DEUXIEME PARTIE La démonstration mathématique

Jusqu'ici je me suis occupé seulement de la connaissance immédiate des notions mathématiques, par laquelle nous prenons conscience des premiers principes ; il me reste à examiner la connaissance médiate. Il y a en eiFet des idées dont nous n'apercevons pas le lien directement par intuition ; nous recourons alors à des intermédiaires, et nous faisons une déduction. Demandons-nous donc quel sera le rôle de l'imagination dans la déduction.

Au premier abord, ce rôle ne paraît pas avoir plus d'importance ici que dans la connaissance intuitive. Non seulement, dit Descartes, nous pouvons concevoir un triangle sans le secours de l'imagination et des sens, mais nous pouvons sans eux démontrer toutes les propriétés' de ce triangle l . Nous devons suivre, il est vrai, pour les démontrer, une voie indirecte, mais sans sortir pour cela du domaine de l'entendement.

Cependant n'oublions pas que la démonstration doit être avant tout une méthode pratique, la plus commode et la plus rapide. Or, rien ne nous force à employer dans la pratique la méthode la plus naturelle à notre esprit, celle qu'il emploierait s'il n'était pas

t. Voir en particulier Méditations, V, 2. « Comme il parait de ce qu'on <« peut démontrer diverses propriétés de ce triangle, à savoir que ses trois « angles sont égaux à deux droits, etc.,... lesquelles je reconnais très claire- « ment et très évidemment être en lui. » Et Descartes entend dire que ces démonstrations sont l'œuvre de l'entendement, car il ajoute : « Et je n'ai « que faire ici de m'objecler que peut-être cette idée du triangle est venue « en mon esprit par l'entremise de mes sens ».

H L'IMAGINATION ET u:s IUTHÉMATIQIÎI DBSC4BTE8

uni à un corps. [lue science qui s'en tiendrait à une telle méthode i( au contraire imparfaite, car l'art doit suppléer à ce qui manque à l'esprit de Innommé*, Aussi, comme le dira un de commenta U'< que Desearles veut nous donner surtout, ce

n'es! pus naturalis ingenii facilitas aut ïndustria^ niais ara eeriis leffibas et pr&ceptis contenta* Pourquoi alors ne Ferait-il |»;*s appel ii toutes nos facultés, e< en particulière L'imagination?

Ou conçoit do no que celle-ci puisse quelquefois servir d'auxiliaire à l'entendement dans la démonstration mathématique; mais ici encore il Faul se demander si son rôle se bornera là.

Le raisonnement déductif, on la vu, u'esl pas immédial : il se fait dans le temps : mais alors ne suppose-t»il pas l'intervention de la mémoire, et celle-ci n'est-elle pas présentée dans lesRegulse comme l'imagination epe-méme? Sur le premier point, il n*esl guère permis de douter, Descartes nous dit positivement que la déduc-* Lion, au lieu davoir besoin, comme l'intuition, d'une évidence présente, emprunte en quelque sorte sa certitude à la mémoire**. Toutefois, Tin lerven lion de la mémoire n'est pas théoriquement indispensable : elle devient inutile si, pour lier deux idées entre elles, on parcourt par La pensée une chaîne continue d'autres idées* : car on arrive alors à embrasser comme d'un seul coup d'œil la démonstration tout entière; la déduction se trouve résolue en une série ininterrompue d'inluiliuus. La mémoire joue alors Un rôle presque nul, mais il n'en est pas de même de 1 imagination proprement dite; ôe mouvement continu de la pensée est en réalité le plus souvent, sinon toujours, un mouvement de l'imagination, et Descartes l'appelle ainsi dans plusieurs passages drs Regulœ h . Pour que la déduction fût faite par l'entendement

L R$gtilae t XII, 79j p. 98. Facile colliget attenlus lector,... quousutte liomînum Ludustria ;<<! suppiendos îngeniî defectua possit exteadj. i* 2. Erasmius Bartholmus, dans Boa EpistoU LhdicatorU, Édition Latine de La Géométrie } t. I, p. 3. Et, ajoute-t-il, la méthode mathématique anciens, qui procédait par analyse et synthèse, était mauvaise précisément parce qu'elle n'était pas un art, mais en quelque sorte la (acuité naturelle de l'esprit humain,

S, Regutm t in, IL», p, 64: ad tiancnon necesâeria est praeseus evidentia u qualtsad îuluitum, sed pothis a memoria cerlitudinem suam quodammodo u mutiuihii <>. Cf. Regul&i XI, 07, \k 9$ : « Ëjus certJtudo quodammodo « a memoria dépende L ».