BASE DES TABLEAUX D AMORTISSEMENT

Pour les obligations à 15 francs é^ intérêts remboursables par 500 francs.

ANIÉIS.

A!iliBS.

ANNiBS.

4re 2e 3e 4e

iOe

lie

lee

ige

20e 2ie 22e 23e 28e 29e 30e

68e 69e 70e 7le 72e 73e 74e 75e 76e 77e 78e 79e 80e 81e 82e 83e 84e 85e 86e 87e 88e 89e

II sufiira donc de connaître le nonïbre b d'obligations à anaortir la prenaière année, pour en déduire le tableau d'amortissement tout entier.

En effectuant les multiplications indiquées, on trotrvé des nombres fractionnaires ; mais comme on ne peut pas amortir des fractions d'obligations, on prend les nombres entiers qui se rapprochent le plus de ceux trouvés par le éalcul.

On peut remarquer que le procédé que nous venons d'indiquer permet de trouver le nombre d'oblrggrtroiw à amortir dans une année quelconque, sans calculer tout le tableau d'amortissement. Il suffit de prendre dans la table ci-dessus le nombre relatif à l'année que l'on considère et de le multiplier par b.

. Les exemples qui vont suivre serviifont à montrer avec quelle facilité s'exécutent les calculs.

&V problème.

Une société veut émettre un emprunt de 10000 obligations, rapportant 18 francs d'intérêt, remboursables par 500 francs en 90 tirages au sort.

Nota. Le service des intérêts et de l'amortissement doit faire une somme constante, pendant toute la durée de l'emprunt. On demande :

1® Quelle sera la part du service des obligations affectée à chacune d'elles? — Réponse : fr. 16,15.

2^ Quelle charge la société aura-l-elle à supporter annuellement pour le service des obligations ? — Réponse : 161300 francs.

INTÉRÊT DE L'aRGENT.

3*" Combien amortifa-t-eHe d'obligations, la première anné«? — Réponse : 22.

4** Composer le tableau d^amorlissement. — Réponse :

Tableau d'amortissemetU en 90 ans^ d'un emprunt des 10000 obligations.

OBLIGATIONS

4re

dOe

lie

iSe

Le calcul conduisant à ces diverses solutions est fort simple et rapide, pourvu que Ton fasse usagedes formules et de la table générale des valeurs de R'.

D'abord, pourn = 90, on trouve

d'où

L'éqiiation

cotée (X)

devient

la part d'intérêt et d'amortissement afférente h chaque obligation est donc de fr. 16,13 ; l'équation (XI)'

a = ce N devient ici

a est la somme annuelle, appliquée par la compagnie au service des obligations.

L'équation (XII)

INTÉRÊT DE L'aRGENT. 117

devient

Ainsi, la première année, on peut disposer d'une somme suffisante pour amortir 23 obligations et demie , soit 22, avec un faible reliquat pour l'amortissement de l'année suivante.

Le tableau d'amortissement' se trouve, au moyen du tableau des valeurs de R, en multipliant chaque nombre par 22,55. Voici le calcul pour les 10 premières années.

I« année 22,55 = 22,55

2« année 22,56 x i,03 = 23,23

3e année 22,55 x 4,06 = 23,90

4e année 22,55 x 4,09 = 24,58

5e année 22,55 x 4,43 = 25,48

6e année 22,55 x 4,46 = 26,46

7e année 22,55 x 4,49 = 26,83

8e année 22,55 x 4,23 = 27,74

9e année 22,55 x 4,27 = 28,64

40e année 22,55 x 4,30 ^ 29,24

En poursuivant le calcul, on trouve le tableau d'amortissement ci-dessus. On peut très-aisément s'assurer que le tableau d'amortis.>ement est exact; il suffit, pour cela, de multiplier le nombre d'obligations amorties par 500 francs, et le nombre d'obligations restantes par 15 francs ; la somme de ces deux quantités doit faire approximativement 161500 francs.

Nous choisissons ici au hasard deux années, la soixantième et la dernière, et nous faisons les calculs suivants :

H8 INTÉBÉT DE l'aIUÏ^T.

