X 0,06 X 10 000 = a X 1,5403 de laquelle on tire
Ainsi, une personne âgée de cinquante-sept ans jouira d'une pension viagère de fr. 989-50, et le préteur aura placé son argent à 6 p. c.
Nous avons choisi Tâge de cinquante-sept ans, parce que la survie répond à un nombre entier d'années; mais
INTÉRÊT DB L'aRGBNT. 9S
le problème ne présenterait pas plus de difficulté si la survie était un nombre fractionnaire.
Prenons un exemple de ce cas.
49*^ problème.
Une personne âgée de quarante-trois ans place son capital de 6S000 francs en viager; de quelle rente jouira-telle, en admettant que le prêt ait lieu à S p. c? — Réponse : fr. 4495,70.^
Ici n = 26,3; r = 0,0o.
Dans la table des valeurs de R, on trouve pour
la différence entre 26 et 27 est de 0,1778.
Dont les 0,3 font 0,0833
donc R = 3,6090
et R 4 = 2,6090
on a, en outre
C = 68000 et réquation
R r C = a (R — 1) devient
3,6090 X 0,08 X 68 000 = a 2,6090 d'où a = 4498,70.
Ainsi, avec un capital de 68 000 francs, une personne âgée de quarante-trois ans peut se procurer une rente de près de 4800 francs, mais il faut pour cela que le préteur consente à ne recevoir que 8 p. c. de ses fonds.
50* problème.
Une personne âgée de soixante-deux ans veut jouir, sa vie durant, d'une rente de 2000 francs; conobien doitelle verser conoptant pour que le prêteur retire 8 p. c. de son placement? — Réponse : fr. 15 807,80.
Dans ce cas, on a n = 13; r = 0,08;
d'où R = 2,7196; a = 2000.
Substituant ces nombres duns i'équation i(Vn)
RrC = a (R — 0' on trouve
de laquelle on tire
81* problème.
Une personne âgée de quarante-six ans possède une propriété qui lui rapporte 1500 francs de rente en biens fonds, que l'on peut cafiiitaliser à 4 p. c; elle veut vendre cette propriété en rente viagère rapportant 6 p. c. d'intérêt au prêteur; combien faut-il lui servir annuellefioenl? — Réponse : francs 3041,48.
Les 1800 francs capitalisés à 4 p. c. équivalent à un capital de 37 800 francs; donc C = 37 800.
Une personne âgée de quarante-six ans est présumée
INTÉRÊT DB L*ARGBNT. 95
devoir vivre encore vingt -trots ans et nn dixième,
soit pour 23 ans 3,8200
et pour 1/10. 0,0229
donc R = 3,4829
on aura donc
Substituant ces valeurs dans Téquation (VII)
R rC = a (R ^ 0»
Il viendra
ce qui donnera pour
Ainsi cette conobinaison aura pour eifet de transformer la rente perpétuelle de* 1800 francs en une rente viagère de fr. 3041,45.
52" problèfne.
Une personne possède une maison valant 80000 fr.; elle la vend moyennant une rente viagère de 8000 francs; on demande Tâge que doit avoir cette personne pour que le prêteur retire 5 p. c. de son argent? — Réponse : 60 ans.
Dans l'équation (VII)
RrC = a (R — 1)
on a r = 0,08; C = 80000; a = 8000.
De ces données on déduira :
R X 0,08 X 80000 = 8000 (R - 1) d'où
mais dans la colonne 8 p. c, le nombre 2 répond à 14 ans 2 mois 14 jours.
Enfin si !*on cherche dans la liste de survie à quel âge répond une survie de 14 ans 2 mois 14 jours, on trouvera qu'elle correspond assez exactement à 60 ans.
On peut généraliser le problème précédent et demander :
85® problème.
Quel âge doit avoir une personne pour que» en lui desservant une rente viagère à 10 p. c, on ne paye cependant Targent que Ton reçoit qu*à raison de 8 p. c. par an ?
Dans ces conditions. C = 10 a; r = 0,08.
Substituant ces données dans Féquation (Vil)
Rr C = a (R — 1), elle devient
INTÉRÊT DE L*AIIGENT. 97
en faisant les réductions, on trouve :
comnoedans le problème précédent.
