CHAPITRE IV

Sous ce titre, nous réunirons non-seulement les travaux relatifs à la théorie des probabilités proprement dite, mais aussi tous ceux relatifs aux théories connexes, telles que l'intégration des équations aux différences finies, l'approximation des fonctions de grands nombres, etc.

Le premier mémoire de Laplace sur ces sujets, et peutêtre le premier de tous ses travaux imprimés, se trouve dans les Mélanges de la Société royale de Turin (tome IV, pour 1766-1769) ; il est intitulé Recherches sur le calcul intégral aux différences infiniment petites et aux différences finies, et l'auteur dit l'avoir écrit au mois de mars 1 771 . Il semble que ce soit l'un des nombreux mémoires qu'il avait présentés à l'Académie de Paris, bien avant d'y être admis. C'est une contribution aux recherches de Lagrange, de d'Alembert et de Condorcet sur la façon d'intégrer les équations linéaires aux différences finies ou infiniment petites, lorsqu'on sait déjà résoudre le même problème quand elles sont réduites à la forme homogène : ce n'est que quelques années plus tard que Lagrange devait donner la solution définitive de cette question qui occupait beaucoup les géomètres d'alors.

Laplace avait attiré l'attention de Condorcet sur les principaux résultats de son travail dans une lettre du 3 décem-

bre 1771 ; il les reproduit à la fin de son Mémoire sur les suites récurro-récurrentes et sur leurs usages dans la théorie des hasards (M. A, S. P., savants étrangers, VI, 1774), le premier de tous ceux publiés sous son nom dans les recueils académiques de Paris : nous le retrouverons bientôt plus développé.

Le Mémoire sur la prohabilité des causes par les événements (M. A. S. P., Savants étrangers, VI, 1774) est d'un intérêt extrême, car on y trouve déjà un grand nombre des idées auxquelles Laplace restera par la suite constamment attaché. Il se propose [de déterminer la probabilité des causes par les événements, matière neuve à bien des égards, et qui mérite d'autant plus d'être cultivée que c'est principalement sous ce point de vue que la science des hasards peut être utile dans la vie civile.] Après avoir rappelé que [la théorie des hasards est une des parties les plus curieuses et les plus délicates de l'analyse, par la finesse des combinaisons qu'elle exige et par la difficulté de les soumettre au calcul], il déclare que [l'mcertitude des connaissances humaines porte sur les événements ou sur les causes des événements] ; les problèmes qui dépendent de la théorie des hasards se ramènent donc à deux classes, suivant que la cause est connue ou inconnue, l'événement étant lui-même inconnu ou connu. Laplace énonce alors pour la première fois d'une façon précise et définitive la règle déjà entrevue par Bayes en 1 763, et connue généralement sous ce nom, principe d'une fécondité admirable, qui, suivant l'expression de Gouraud, « rendit dès lors possible au Calcul des probabilités cette conquête du monde social et politique que Bernoulli mourant lui avait si hardiment promise. »

Il faut rappeler cette règle : Si un événement peut être produit par un certain nombre de causes C. différentes

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ayant chacune une probabilité propre a priori -„, et si de plus la probabilité de l'événement prise de la cause Q, est pn. les probabilités de l'existence de ces causes, prises de l'événement, sont entre elles comme les produits p„ —„. On peut ainsi apprécier l'influence sur les événements futurs des événements passés, qui, en se développant, nous découvrent les causes qui les ont produits. Mais les résultats dépendent des probabilités a priori t:„, dont la juste appréciation est difficile, et souvent impossible : c'est ce qui rend SI précaires tant d'applications du calcul des probabilités à des problèmes mal posés, et en réalité insolubles.

Par exemple, Laplace résout ici le problème suivant : une urne renferme une infinité de billets blancs et noirs, dans un rapport inconnu ; on en tire p 4 g billets, dont p blancs et q noirs ; on demande la probabilité qu'en tirant un nouveau billet de cette urne, il sera blanc.

Si l'on regarde comme également probables toutes les valeurs comprises entre 0 et 1 du rapport x du nombre des billets blancs contenus dans l'urne au nombre total des

billets, on a sans peine — ; ; — ?: pour la probabilité cher-

chée. Faut-il en conclure avec Gïndorcet et Laplace luimême, en un passage de l'Introduction à la Théorie analytique, qu'il y a p + 1 contre un à parier que le soleil se lèvera demain, si l'on sait qu'il s'est levé p jours de suite sans manquer ? Cette idée soulève l'indignation de J. Bertrand, et en effet, l'assimilation au problème précédent est inadmissible : on ne peut supposer ici que toutes les valeurs de X sont également probables. C'est ce que dit d'ailleurs Laplace, mais trop timidement : [Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui, connaissant par l'ensemble des phénomènes, le princip^e régulateur des jours

et des saisons, voit que rien, dans le moment actuel, ne peut en arrêter le cours.] Il serait facile au surplus d'opposer à la solution précédente une autre théorie fondée sur les mêmes principes avec aussi peu de raison, celle de la probabilité des témoignages ; car si p est grand, on ne peut être assuré que le soleil s'est toujours levé que d'après des témoignages, et la dégradation de la probabilité du fait devient alors considérable.