Saixantième' année,

6456 obligations, intérêts à 45 francs fr. 96840

129 — remboursées à 500 francs 64500

Somme à payer. . . fr. 161 340

Somme disponible. . . . 161 300

Différence . . . . fr. 40

Nonantième année,

313 obligations, intérêts à 15 francs fr. 4695

313 ~ remboursées à 500 francs 156500

SommiB à payer. . . fr. 161 195 Somme disponible. ... 161 300

Différence. . . . fr. 105

Où désire faire un emprunt de 10000 obligations à 1S francs d'intérêt, remboursables par 500 francs, et ne consacrer que 20 francs par action, lant pour le payement des intérêts que pour le rachat des titres. On demaode :

l'' En combien d'annuités cet emprunt sera éteint ? — Réponse: 47.

2" Quel est le montant de l'annuité ? — Réponse : 200000 francs.

3^ Former le tableau d^amortissement. — Réponse :

Tableau d'amortissement de 10 000 obligations en 47 ans.

Voici le détail des .calculs :

Dans celte question, on donne

120 INTÊnËT DE l'aRGENT.

On eo déduit immédiatement l'annuité a par la formule (X!)'

soit a = 20 X 10 000

a = 200 000 francs par an.

L'équation (X)' donnera la valeur de R'; en effet, celte équation

devient ici

de laquelle on tire

Chercliant dans la table la valeur de R, celle qui se rapproche le plus du nombre 4 dans le S p. c.,un trouve 47 ans. C'est le nombre d'années que durera le remboursement.

Pour déterminer la valeur de ft, on aura recours à l'équation (XII)', qui donne

ft =

elle deviendra

d'où

. INTÉRÊT DE l' ARGENT. I2t

c'esl-à-dire que Ton amortirait iOO obligations la première année.

b étant connu , rien n*est plus facile que dé former le tableau d'amortissement, puisqu'il suffit de multiplier par 100 chacun des nombres qui servent de base au tableau d'amortissement; c'est ainsi qu'a été formé le tableau d'amortissement que nous avons donné ci-dessus.

Ainsi, un emprunt de 10 000 obligations auquel on consacrerait 200 000 francs par an, pour le payement des intérêts et de l'amortissement, serait amorti en 47 ans.

On peut dire d'une manière générale, et quel que soit le chiffre de la somme, qu'un emprunt en obligations auquel on consacre 20 francs par an et par obligation, s'éteint -en 47 ans, lorsqu'il est contracté à 15 francs d'intérêt et remboursé par 500 francs.

Si, au lieu de 47 annuités de 200 000 francs, la compagnie en desservait 50, les trois dernières produiraient un excédant de 600 000 francs qui pourraient être distribués en prime aux numéros restés les derniers dajos l'urne.

Les problèmes que nous venons de résoudre nous donnent le moyen d'apprécier en annuités combien valent les obligations qui satisfont à certaines conditions d'intérêt et de remboursement; comme, il'un autre côté, nous avons appris à préciser en chiffres ce que valent un nombre d'annuités déterminées, nous pourrons, par suite, déterminer ce que valent les obligations. Quelques exemples vont préciser les appréciations.

m INTÉRÊT DE l'A^GJENT.

59" problème.

Une compagnie veut émettre des obligati(xns rapportant 15 francs d'intérêt, remboursables par 500 francs. On demande de déterminer quelle sera la somme affectée annuellement à chaque obligation, dans les cas suivants :

Durée du remboursement.

10 30 ans. -- Réponse : 30 annuités de 25,S0 chacune.

20 50 ans. — — 50 — 49,43 —

30 70 ans. — — 70 — 47,17 —

40 90 ans. — — 90 — 16,13 —.

Les répopses au problème que nous venons d'inscrire sont on ne peut plus faciles à obtenir; il suflfii pour cela de faire usage de la formule (X)' :

dans lesquelles on fer^i successivemept^ = 30 ; « = 50 ; n = 70 ; n = 90 ; et la table des valeurs de |R fournira les élémeats de calcul suivants :

10 n = 30 ce qui donne R' = 2,4273 d'où a. = 25,50 20 n = 50 — R' = 4,3839 d'où * = 19,43

30 n = 70 — R' = 7,9478 d'où « = 17,17

40 n = 90 — R' = 14,3005 d'où a = 16,13.

