I. îs&goge in Aricm annif/tivam, Êd< Schooten, p

'2. L'hvpobibasme consiste à diviser, et le parabolisnie h multiplier les deux membres d'une équation par l'inconnue.

3. Théorie exposée dans la seconde partie du De Récognitions mquationum et «lans le De emendatione mçu&tionum* Citons la transmutatio tioôjtûv- I^yatov, qui, eu langage moderne, consiste à poser x = — ci 1 expurgalio par

uncins qui permet d'éliminer le tenue- du seront! degré dans une équation quelconque.

J-. Ces équationa, résolues algébriquement, &ont ensuite appliquées par

routeur à (les problèmes de géométrifi 1

ilicefi &pfoios&m AW.v nriorea, VA. Schooten, p. 18,

U\ L'IMAGINATION Et USB WÀTHÉMATIQCEâ SE&OfB DESCÀRTEB

même Viète no ramène pas a nue forme unique les équations du ad degré ; mus il en considère Unis types principaux ' :

1 . »-< jiiation xaxafQLxv»^ : A quad, -j- lï in A œquatur Z qua

Lequalimi xt^zx-v/.^ : A quad, — B in A a-quatur Z quad. ;

L/écpiation ijtf(6oXoç : B în A — A quad. u'cpiatur Z quad.

Ces exemples suffisant à prouver que Viète n a pas vu comme Descartes l'universalité et l'unité de la méthode analytique, universalité et unité qui, nous lavons dit, viennent de l'entendement. Dupe de son imagination, il n'a pas cru possible de réduire a une seule forme des équations qui représentent des objets fort différents; et ainsi, ce n'est pas faute d'une interprétation géométrique qu'il est resté en route, mais bien au contraire parée qu'il s'est trop servi de cette interprétation *«

À ce défaut de méthode sont dus tous les points faibles de son œuvre, — En particulier, il a toujours pris le signe — au mus vulgaire, en sorte qu'il ne croyait pouvoir l'employer (pie dans des cas fort peu nombreux, et diminuait d'autant les avantagée

1. En tangage moderne : ./•- -f- ha* = c*; j-- — &&—«*;— ,r--\- oj" = c-. Une des raisons qui empêchent Viète de considérer sous leur 1 forme générale les équations de. degré supérieur au premier, est qu il eroii que le type parfait de ces équations est l'équation homogène* A celle-là il essaye de ramener les équations qui contiennent un hofnogeneum nffeclionis i c'està-dire des termes de degré Inférieur & leur propre degré (sul> parodico ad potes la te m gradul. Il dit par exemple : Si A quad. wquetur Z piano, À -}- B esto E ; E quad. — R in Ivi esquabitur Z piano — R quad. (Deductiva qnadratorum affecte ru m a puris, Voir le De BêeognUhne aeqtiâticnam* Éd. Schooten, p. 93 et sqq.) Cette opération se nomme plasma. Mais nu lieu d'en doniH générales, Viète l'applique a un nombre considérable

d'exemples particuliers se suivant sans ordre, el qu'il ne sait pas relier entre eux,

J. L'interprétation géométrique conduit Viète à un ordre d'exposition toui a lait vicieux. Soit par exemple à traiter la question suivante: Data média trium proporlionalum lïnearuni recta mm et dillerenlia inter ext renias, invenite minorera extreinam [Zetetica, III, 1), Viète se croit forcé de faire appel à I "intuition géométrique, et ramène cette question a» problème suivant : Dato rectangulo sub lateribus et dîfferentia laterum, invenire latera IZetçltç*, II, 3). Or, ce problème, Viète Ta précisément résolu par l'algèbre, c'est-à-dire en le ramenant a la question qu'il prétend maintenant lui ramener. (Enïmvero, dit-il, quadralura di.lTerentiœ laterum adjuncbum quadruple rectangulo sub lateribus asquatur quadrato adgregati laterum. Data porro difl'erentia duorum laterum et enroua suimmi, dantur latera). L'énoncé géométrique qu'il se croit forcé d'indiquer pour donner un aens à son raisonnement, ne fait donc que compliquer les choses.

présentés par le raisonnement algébrique. Pour remédier à cet inconvénient, Viète a donné dans le De emendatione sequationum des règles fort ingénieuses permettant d'éliminer le signe — à l'aide de changements de variables ; mais il en résultait une multiplicité et une complication de formules toujours croissantes. Ainsi cette généralité des règles de l'analyse, aperçue par le savant du xvi c siècle au début de son œuvre, lui échappait de plus en plus ; et, M. Liard avait raison de le dire, son algèbre se trouvait engagée dans une impasse ; mais que fallait-il pour l'en tirer ? Fallait-il la régénérer par l'interprétation géométrique, en faisant appel à l'imagination? Il fallait, bien plutôt, réduire l'importance de cette interprétation, ramener à un petit nombre de règles les résultats épars dans les ouvrages de Viète, et développer, avant tout, la théorie de la résolution algébrique des équations. Or ce fut là, précisément, le présent travail avait du moins pour but de le montrer, l'œuvre de Descartes.

Note sur les « Régulée ».

Se n'ai eu à signaler, dans le cours de ce travail, aucune différence de doctrine importante ] entre les Regutm &d directionem ingenii, et les ouvrages postérieurs de Descartes. On trouve déjà dans les Reyulœ la conception d'une science dépendant seulement de l'entendement, et ayant par suite un caractère universel. Mais Descartes ne semble pas avoir fait dans cet écrit les rves qu'il fit plus tard sur la possibilité de la réalisation dune telle science. Il affirme dans la quatrième règle qu'il existe une a Mathesis Universalîs » h laquelle se ra mènent la mécanique, l'astronomie, la physique-: or nous avoua vu plus haut que Descartes a vite renoncé à créer cette mathématique universelle.