On pourrait, sans plus de diflBculté, rechercher l'âge que doit avoir une personne pour lui payer en viager 8 p. c, et ne faire cet emprunt qu*à un taux déterminé.
Par exemple : une personne de cinquante ans ne pourra PAS prétendre obtenir plus de 8 p. c. en viager, lorsque le taux de Fargent est à 5 p. c.
On peut exprimer cette circonstance en disant que la rente perpétuelle étant à 5 p. c, la rente viagère sera à 8 p. c. si la personne a cinquante ans, et à 10 p. c, si elle en a soixante.
On peut varier ces problèmes indéfiniment. L*une des applications qui a pris le plus d'extension, c'est l'assurance sur la vie. Elle se fait souvent par le dépôt d'une somme qui assure aux héritiers du déposant une indemnité lors de son décès. Dans ce cas, il faut employer la formule (V) relative à l'intérêt composé :
n étant donné par la liste de survie, r et n étant connus, on en déduira R et par suite S. Prenons un exemple :
98 INTtftÉT DE l'aKCCNT.
84* problème.
Une personne âgée de trente-sept ans dépose une somme de 5000 francs, dont le prod^iit doit être remboursé à ses héritiers lors de son décès; on demande ce que Ton aura à pajf^eri en comptant Tintérét à 4 p. c.? — Réponse : 16317 francs.
Une personne âgée de trente-sept ans est présumée devoir vivre encore trente ans, d'où n = 30; or, r = 0,04, d'où l'on déduit, au moyen delà table, R = 3,2434^ et comme J'on a C = 8000, l'équation (V)
S = R C devient
Si Tofi faisait entrer les annuités dans ce problème» on le résoudrait avec la même facilité. Le problème suivant est retatif à ce cas.
88* problème.
Une personne âgée de trente-sept ans dépose une somme de 8000 francs, et, en outre» ajoute chaque année 1<00 francs, dans là vue d*assurer, à sa noort^ un capital à sa famille; on demande combien il faudra payer, lors de son décès, les intérêts étant comptés à 4 p. c, et combien on devrait lui payer en comptant les intérêts à 8 p« c? — Réponse : les intérêts à 4 p. c. produiraient 21 828 francs et, comptés à 8 p. c, 28 284 francs.
INTtoÂT DE L* ARGENT. ^
Dans les conditions énoncées dans te problènaie précédent, la somme à rembourser se compose de deux parties: d*abord5000 CraDcs placés à hitérét composé; cette première somme se détermine par l'équation (V) ; elle est R C.
Puis une seconde somme composée d'annuités de 100 francs, dont le produit se détermine par l'équation (VI). Celle seconde partie se trouve exprimée par
Si nous représentons par S la somme de ces deux quantités, nous aurons l'équation suivante :
S = CR+^(R-l) . . (VIII),
équation dont on pourra faire usage chaque fois que l'intérêt composé et les annuités concourront à former le capital S.
Dans le problème que nous examinons, c'est le cas d'employer la formule (Vlll) :
Une personne de trente-sepi ans est présumée devoir vivre trente ans; donc n = 30, l'intérêt r =^ 0,04, donnera pour R = 3,2434, et comme l'on a C = 5000, a == 100, l'équation deviendra :
iOO INTÉRÊT DE l'ARGENT.
et en effectuant les calculs
Si Ton avait compté les intérêts à 8 p. c. , l'équation
S = CR + -(R— 1) aurait donné
d'où
On peut prendre pour inconnue telle quantité que Ton veut, cela ne complique pas la question; par exemple :
86" problème.
Une compagnie d'assurances sur la vie contracte ses opérations à 4 p. c, et elle a, dans ces conditions, payé 28 000 francs à la mort d'une personne qui avait trentesept ans lorsqu'elle a contracté l'assurance, à la condition de verser annuellement 200 francs ; combien a-t-elle dû verser comptant? — Réponse : fr. 4348,93.
L'équation
s CR4-^(R-i)
deviendra
lOrrÊRÉT DB L*ARCBNT. 101
ce qui donne pour
Nous croyons superflu de muitiplier ces exemples, car le nombre de ceux que nous avons offerts à nos lecteurs, nous parait amplement suffire j>our montrer la marche à suivre dans les divers problèmes qu*ils pourraient avoir à résoudre.