Les calculs qui précèdent nous conduisent donc à

1NT£p£T de L*AaGE;>lT. 123

conclure qu^une obligation rapportant IS francs d'intérêt, remboursable par 500 francs , en 90 tirages, vaut 90 annuités de fr. 16, J5 chacune.

Une obligation de même coupure, mais remboursable en 30 années, vaut 50 annuités de fr. 25,50 chacune, et ainsi de suite. Nous voilà donc à même de calculer la valeur et le nombre d'annuités que vaut une obligation.

Or nous savons estimer avec précision la valeur d'un nombre déterminé d'annuités ; on pourra doac, avec la même précision, estimer la valeur des obligations dans diverses circonstances d'émission. Nous pourrions avec la plus grande facilité compléter ces problèmes, en donnant les tableaux d'amortissement d'après les formules que nous venons d'appliquer à des problèmes tout semblables. C'est là un calcul qui ne présente aucune difficulté et que nous nous contentons d'indiquer.

Passons à l'évaluation, en chiffres, de la valeur des annuités trouvées ci-dessus, cela nous conduira au problème suivant :

60° problème.

Combien valent argent comptant des obligations émises dans les conditions du problème précédent, les annuités étant escomptées au taux de 5 p. c?

Durée de Valeur eu Valeur comptant

l'emprunt. annuités. ii K p. c. d'estompte.

40 30 ans — 30 annuités de 2S,50. — Réponse : 392 francs.

20 50 ans — 80 — 49,43. — 355 ~

30 70 ans — 70 — 47,47. — 333 —

40 90 ans — 90 — 46,43. — 320 —

Pour trouver les nombres inscrits comme réponse dans ce problème, il suffit de faire usage des formules relatives aux annuités ; nous les rappelons ici :

c-"-?L=^.. . . .(VU)

R = (1 -j- rV ..... (IV).

Puisque ces annuités doivent être capitalisées au taux uniforme de 5 p. c, la formule (IV) deviendra

et suivant que Ton fera

n = 30, on aura R = 4,3219, d'où R — i = 3,3249,

n = 50, on aura R = ii,4674, d'où R — 4 = 40,4674,

n = io, on aura R = 32,4264, d'où R — 4 = 34,4264,

n = 90, on aura R = 80,7304, d'où R — 4 = 79,7304.

Mettant successivement ces chiffres dans l'équation (VII) ainsi que les valeurs de a qui y correspondent, on sera conduit à effectuer les calculs suivants :

25,50 X 3,3249 Pour n =r 30; C — — —-• ~ ^^2

Pour n = 50; C = — ^ = 355

47,47x31,4264 Pour n =70; C = — ^ = 333

Pour n = 90; C = — ^ = 320

Ce sont ces résultats que nous avons consignés dans

INTÉRÊT DE L'ARGBNT. 125

.le petit tableau qui contient les réponses au problème que nous discutons.

Ce tableau montre clairement Finfluence exercée par la durée de ramorlissement sur la valeur des obligations, puisque, à 30 ans, Tobligalion vaudrait 392 fr., tandis que si le remboursement est échelonné sur 90 tirages, cette obligation ne vaut que 320 francs.

Valeur des obligations.

Nous croyons utile de placer ici quelques mots sur ce qu'il faut entendre par valeur des obligations.

La valeur d*une obligation dépend de deux choses : premièrement des conditions de payement, secondement du degré de confiance quMnspire la compagnie, relativement à Taccomplissement de ses promesses.

Nous allons faire voir comment on peut faire entrer ces deux considérations dans le calcul de la valeur des obligations.

Lorsqu'une valeur mobilière offre toute sécurité, telles que les obligations sur un chemin de fer en exploitation dont le rendement paye non-seulement les intérêts et le remboursement des obligations, mais procure en outre un bon dividende aux actionnaires , dans de pareilles circonstances, on a coutume de considérer la sécurité offerte par la^compagnie aux préteurs comme étant entière.

