XI

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B ^b[i+ij-' . . .(XIU)

Voir page 108 pour la signification donnée aux lettres qui entrent dans ces formules.

Les équations que nous venons ée présenter sont trèsgénérales et permettent de résoudre une foule de p/oblèmes relatifs aux «bligations, puisque l'on peut, à volonté, faire varier le temps n que durera le remboursement, l'intérêt i payé par obligation, le taux t du remboursement et le nombre N d'obligations émises.

Pour la facilité du lecteur, nous avons placé ces équations dans l'ordre le plus convenable à leur emploi dans la pratique.

On commence par calculer la quantité R' par la formule (fX) ci-dessus.

130 INTÊRI^T DE L* ARGENT.

Ce qui est facile par logarithmes est plus aisé encore au moyen de la table R placée à la fin du volume.

Cette valeur de R' étant déterminée, on en déduira a, au moyen de la relation (X).

A est» comme nous Tavonsdit ci-dessus, la partie afférente à chacune dès obligations, pour payement des intérêts et remboursements.

a étant connu, on en déduit a par la relation (XI).

a est Tannuité totale payée chaque année pour intérêts et amortissement de l'emprunt.

a étant déterminé, on en déduit ft, c'est-à-dire, le nombre d'obligations à rembourser la première année; cela se fait par la formule (Xn).

Enfin réquation (XIII) sert à composer le tableau d'amortissement.

Si l'on développe cette équation en faisant successivement m => 1, m = 2, m = S,... elle donnera le tableau suivant :

ï^ année h

2« année A + -M X 6

S« année (l + j)' X * 4* année (* + ^) X *

m"^ année

dernière année ( 1 + f 1 ^

Les coefficients de b sont les nombres inscrits dans la table des valeurs de R, dans la colonne d'intérêts que

Ton trouve en divisant i par t, c'est-à-dire - .

Celte remarque permet de composer les tableaux d'amortissement avec une extrême facilité, puisqu'il suffit de multiplier des nombres tout calculés par la quantité b pour avoir le résultat cherché.

Nous allons présenter quelques problèmes qui serviront d'application aux principes précédents.

63* problème.

Une société contracte un emprunt remboursable en 20 années; les obligations, au nombre de 1000, sont de 1000 francs chacune, rapportent 50 francs d'intérêt et sont remboursables par 1250 francs.

On demande de déterminer :

r A quelle annuité répond l'obligation de 1000 francs? — Réponse : 20 annuitées de 92 francs, chacune.

S** Quelle somme annuelle sera nécessaire pour le service des obligations? — Réponse : 92000 francs.

3<> Faire le tableau d'amortissemeuL — Réponse ;

Report. . 401 oblig.

ire année.

ge -

lOe -

A reporter.

as oblig.

oblig.

lie année

Total

1000 oblig.

4"" Combien vaut» argent comptant^ cett(^ obligation en escomptant les annuités à raison de {T p. c? — <- Réponse : 1146 francs.

Pour trouver les solutions précédentes, nous aurons recours aux équations rappelées ci-dessus; dabord l'équation (IX)

devient, en y faisant* = 80; t « 1280; n = 20 R' « (1,04)»

et la labje 4 p. c. donne pour solution numérique

Substituant ces valeurs daqs l'équation (X)

ce SX . ■ i .

elle devient

Nous avons admis 92 francs dans la réponse 1"" du pro bième.

L'équation (XI)

devient ici, en faisant attention que N = 1000 a = 91,98 X 1000 =«= 91980.

IflTÈRÊT DE L*A1IGBNT. 135

Nous avoAs arroAdi lé chiffre daàs la réponse 9% et inscrit 92000 francs.

Pour former le tableau d'amortissement, nous avons besoin de connaflre, d'abord» combien il tiut amortir d'obligations la première année, c'est à quoi est destinée l'équation (XII)

qui devient ici

C'est-à-dire, qu'il faudrait amortir la première année 55 obligations et six dixièmes; nous avons mis 35 dans le tableau d'amortissement.

Pour compléter ce tableau, il suffit de prendre les 20 premiers nombres de la valeur de R au 4 p. c. et de multiplier ces chiffres par 55,6, ce qui donnera le tableau inscrit ci-dessus, en ayant soin toutefois d'arrondir les chiffres.

Pour satisfaire à la quatrième question, qui demande ce que vaut cette obligation argent comptant, lorsqu'on escompte les annuités qui la représentent au taux de 5 p. c, il suffit d'un simple problème d'annuités qui trouve sa solution par les équations (IV et VII)

dans lesquelles on fera a = 92, r = 0,05, n— 20 ;

134 INTÉBÉT DE L* ARGENT.

d'où R = 2,6555 ; substituant ces valeurs dans la seconde équation, elle devient

de laquelle on tire

64* problème.

Une société veut émettre des obligations de 1000 francs rapportant 40 francs d'intérêt, mais remboursables par 2000 francs chacune. On demande quelle sera la durée du remboursement, en admettant que le service des obligations soit porté h 60 francs par titre? — Réponse : 82 ans.

Pour résoudre ce problème, il nous suffit de faire usage des formules (IX et X)

Dans lesquelles nous ferons t = 40; t — 2000; a = 50, la première deviendra

d'où l'on tirera

ce qui étant substitué à R' dans la seconde équation, on trouve

Cherchant dans la table 2 p. c, on trouve n « 82 ans, pour la réponse cherchée.

Ainsi, faisant un emprunt sur lequel on payerait 4 p.c. (40 francs pour 1000 font 4 p. c.) et que Ton rembourserait par un capital double (2000 francs pour 1000), il ne faudrait, pour remplir ces conditions, que 82 annuités de 50 francs chacune.

Si Ton veut connaître ce que valent comptant les 82 annuités de 80 francs à raison de S p. c. d'escompte, c'est un simple calcul d'annuités qui se résout au moyen de réquation (VII). La somme que l'on trouverait serait la valeur de l'obligation que nous considérons dans le problème précédent, puisque cette obligation se traduit par 82 annuités de 50 francs chacune. Ce calcul va faire le sujet du problème suivant.

65' problème.

Que vaut, argent comptant, une obligation de 1000 fr. rapportant 80 francs d'intérêt remboursable par 2000 fr. en 82 tirages annuels, en comptant l'escompte des annuités à raison de 5 p. c? — Réponse : 982 francs.

Pour résoudre cette question, on fera usage des formules (IV et VII),

i» INTÉlUtT DE L'ARG£lfT.

dans lesquelles r — 0,0»; n « 82; a = 80 subsUtuant ces données, les équations deviennent

La premih*e trouve sa solution sans calcul au moyen de la table des valeurs de R à 5 p. c; on trouve au nombre 82 ans R — 84,6418.

Mettant cette valeur de R dans la seconde équation, elle devient

de laquelle on déduit

Ainsi cette obligation, malgré ses avantages apparents, ne vaut cependant que 982 francs si l'on veut obtenir 8 p. c. de son argent.

Évaluation de la valeur des obligations.

On voit sans peine que Ton peut se poser et résoudre une multitude de problèmes; mais parmi toutes ces questions, il en est un genre qui intéresse tout particulièrement les actionnaires, c*est de pouvoir estimer ce que vaul, argent comptant, une obligation dont les conditions soat connues. C*est ce qui va faire le sujet de nos recherches dans la fin de ce chapitre.

Pour résoudre ce problème, il suffit d'avoir recours aux équations

IMTÉBÉT DE l'aRCBIIT. |37

R'=*(i+7)" (IX)