ANNUITÉS
Lorsque chaque année on verse une somme a et qu'on laisse s'accumuler ces sommes versées avec les intérêts composés, on forme à la fin un capital d'autant plus considérable que le nombre n d'années pendant lesquelles on a versé cette somme constante a été plus considérable ; les versements successifs s'appellent des annuités.
Si chaque année on verse une somme a dans l'intention d'acquitter une dette, cela s'appelle encore des annuités.
Les équations (1) qui servent à résoudre les problèmes relatifs aux annuités sont les suivantes :
(4) La démonstration de ces formules est très-facile; en effet :
A la fin de la première année, on aura versé une somme a.
A la fin de la â« année, on verse une seconde annuUë qui vient
68 INTÉRÊT DE l'aRGENT.
R = (1 -1- r)» . . . . . (IV)
r S = a (R - 1) . . . . (VI)
R r C = a (R — 1). . . . (VII)
s'ajouter à la première, augmentée de Tintërêt, soit (i •+• r) a, de telle sorte que Ton se trouve créditeur.
2« année a -i- (4 4- r) a.
A la fin de la 3« année, nouvelle indemnité a, à laquelle il faut joindre le capital et l'intérêt de la dette antérieure, c'est-à-dire a (i -^ r) M- a {i + r)»; donc à la
3« année a -h a {i 4- r) -♦- a (i -4- r)'.
Un raisonnement tout semblable donnera pour les années suivantes : 4« année o 4- a (4 -*- r) -♦- o (i -♦- r)» -♦- o (4 -4- r)\^ 5« année o 4- « (4 -l- r) -i- o (4 -♦- r)» 4- a ( -4- r)3 4- o (4 -4-r)4;
on devra donc à la fin de la n™« année
Si nous représentons cette somme par S^ on aura
S ^ o 4- o (4 -4- r) + o (4 -4- r)» H- o (4 -♦- rp -H... a (4 -4- r)" - K
Or le second membre de cette équation est une progression géométrique dont le premier terme est a, le dernier (a -f- r)« — *, la raison 4 -4- r; d'où l'on déduit que la somme dés termes sera
ou en simplifiant et faisant (4 4- r)* = R, on aura
ce qui est la première formule indiquée dans le texte (VI)
Pour trouver la seconde, il suffit de se rappeler que la formule (Y), dans laquelle les lettres ont la même valeur, donne :
S = R C mettant cette valeur de S dans la formule précédente, elle devient :
R r C = a (R — 4) (VU)
C'est la formule (VU) du texte.
INTÉRÊT DE L* ARGENT. 6d
dans lesquelles les lettres ont la signification suivante :
a Somme versée annuellement» la première à l'expiration de la première année, et la dernière à la fin de la n"* année.
r Taux de l'intérêt.
n Nombre d'annuités.
S Somme totale des annuités et des intérêts. Valeur à l'expiration de la n^^ année.
C Valeur réduite an comptant de toutes les annuités qui seront versées.
R Nombre qui se déduit de la table lorsque r et n sont connus, (roir fin du volume.)
Remarquons que, dans le» équations précédentes, les lettres C et S n'entrent pas ensemble; ainsi Téquation
servira pour les cas où la somme à recevoir, à l'expiration du temps n, sera connue ou cherchée.
Tandis qu'il faudra se servir de l'équation
lorsque les recherches auront lieu relativement à l'argent comptant.
Pour plus de facilité, nous diviserons les problèmes en deux groupes : le premier relatif aux relations dans lesquelles c'est la lettre S qui figure, et, dans le second groupe, les problèmes seront relatifs à la lettre G.
DISCUSSION DE l'ÉQUATION (VI).
r S = a (R — 1) (VI)
R = (1 + r)« (IV)
Il entre dans cette équation quatre quantités : r, S, a, n. Il y aura donc quatre groupes de proMèmes suivant que Tune ou Tautre de ces lettres restera inconnue.
Passons de suite aux exemples sous forme de problèmes.
32** problème.
 partir de la première année de la naissance d'un enfant, on s'engage à verser annuellement une somme de 400 francs; on demande de quel capital il pourra disposer à sa majorité, c'est-à-dire après avoir versé 21 annuités, intérêts 5 p. c? — Réponse : fr. 14 288.