Reprenant le problème précédent, Laplace démontre que si les nombres p et q sont suffisamment grands, la probabilité que le rapport x défini ci-dessus est compris entre

les deux limites — ■ — • + (o, approche autant qu'on le veut

de la certitude, (o étant infiniment petit ; et il donne même, sous certaines conditions pour (o, une expression approchée de l'erreur que l'on commet en supposant cette probabilité égale à l'unité : c'est l'inversion du célèbre théorème de Jacques Bernoulli. Laplace qualifie sa démonstration d'assez singulière, et l'on peut y trouver le germe de sa théorie de l'approximation des formules qui dépendent de très grands nombres, en particulier une première détermination peu simple de l'intégrale de la fonction e—^'dt, prise entre des limites infinies. (Ici, comme dans la suite, e désigne la base des logarithmes naturels).

Laplace applique encore son principe à la résolution du fameux problème des partis, lorsque les adresses respectives des joueurs sont inconnues, mais que l'on sait combien de fois a déjà gagné chacun d'eux. Rappelons quel est ce problème, proposé sous sa forme la plus simple en 1654 par le chevalier de Méré à Pascal, puis par celui-ci à Fermât, et dont l'étude par ces deux illustres géomètres est l'origine du calcul des probabilités : deux joueurs, dont les adresses sont

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égales, ont mis au jeu la même somme, et doivent jouer jusqu'à ce que l'un d'eux ait gagné un nombre de fois donné n son adversaire ; mais ils conviennent de quitter le jeu alors qu'ils n'ont encore gagné respectivement que n — a: et n — x' parties ; on demande de quelle manière ils doivent partager la somme mise au jeu.

Laplace montre encore comment on peut appliquer les mêmes principes à la détermination du milieu qu'on doit adopter entre plusieurs observations données d'un même phénomène. En possession de sa méthode depuis déjà quelque temps, il se décide à la publier parce qu'il a appris que D. BernouUi et Lagrange viennent de s'occuper du même problème, et qu'il est [persuadé que les différentes manières dont on peut l'envisager produiront une méthode moins hypothétique et plus sûre.]

Le procédé proposé ici par Laplace est pratiquement sans usage, il le reconnaît lui-même ; mais dès maintenant, il énonce les principes sur lesquels il ne cessera de s'appuyer quand il reviendra plus tard sur la question : il faut les indiquer en quelques mots.

Si la fonction positive cc(x) définit la loi de facilité ou de probabilité d'une erreur x dans une observation, c'est-àdire si o(x) dx est la probabilité que l'erreur est comprise entre a: et x -h dx, envisageons la courbe d'équation y = o{x), ou courbe de probabilité des erreurs, rapportée à deux axes rectangulaires Ox, Oy : cette courbe doit être symétrique par rapport à Oy, admettre Ox pour asymptote, et son aire entière est l'unité.

Supposons que l'on ait fait trois observations, a, h, c, par exemple, d'une variable x, que nous imaginerons être l'instant d'un phénomène, et que la vraie valeur soit x ; la probabilité pour qu'il en soit ainsi est proportionnelle

TRAVAUX SUR LA THéORIE DES PROBABILITES 103

à f(x) = '^ix — û) '^(a: — b) »(x — c). Considérons alors la courbe d'équation y = f(x) : par le milieu que l'on doit choisir entre plusieurs observations, on peut entendre deux choses : 1° l'instant tel qu'il soit également probable que le véritable instant du phénomène tombe avant ou après ; 2^ l'instant tel qu'en le prenant pour milieu, la somme des erreurs à craindre, prises en valeur absolue et multipliées par leurs probabilités respectives, soit un minimum.

Cette seconde conception revient à considérer toute erreur, positive ou négative, comme un désavantage ou une perte réelle à un jeu quelconque, et à rendre minima la valeur moyenne ou probable de ce désavantage.

Mais les deux instants ainsi déterminés ne sont pas différents en réalité, de sorte que la valeur de x à adopter est telle que l'ordonnée correspondante partage l'aire de la courbe y = J(x) en deux parties équivalentes. Revenant plus tard sur ce point, Laplace insiste pour affirmer que ce résultat est évidemment indiqué par la théorie des probabilités comme le plus avantageux; tandis que des géomètres célèbres (D. BernouUi, Euler, Gauss) ont pris pour le milieu qu'il faut choisir celui qui rend le résultat observé le plus probable, et par conséquent l'abscisse qui répond à la plus grande ordonnée de la courbe y = f{x).

Si l'on mesurait la perte à laquelle on assimile une erreur par le carré de cette erreur et non plus par sa valeur absolue, ainsi que l'a proposé Gauss beaucoup plus tard, il faudrait adopter pour x la valeur qui correspond au centre de gravité de l'aire totale de la courbe y = f{x).

