CHAPITRE IL COMPTES D'INTÉRÊTS
Dans les maisons de banque, on ti^nt compte 4e$ intérêts de toutes sommes reçues ou payées ; or Ton conçoit que s'il fallait calculer les intérêts sur chaque poste, ce serait un travail long et fastidieux; on a donc cherché à simplifier la besogne et Ton y est parvenu par remploi de ce que Ton appelle les nombres.
La formule :
365I = Crj / , . . , (II)
va nous servir à expliquer ce que l'on appelle les nombres et leur mécanisme.
Supposons que Ton ait plusieurs postes à calculer au même intérêt r, et désignons par I'; T; \" ;.... lés intérêts à porter en comptis; 4>n ies trouvera au moyea de la relation (il) :
20 INTÉUÉT DE l'aRGENT.
en ajoulant ces diverses relations, on trouvera :
365(1' -fr'+r+,..} = r (C7 + CT+CT'+ ...)
or C'/; 01' f\ C" f .... sont les nombres résultant de la mulliplicalion des capitaux par les jours portant intérêt; c*est ce que les teneurs de livres appellent par abré viation les nombres.
Faisons :
c'^est-à-dire quen représentera la somme des nombres, et Ton aura
'■+■■•+'"+■■• -is
C'est-à-dire que la somme des intérêts 'peut s' obtenir far une seule opération, en multipliant la somme des nombres par Vintérét r et divisant le produit par 368.
C'est la règle fondamentale.
Supposons que l'on agisse d'abord sur les postes du
débit, on obtiendra la somme due pour intérêts par le
m correspondant ^^r^.
Si l'on fait la même opération pour les postes
inscrits au crédit, et que l'on désigne par n'
cette somme des nombres du crédit, on aura
m' pour intérêts dus au correspondant , . . . •— .
Soustrayant la seconde somme de la première, on aura le rcjiquat des intérêts de tout le compte, reliquat que nous désignerons par la lettre I, et il viendra
•XfiK 5CK KÛK V /
et si nous nommons N la différence n — n' des nombres du débit et du crédit, on aura la relation très-simple
fN
Cest-à-dire qu'il suffira de faire une' seule opération dMntérét, quelque nombreux que soient les postes du débit et du crédit.
Pour cela on calculera la sommé des nombi^es, tant pour le crédit que pour le débit, on en fera la différence^ sur laquelle il suffira de calculer les intérêts.
Cette manière d'opérer est évidemment très-abrégée.
Prenons un exemple.
^ 9" problème.
Calculer par les nombres Tintérêt à 6 p. e« du compte suivant, arrêté au 31 décembre.
Doit.
Monsieur A.
Avoir.
Janvier 40 n/payement. 4000
Février 2 s/versement. 15000
Mai 21 — 1500
Septembre 3 -- 1200
Août 9 — 1800
Décembre 10 — 1000
Il9TÊRÉ1r AE L*Alt6ÊNT..
On aura pour te crédit :
C*piUl. lottn dlntérflt. NonUbi-èft.
Somme du crédit. 5 810 000
Pour le débit :
CapHar. Jours d'iÉtéf«t. Nombre^.
Somme du débit. 1 919 800
et par conséquent :
Nombres du crédit 5810000
Nombres du débit . 1919800
Différence en faveur du crédit.
Il sttfi&ra de multiplier celte différence par -^^ pour
avoir les iniéréfs (jui sont ici en faveur du crédit du compte. Faisant ce calcul t
on trouve que le^ intérêts balancent en faveur du crédit par une somme de fr. 639,48.
On pourra donc établir le compte de la manière suivante :
Solde des capitaux, crédit 10800 »
Solde des intérêts, crédit 639,48
Solde créditeur, valeur 51 décembre
Si Ton Toot vérifier ce rësulCM en ci»pt«i( rimérét poar chaque poste a« noyeii de la fomaule ( II) :
On trouvera :
Intérêts des sommes do crédit.
45000 francs intérêts, 332 jours fir. Si 8,63
Intérêts du crédit. . . fr. 955,06
A déduire intérêts dtt débit.
4006 friflos intérftU, Z9» joun, 8»it . . fr. 23^43
Intérêts du débit . . . fr fr. 345,58
Solde en flsiYeiir du créait. . . . fr. 639,48
Somme pareille à celle que nous avons trouvée par les nombres, d*une manière plus expéditive.
Cette méthode des nombres est très-générale, car elle peut s'appliquer aux comptes courants» quelque nombreux que soient les postes inscrits au débit et au crédit.
Ott peut aussi varier te taux de l'intérêt*
Eofin on peot choisir à son gré l'époque de efèture des comptes.
Dans Texemplequi précède, nous avons choisi le 31 décembre, nous eussions pu prendre indifféremment loute autre époque.