C'est la valeur de S qu'il faut chercher dans l'équation
r S = a (R — I) pour cette recherche on a :
La table 5 p. c. indique :
R = 2,7860 d'où
R — lc= 1,7860
IHTÊWËT DE l'aMENT. 71
et par conséquent
0,05 X S = 400 X 1,7860 00 déduit de cette équation
3S' proUème.
Combien doit-on verser d'annuités de SOO francs pour se créer 300 francs de rente, le taux de Tintérét étant compté à 8 p. c? — Réponse : 10.
Remarquons que 300 francs de rente capitalisée à 5 p. c. donnent 6000 francs.
Nous avons donc dans ta formule (Yl)
r S == a (R — 1) S == 6000 ; r =. 0,08; a = 800 mettant ces quantités, on trouvera
0,05 X. 6000 = 500 X (R — 1) équation de laquelle on tire
Cherchant dans la table, 5 p. c, le nombre 1,6000, on trouve qu'il tombe entre 9 et 10 ans.
Le calcul fait par logarithmes donne 9 ans 1 mois i 8 jours.
On pourrait, d'ailleurs, trouver ce nombre an oM^yan
12 INTÉRÊT DE l'ARGENT»
de la table, comme nous l'avons fait pour Fintérét composé {voir les SS"" et 3i6'' problèmes).
34' problème.
Combien faut-il verser d'annuités de 1000 francs pour jouir d'un revenu de 1000 francs, les intérêts étant comptés à S p. c? — Réponse : 15.
Dans réquation (VI)
. r S = a (R — 1) On a r = 0,08; S = 20000; a = 1000 d'ob en substituant ces valeurs et réduisant, on trouve : R = 2
En consultant la table 8 p. c, on trouve que le nombre se rapprochant le plus près de 2, se trouve en face de la 18** année, c'est 2,0792 qui en diffère assez peu pourvue l'on puisse, dans la pratique, négliger la différence; on dira donc qu'H faut 15 annuités pour obtenir le résultat cherché.
Ainsi,, en 18 annuités de 1000 francs, on obtient, à raison de 8 p. c. d'intérêt, 1000 francs de rente.
38* problème.
Combien faut-il verser d'annuités pour obtenir une rente perpétuelle égale à l'annuité versée, l'intérêt étant compté à 8 p. c,?
INTÉRÊT DE l' ARGENT. 73
On trouvera le même cbififre dans le problème précédent.
En effet, si dans l'équation (VI)
on fait S = 20 a; r = 0,05
on aura
de cette relation on tire
et au moyen de la table
assez approximativement pour les usages pratiques.
36* problème.
Un chemin de fer coûte 10 millions de francs, on prélève chaque année 14 p. c, soit 28000 francs que l'on consacre en annuités, pour éteindre le capital; on demande en combien d'années l'extinction aura lieu, en admettant que les fonds retenus soient placés dans une caisse d'amortissement payant 4 p. c. d'intérêts composés? — Réponse : 73 ans.
Pour résoudre cette question, on fera usage des équations (IV et VI)
dans lesquelles on mettra les valeurs suivantes :
la première donnera
Si Ton cherche, dans la table 4 p. c, à quel nombre d'années l^épond le nombre 17, on trouve qu'il tombe entre 72 et 73 ans.
Ainsi 1/4 p. c. prélevé sur le capital suffirait pour éteindre en 73 ans le capital de 10 millions de francs.
On peut généraliser ce problème de la manière suivante :
37* problème.
Combien d'années faut-il pour rembourser un capital, en prélevant chaque année 1/4 p. c. et plaçant ce produit dans une caisse d'amortissement payant 4 p. c. d'intérêt?
L'équation (VI)
dans laquelle on ferait
a = 0,0025. S deviendrait
INTÉRÊT DE l'ARGBNT. 75
d'où Ton déduirait
Cherchant dans la table 4 p. c, on trouve qu'il faut de 72^ à 75 ans, comme ci-dessus.
Si les placements à la caisse d'amortissement eussent été comptés à 5 p. c, dans les mêmes conditions, le temps se trouverait réduit à 62 1/2 ans; dans ce cas, R = 21 qui dans la table 5 p. c. répond effectivement à 62 ans 4 mois 22 jours.
Ainsi, un prélèvement annuel de 1/4 p. c. du capital suffit pour amortir ce capital de 73 ans ou 63 ans, suivant que l'on compte l'intérêt à 4 ou à 5 p. c.