Pourquoi a-t-il ainsi reculé? Probablement parce que, à l'époque ou il écrivit les Refjuhv, il possédait seulement l'idée directrice de sa méthode mathématique, mais ne l'avait pas encore suffisamment approfondie et éprouvée. C'est ce que je vais essayer d'établir, afin de montrer comment j'ai eu le droit de dire dans ce il que L'idée d'une a Mathesis Universalîs » ne pouvait êtee chez Descartes qu'un rêve de jeunesse.

Dans la seconde partie des Fh'f/ulie, Descartes commence à nous donner les règles de son algèbre ; mais il s'arrête après avoir défini les quatre opérations, ce qui semble indiquer qu'il ne savait quelle marche suivre pour continuer*' 1 . Ce court début

i. Voir page 6, note 3.

2. Les commentateurs de Deseartes, en particulier Er, Barlholinus, l'autour «le la Prœfntio ad leclorem de rÈdition latine de ta Géométrie, Je déclare ni également,

3. Celte opinion s'accorde d'ailleurs fort bien avec le texle suivant, dans Lequel oa voit généralement une allusion au* Regnlm : « Que si vous trou* « m/, étrange de ce que j'avais commencé quelques autres traités étant à « Paris, lesquels je n'ai pas continués, je VOUS en dirai la raison: c'est que « pendant que j'y travaillais j'acquérais un peu plus de connaissance que «je n'en avais eu en commençant, selon laquelle me voulant accommoder h j'étais contraint de faite un nouveau projet un peu plus grand que Je pre-

suffit d'ailleurs à prouver qu'il n'a pas encore l'idée de la géométrie analytique. Il ne s'aperçoit pas encore qu'une quantité algébrique quelconque peut être regardée comme la longueur dun segment, interprétation nécessaire cependant, si Ton veut voir dans la fonction y = f (x) l'expression de la distance d'un point à un axe fixe Ox. Au lieu de cela, Descartes propose dans la règle XVIII de figurer par la surface d'un rectangle le produit de deux facteurs 1 . Dans la Géométrie de 1637, au contraire, il remarquera que le produit ah est quatrième proportionnelle entre a, b et l'unité, en sorte qu'on peut le construire en formant deux triangles semblables OBI, CAO tels que 01 = 1, OA = a, OB = b. On aura alors en effet OC = ab.

« mier... », Lettre à Mersenne, du 15 avril 1630, Éd. Cerf, t. I, p. 137.) Mais il n'est pas certain qu'il s'agisse ici des Regulœ, qui devaient, comme on sait, s'achever par un traité d'algèbre. Descartes dit en effet qu'il continue plus que jamais à s'occuper de ces traités commencés à Paris ; or cela semble indiquer qu'il n'y est pas question de mathématiques, car Descartes écrit précisément dans la lettre du 15 avril 1630 : « Je suis si las des Mathématiques, et en fais maintenant si peu d'état... ».

4. Rrgulœ, XVIII, 140. Éd. Garnier, p. 135 : « In multiplicatione concipimus « magnitudines datas sub ratione linearum ; sed ex illis rectangulum fieri

a imaginamur; nam si multiplicemus h t ,pen ,

« unam alteri aptamus ad angulos rectos hoc modo a a b

rectangulum

et fit

». — Voir plus haut page 32, note 2.

Il y a là une première raison de croire que, lorsqu'il écrivit les Regulœ, Descartes n'avait pas encore fait ses grandes découvertes mathématiques. L'étude de la Correspondance va nous confirmer dans cette opinion, en nous montrant que ces découvertes ne doivent pas être antérieures à 1631 ou 1632. Or, suivant tous les historiens, les Regulœ ad directionem incjenii datent au plus tard de 1629.

Dès 1629 Descartes conçoit le projet de publier un traité général de physique 1 : « Je me suis résolu, écrit-il à Mersenne, « d'expliquer tous les phénomènes de la nature, c'est-à-dire « toute la physique ». C'est ce traité qu'il appela plus tard son Monde, et qu'il renonça, comme on sait, à faire imprimer. Bientôt après il entreprend la Dioptrique. Au contraire, c'est en mars 1636 qu'il est, pour la première fois, question de la Geométrie * dans la Correspondance de Descartes : « C'est, écrit-il « en 1637, un traité que je n'ai quasi composé que pendant « qu'on imprimait mes Météores, et même j'en ai inventé une « partie pendant ce temps-là ». Or, on sait quelle importance Descartes attachera plus tard à sa Géométrie, disant que c'est surtout par elle qu'il a démontré l'efficacité de sa méthode 3 . Si donc ce n'est pas tout d'abord cet ouvrage qu'il veut joindre au Discours de la Méthode, c'est sans doute qu'il n'a pas encore inventé les théories qui en font l'objet.

A partir de 1632 nous voyons Descartes entretenir constamment Mersenne de ses travaux mathématiques. Au contraire, avant cette date, il se dit las des mathématiques, et déclare n'en plus faire aucun état 4 . On voit, d'après ses lettres, qu'il ne s'intéresse alors qu'aux questions de physique et se sert tout au plus, pour les traiter, de la géométrie élémentaire. Il envoie, il est vrai, en 1630, une Algebra à Beeckmann 5 ; mais c'est là un écrit sans importance, qui, il le dit lui-même en 1638, ne mérite pas d'être lu. D'ailleurs, on reconnaît, à de nombreux indices, qu'il

1. Voir les Lettres à Mersenne, du 8 octobre et du 13 novembre 1629, Éd. Cerf, t. I, p. 23 et p. 70.