrant juste assez de prise à la mémoire pour qu'elle puisse en conserver le souvenir : je veux parler des lettres et des différente signes algébriques. Une des innovations principales de Descartes est. on le sait, la substitution de notations simples et claires aux obscurs symboles de Vie te : n'est-ce pas la preuve que le

l. Régula XIV, 113. Éd. Gartner, p. 117. « liane vero (magnitudinis spe- .. cîeni quœ omnium faeillirae în imaginatione aostra pingHur] esseexlen-

,H in reniera corporis abstractam an onini aiïo quam quod sil figura ta i ' aequitur ex dictis ad regulam duodecïmain, nlù phantasiam îpsam cum m ideis m illa exiatentlbua nilûl aliudease eobeeplmus quam yeruro corpus

1 1 il. < \Il nsnm et ûguratum. » — Descartes dit en effet dans la règle XII (J: .77; : - « hanc phantasiam esse veram parlera corporis et tan ta? magnitu- •> dînis ul diver&ee ejus poriiones pluies figuras ai) invîcem disllnctas ti indue re possint. >. — Sur les couleurs représentées par des figures, voir Reçut* XII, 75.

% Dans lu llè^le XV. Descaries dit qu'il faut représenter les grandeurs par des suites de points si elles sont discontinues, et par des segmenta de droites ou des rectangles si elles sont continues : par exemple le produit de deux quantités a et fi est représenté par la surface d'un rectangle. Mais plus tard, Descartes eut l'idée de figurer par des droites même les produits de facteurs et c'est ainsi qu'il put étendre à toutes les quantités algébriques l'interprétation géométrique qui, pour Vïète t cessait d'être possible dès la quatrième puissance. Nous tisons eu effet dans la Géométrie: ,* Pur a- ou /j 3 a je ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples, encore que. r< pour me servir des noms usilés en l'algèbre je les nomme des cariés » ou des cubes ». Cf. Beaune, Ao/.t brèves. Ed. cit., p. 108, et Schooten, Principia Mitihe&eoa. Éd. cit., p. 1. Sur cette différence importante entre les Regulœ et la Géométrie , voir l'Appendice H.

LA DÉMONSTRATION SUTHÉMATIQOB

signe joue encore, & oÔté de la chose qu'il représente, un rôle important? Mêm6 en analyse, la solution d'un problème ne résulte pas immédiatement des données ; pu l'obtient par une voie encore longue, souvent pénible et détournée ; elle ne sera pas non plus toujours absolument générale, et il existe une infinité de courbes et de surfaces Lranscendunl.es que l'algèbre cartésienne ne permeL pas d'étudier. Enfin l'analyste ne peut même se passer du secours des sens, et il est certainement plus aisé de résoudre sans figure un problème de géométrie par la méthode ancienne, que de faire de tète un calcul algébrique un peu compliqué.

Tel est en algèbre le rôle des signes. Or, il est bien évident que si l'entendement pouvait à lui seul résoudre une équation, il n'aurait pas besoin de pareils symboles ; mais il ne le peut pas. Nous avons atteint maintenant la limite au delà de laquelle il n'est plus permis à l'homme de restreindre le rôle de l'imagination. Grâce aux signes inventés pur Descartes, nous pourrons profiter du secours de cette faculté sans que ce ce soit une fatigue pour notre esprit, puisque nous nous représenterons toujours les fraudeurs mathématiques sous une forme aussi simple que possible ] ; uu début comme des segments de droites, ensuite comme de simples lettres affectées de coefficients et d'exposants. Le but que se sont proposé Ils créateurs de l'algèbre spécieuse est maintenant entièrement atteint.

Telle est, je crois, la véritable interprétation de la mathématique cartésienne, La Géométrie en est sans doute le plus gros morceau, la partie la plus nouvelle ; mais elle n'en est pas le centre, comme on pourrait le croire si on l'analysait du dehors au lieu de la replacer dans le système du philosophe. A aucun moment Descartes n'a perdu de vue le but qu'il s'est proposé sans cesse : éliminer des différentes sciences toutes les notions qui ne peuvent, pas être conçues pur l'entendement seul, c'està-dire qui ne sont pas objets d'idées claires ; car c'était le seul moyen de les ramener toutes à une science unique, la matbématique universelle, ainsi qu'il Lavait rêvé. A l'époque où il concevait cet ambitieux projet, Descartes } nous le verrons -, ne

L Voir ifeju/.T, XII, 80, p.9U : m ...coin pend lotie Ggurœ, quee modo suffi- « ciaiil ad caveracîuni lapsum ; quo breviores, eo conimodiores eiistuul .►.. Cf. Géométrie. Éd. Cousin, p. 31 o.