Il arrive parfois que l*on a besoin de clôturer un compte à une époque différente de celle que Ton a choisie pour calculer les nombres. Cela n*exige pas de recommencer le calcul, comme nous allons le montrer dans Texemple suivant.
10* problème.
Quel est le solde du compte précédent, arrêté au 1 1 décembre? — Réponse : fr. H 405,98.
Du il au 31 décembre, époque de clôture, il y a 20 jours d'intérêt à escompter de ceux que nous avons trouvés^ nous dirons donc :
Solde des capitaux fr. iO 800 »
Intérêts sur le solde jusqu'au 31 décembre 639,48
Valeur au 3i décembre 41439,48
à déduire.
20 jours d'intérêt sur le solde de 10,800 francs, soit par
la formule I = ^ 35,50
Valeur au 11 décembre fr. 11403,98
II est essentiel de faire remarquer que nous n'avons déduit l'escompte que sur le solde des capitaux de 10 800 francs, non compris les intérêtSt
INTÉRÊT DE l' ARGENT. 25
La note (1) sert à démontrer la légitimité de cette opération.
Il est donc facile d'arrêter un compte d'intérêt à une époque quelconque de Tannée, tout en prenant le 31 décembre pour époque générale du calcul des nombres.
On pouvait aussi se dispenser de calculer valeur SI décembre; il suffisait pour cela de déduire des nombres
(i) Admettons que l'on ait calculé les intérêts I pour une époque quelconque, et que l'on veuille en déduire les intérêts V pour une autre époque antérieure d'un nombre J de jours.
Commençons par indiquer les calculs qii'il faudrait faire dans ces deux hypothèses, en cherchant les valeurs de I et de T.
On aurait :
La seconde de ces deux équations se subdivise en deux parties :
— rJ (C -f. C" -4- C" + ;....)
La première partie n'est autre chose que la valeur de I, et dans la seconde partie, la quantité entre parenthèses est le solde des capitaux ; nous nommerons S cette quantité :
et cette seconde équation deviendra :
ce qui légitime la manière d'opérer que nous avons indiquée dans le texte.
» UrrftRÉT »B L*AfiGfiNT.
inscrits au compte ceux relatjfâ à Teseonopte du solde. Voici le détail du calcul :
Nombres au 31 décembre 3890S00
A déduire 10800 francs à 20 jours d'escompte 216000
Solde des nombres au 21 décembre 3674200
d*où intérêts en faveur du crédit 5674200 X 0,06
lesquels ajoutés au solde ...... 10800 »
font un solde valeur 21 décembre ... 1 1 403,98 pareil à celui que nous avons trouvé ci-dessus.
On voit qu*au moyen des nombres il suffit toujours d'une seule opération par compte courant, alors même qu'il devrait être arrêté à une époque différente de celle qui a servi à calculer les nombres.
Quelques comptables prennent le 1^' janvier écoulé pour époque de clôture, au lieu du 31 décembre à venir, e'est-à^ire qu'ils réduisent par 1^ nombres toutes les sommes à ce qu'elles eussent valu si elles avaient été versées au 1®' janvier.
Cette manière de procéder est ce que les comptables appellent la nouvelle méthode.
Voici comment s'établirait le compte précédent d'après cette soi-disant nouvelle méthode.
urrtRÉT iB L'ARGitrr.
!!• problème.
Calculer par les nombres l'intérél à 6 p. c. du compte précédent arréié au premier janvier de Tannée courante*
Puisque le premier payement de 4000 francs ne se fait que le 10 janvier , et que l'époque choisie est le premier« il y aura iO jours d'intérêt à déduire, ou plutôt dix jours d'escompte, à porter au crédit du compte.
Faisant le même raisonnement pour chacun dés autres postes, on verra que les nombres relatifs aux postes du débit doivent se porter au crédit, et réciproquement ceux du crédit se porter au débit.
Il est d'ailleurs naturel qu'il en soit ainsi, puisque répoque choisie étant antérieure à tous les versements, c'est un escompte plutôt qu'un intérêt.
H est à remarquer que de cette manière on compte les jours écoulés depuis le premier de l'an compris, au lieu d'estimer le nombre de jours qui restent à courir dans Tannée.
Établissons le compte précédent d'après ce système :
Crédit.
Débit.
Capiuux. Jours d'escompte.
Nombres.
£8piuax. Joars d 'escompte.
Nombres.
1000 X 344 = Nombres du débit à por-
ïtombres du crédit à por-
ter au débit . . . .
ter au crédit. . . .
Solde des nombres en faveur du débit, 51 800.
28 INTÉRÊT DE l' ARGENT.
Comme on n'a pas besoin de solder les comptes d'intérêt à une époque passée, ce nombre ne sert qu'à trouver le solde à une époque future.