Dans ce cas, on capitalise volontiers à S p. c ; ainsi, les valeurs que nous avons assignées dans le problème précédent aux emprunts remboursables en 30, 50, 70 et 90 ans, sont relatives à des obligations complètement garanties, et ne laissant aucune crainte soit pour le payement des intérêts, soit pour le remboursement.

126 INTÉRÊT DE l'aRGENT.

Mars (ouïes les obligations n'offrent pas cette sécurité, ' pour ainsi dire absolue. Il arrive parfois qu'une société est surchargée d'obligations ; d'autres raisons encore peuvent ébranler la conflancedes prêteurs; alors, au lieu de capitaliser à 5 p. c, on demande que les capitaux rapportent 6, 7, 8 et même 10 p. c, afin que l'élévation de l'intérêt perçu compense les risques à courir.

Il suffira donc de capitaliser à 6, 7, 8, 9 et 10 p. c, pour faire entrer dans la valeur des obligations le degré de confiance plus ou moins grand qu'inspire la Société qui a émis les obhgations.

Prêtions toujours pour exemple l'obligation rapportant 18 francs d'intérêt remboursable h SOO fr. en 90 ans, pafce que c'est celte coupure qui est le plus répandue; cela nous conduira à résoudre le problème suivant :

61° problème.

Combien vaut argent comptant une obligation rapportant 15 fr. d'intérêt remboursable en 90 tirages au sort, lorsque la situation de la compagnie exige que la capitalisation soit faite à l'un des taux suivants :

Réponse :

520 francs

Ces solutions se trouvent en mettant dans les for-

INTÉRÊT DE l'aRGBNT. 127

mules (ni) : n = dO; a = ^6,13, d'où

puis d'y faire successivement r = 0,08; r = 0,06; r = 0,07, etc.; en effectuant les calculs numériques, on arrivera aux résultats consignés ci-dessus.

Ce petit tableau montre avec quelle rapidité décroît la valeur des obligations, lorsque la confiance s'enfuit. Il serait donc de la plus haute importance de rendre aux obligations la sécurité première que l'on a laissée imprudemment s'amoindrir, non-seulement en augmentant l'émission outre mesure, mais par d'autres causes encore dont la discussion par trop spéciale ne saurait trouver place dans un livre de calculs.

Nous venons de voir qu'en achetant des obligations h 320 fr., on retire S p. c. de son argent; que si on les achète à 201 fr., on en relire 8 p. c; cela porte naturellement à se faire cette question : combien retire-t-on d'intérêt de san argent en achetant à 300 fr. ou, ce qui revient au même,

62" problème.

Une compagnie émet des obligations rapportant IS fr. d'intérêt remboursables en 90 tirages par 500 fr., on demande à quel taux elle aura emprunté si elle place ses obligations aux taux suivants :

1° à 500 francs. — Réponse

1128 INTÉRÊT DE l'aRGÊNT.

Pour résoudre ce problème, on se sert encoredes équations (IV et VII).

R = (.+r).; 0-tf^

dans lesquelles on fait n == 90 et a = !6,!3, ce qui donne

puis faisant successivement

R — 1 C = 300, on aura = 18,61

et si Ton cherché les valeurs de r qui satisfont à ces équations, soit en s*aidant de la table des valeurs de R, soit en faisant usage des logarithmes, on trouvera les nombres inscrits comme réponses au tableau du problème ci-dessus.

Dans les problèmes qui précèdent, nous avons exclusivement supposé que l'emprunt se faisait en obligations rapportant 15 fr. et remboursables par 500 fr., en un nombre d'années plus ou moins considérable; mais ce n'est pas la seule forme d'emprunt que Ton ait mise en usage, et nous allons jeter un coup d*œil rapide sur quelques autres combinaisons.

INTftlfiT BB L'aRGBNT. i^

Discussion de VéqtuUim générale.

Les formules générales que nous avons démontrées au commencement de ce chapitre permettent de faire varier 1 intérêt et le remboursement tout aussi bien que la durée. Nous les rappelons ici pour en faire quelques ap. plicalions.