Puisque le capital se reproduit au moyen d'un prélèvement de 1/4 p. c. en 73 ans, on peut se demander combien cte fois il se reproduirait, si le temps était prolongé à 90 ans» ce qui donne^ lieu au problème suivant :
38® problème.
Une concession de chemins de fer est accordée pour un terme de 90 ans; chaque année on prélève i/4 p. c. du capital dépensé, et l'on place ce prélèvement dans une caisse d'amortissement donnant 4 p. c; on demande combien de fois le capital sera reproduit au bout de la 90"" année? — Réponse : un peu plus de deux fois (2,07).
Pour plus de facilité, supposons quMl s'agisse d'une action de 1000 francs, le prélèvement sera fr. 2,80, donc a =2,50 5 r = 0,04; n = 90; d'où
76 INTÉRÊT DB l' ARGENT.
R == 34,1200; et R — 1 = 33,1200; nombres qui étant substitués dans Féquation (VI)
^r S = a (R — 1) donnent
Ainsi la retenue de 1/4 p. c. reproduirait d'abord une fois le capital en 73 ans ; en outre, ce capital se reproduirait une seconde fois dans le temps de la concession qui resterait à s'écouler; il y aura même un surplus de 70 francs par action de 1000 francs.
Quelle somme faut-il prélever annuellement sur une action de 1000 francs pour Famortir en 90 ans, Tintérêt composé étant compté à 8 p. c? — Réponse : fr. 0,627.
L'équation (VI)
donnera en y faisant
et par suite
Substituant ces nombres aux lettres , réqnaticfn devient
de laquelle on tire
Ainsi une retenue annuelle de 63 centimes sur une action de iOOO francs» suffirait pour amortir cette action en 90 ans, au moyen de Tintérét composé que procurerait Taccumulation de ces retenues.
Il serait facile de généraliser ce problème et de conclure qu'il suffirait de prélever chaque année 0,63 pour mille p. c. du capital d'établissement d'un chemin de fer, pour que cette faible annuité suffise par l'action de l'intérêt composé à reconstituer le capital après 90 ans.
40* problème.
Une personne croit avoir fait un marché avantageux en s'engageant à verser 3000 francs par an pendant 2S années, à la condition de recevoir à l'expiration de ce laps de temps une somme de 100 000 francs une fois payée; on demande à quel taux elle a placé son argent? — Réponse : elle n*obtient que 2,3 p. c. de son argent.
Dans les équations (IV et VI)
r S = a (R - i); R = (l + r)on connaît
78 INTÉRÊT DE l' ARGENT.
en subslituant ces nombres, on trouve
100 000 X r = SOOO (R — 1); R = (1 + ry\
En substituant pour R sa valeur et faisant les réductions, il vaut
100 r + 3 = 5 (4 + ryK
Équation fixant la valeur de r; mais on ne peut la résoudre que par tâtonnement, puisqu'elle est du ^&^ degré.
Pour cela on essaiera diverses valeurs pour r.
Faisant successivement
r == 0,04; r = 0,02, etc.
On ne tarde pas à reconnaître, au moyen de la table, que la valeur de r tombe entre 0,02 et 0,03, mais plus près du premier nombre que du second; au bout de quelques essais, on trouverait que 2,3 p. c. répond assez exactement à la question. La personne aurait donc fait un mauvais marché, puisque ses annuités ne lui auraient él^ comptées qu'à 2 '/lo p. c.
La recherche de r est la seule des quatre quantités entrant dans l'équation qui exige des tâtonnements.
On conçoit qu'il est facile de multiplier ce genre de problèmes, qui trouvent souvent leur application dans la pratique.
Dans les problèmes qui précèdent, nous avons toujours fait entrer en ligne de compte la lettre S, qui dé-
INTtflÉT DB l'argent. 79
signe ce que devieidrait uo capital à toucher k Texpiration de la dernière annuité. Mais il existe une foule de cireoiBtances où il est très-utile d'apprécier la valeur comptant d*un certain nombre d*annuités à verser ; cela est d'autant plus nécessaire qne, dans bien des circonstances, on serait largement induit en erreur, si Ton s'en rapportait aux apparences.
DISCUSSION DE l'ÉQUATION (VII).
R r C = a (R — 4) . . . (VH)