Admettons que nous désirions connaître le solde au 31 décembre, nous aurons pour ce solde :
10 800 X 365 jours, soit en faveur du crédit. . Nombres 3 943000 dont il faut déduire nombres ci-dessus en faveur du débit. . 51 800
R£ste nombres en faveur du crédit. . . . 3890300
Précisément le même nombre que nous avons trouvé directement, duquel nous déduirons comme ci-dessus que l'intérêt à 6 p. c. se monte, au 51 décembre, à fr. 639,48 qui, ajoutés aux 10 800 francs en principal, fontfr. H 439,48. '
Veut-on arrêter le compte au 11 décembre, on aura :
Au crédit des nombres 10800 x 345 = 3736000
Au débit des -- = 51800
Reste au crédit des nombres = 3 674300
d'où nous déduirions que le solde valeur 4i décembre se compose en
principal i0800 »
en intérêts 603,98
Capital et intérêts valeur ii décembre. . il 403,98
Précisément comme nous l'avons trouvé par la première méthode qui a pour elle le mérite de la clarté, sans augmenter la longueur des calculs.
INTÉRÊT DB l'aRGENT. 29
Les calculs précédents donnent les intérêts exactement; mais dans la vue d'abréger les calculs, on est assez dans Thabitude de remplacer dans la formule :
le diviseur 368 par 360, ce qui revient à regarder l'année composée de 360 jours au lieu de 368.
Il est évident qu'il doit résulter une certaine inexactitude de ce changement; on peut aisément s'en rendre compte par le compte courant qui nous sert d'exemple.
Nous n'avons qu'à multiplier le nombre 3890200
0,06 ^ 0,06 successivement par —— - et par-——, on trouvera : 365 360
Dans le premier cas (valeur exacte) . . fr. 639,48 Dans le second (valeur approximative) . . 648,36
Différence. . . fr. 8,88
Quoique cette différence ne soit pas une somme tout à fait à négliger, cependant dans la pratique des affaires on la tolère en considération de la rapidité des calculs qui en est la suite, comme nous allons le faire voir.
Admettons donc la formule :
N Étant la différence des nombres;
r Le taux de l'intérêt;
I L'intérêt du compte courant.
30 INTÊKÊT DE L* ARGENT.
Sirivant que Ton veut compter l'intérêt à 5, 4, K ou 6 p. c, on fera : r = 0,03; r = 0,04; r = 0,05; r = 0,06, etc.
Si Ton substitue ces nombres pour r dans la formule précédente, et que Ton fasse les réductions numériques, on trouvera les expressions suivantes pour :
Ainsi, lorsqu'on vent connaître l'intérêt à raison de 1 p. c. par an, il suffit de diviser la différence des nombres N par 36 000 ; le même nombre N divisé par 7S00, donnerait l'intérêt à K p. c. ; on trouverait l'intérêt du compte à raison de 6 p. c. en divisant le même nombre N par 6000.
Ces quantités 36000; 18000; 6000, ete.^ par lesquelles il faut diviser les soaibjres N pour ^ déduire
INTÉBÊT DB L'ARGeilt. 31
rintëréi ii 1, à 3, à 6 p. c, etc., s'appellent, en terme de comptabilité, les diviseurs.
Représentons ces diviseurs par la lettre D, nous aurons :
ï = ïï (•»)•
Cest ainsi que Ton est conduit à cette règle excessivement simple :
Pour avoir Vintérét d'un compte courant il suffit de diviser le reliquat des nombres N par le diviseur D, et suivant que l'on fera :
D =^ 36 000 on aura l'intérêt à 4 p. c. par an. D = 18000 — 2 —
On remarquera que les diviseurs sont terminés tous par des zéros ; cette circonstance a été mise à profit pour abréger encore les calculs.
Au lieu de prendre les postes C tout entiers pour les multiplier par le nombre de jours pendant lesquels court l'intérêt, on se contente d'en prendre les milliers de francs et de supprimer trois zéros dans les diviseurs, qui deviennent alors fort simples, savoir :
Diviseur. D = 36 répond à 1 p. c. d'intérêt.
A la condition toutefois de ne prendre que les miliiens de francs des capitaux payés ou reçus.
Au moyen de ces observations, les comptes d'intérêt peuvent se faire avec une grande rapidité.
Reprenons l'exemple ci-dessus, que nous calculerons au moyen des abréviations que nous venons d'indiquer.
12* problème.
Trouver les soldes du compte ci-dessus arrêté au 51 décembre, en comptant les intérêts successivement à 4, S et 6 p. c.
On commence par calculer les nombres, en ne comptant que les milliers de francs, et Ton trouvera :