Toutes ces façons de déterminer x se confondent quand

on adopte la loi si simple de Gauss, en prenant pour C5(x) la

.m fonction —7= e— ™"*" ; mais dans le mémoire actuel, Laplace

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admet pour cette fonction la forme -x e—™', quand les valeurs

de X sont positives. La valeur la plus avantageuse de x en résulte facilement, si l'on connaît la constante m, en se bornant comme ci-dessus au cas de trois observations ; mais si en outre on regarde m comme inconnue, et que l'on détermine d'abord les probabilités des diverses valeurs de m par la règle de Bayes, on tombe, dans ce cas simple, sur une équation du quinzième degré pour déterminer x : il n'y a donc pas lieu d'insister. Si, par exemple, on a a<ib et i = c, cette règle donne x = a-\- 0,860 (b — a), résultat [bien plus conforme aux probabilités, car on sent aisément que ce milieu doit être pris plus près des deux observations qui coïncident que ne le donne la méthode des milieux arithmétiques.] Et c'est sans doute parce que Laplace avait quelque répugnance à admettre cette méthode générale qu'il laisse échapper la loi de Gauss.

En terminant son mémoire, Laplace développe quelques considérations ingénieuses et nouvelles sur l'influence que doivent avoir sur les résultats du calcul des probabilités les inégalités inconnues qui peuvent exister entre des chances que l'on suppose parfaitement égales : c'est un sujet sur lequel il est revenu plusieurs fois, sans rien ajouter d'essentiel à ce qu'il dit ici. Supposons par exemple qu'au jeu de croix ou pile, il existe dans la pièce une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l'autre, sans qu'on connaisse la face ainsi favorisée. La chance d'amener croix

en un coup reste -:r- , mais celle d'amener croix deux fois de

suite se trouve augmentée. D'une façon générale, l'erreur inconnue, sans influence sur la probabilité des événements simples, modifie celle des événements composés, et l'ac-

croît toujours quand il s'agit d'événements composés de la répétition du même événement simple.

Après avoir traité encore quelques problèmes du même genre, Laplace conclut : [Cette aberration de la théorie ordinaire m'a paru digne de l'attention des géomètres, et il me semble que l'on ne peut trop y avoir égard, lorsqu'on applique le calcul des probabilités aux différents objets de la vie civile.]

En se rappelant ce que nous avons dit plus haut à propos du mémoire Sur le principe de la gravitation universelle et sur les inégalités séculaires des planètes qui en dépendent, on voit par l'analyse précédente que nous pouvons répéter que les premiers travaux de Laplace le classent immédiatement au premier rang parmi les géomètres ; de plus, toute son œuvre future y apparaît déjà : elle va se développer et s'épanouir, mais les principes en sont fixés dès le début, et se maintiendront invariables.

Les Recherches sur l' intégration des équations différentielles aux différences finies et sur leur usage dans la théorie des hasards (M. A. S. P., Savants étrangers, VII, 1773-76) sont le développement du mémoire sur les suites récurrorécurrentes, c'est-à-dire les séries récurrentes à deux indices. Comme le dit Laplace plus tard, [la méthode la plus générale et la plus directe pour résoudre les questions de probabilités consiste à les faire dépendre d'équations aux différences. En comparant les états successifs de la fonction qui exprime la probabilité lorsqu'on fait croître les variables de leurs différences respectives, la question proposée fournit souvent un rapport très simple entre ces états.] Si par exemple, nous revenons au problème des partis cité plus haut, avec les mêmes notations, on voit que l'enjeu doit être partagé entre les deux joueurs proportion-

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nellement à leurs probabilités respectives de gagner la partie ; si cette probabilité est t/x^. pour le premier joueur, on a évidemment

î'x.x' — -ô Vx—iy "+- 2 Vxjl' — i .

et tout revient à intégrer cette équation aux différences finies partielles, à deux indices.

Le présent mémoire est consacré à l'étude d'un assez grand nombre de telles équations, à un ou deux indices, et à des applications intéressantes : mais les méthodes sont peu simples, et seront remplacées plus tard par celles de la théorie des fonctions génératrices, infiniment supérieures.

Dès maintenant, Laplace expose sa conception déterministe de l'univers et ses idées sur la notion de probabilité telles qu'on les retrouve dans l'Introduction à la Théorie analytique, ainsi que nous l'avons vu précédemment. 11 définit aussi l'espérance mathématique et la notion fort discutable d'espérance morale proposée par D. Bernoulli ; il prodigue les éloges à son protecteur d'Alembert, qui [a fait sentir l'absurdité qu'il y aurait à se conduire, dans un grand nombre de circonstances, d'après les résultats du calcul des probabilités et par conséquent, la nécessité d'établir dans ces matières une distinction entre le mathématique et le moral ; cette partie des sciences lui devra donc l'avantage d'être appuyée dorénavant sur des principes clairs et d'être resserrée dans ses véritables bornes.] On peut affirmer qu'en réalité Laplace entendait seulement écarter les fausses interprétations des résultats du calcul des probabilités, et les faux raisonnements dans la façon d'obtenir ces résultats, et qu'il était loin de partager toutes les opinions de d'Alembert sur ce sujet.

II aborde encore bien d'autres points sur lesquels nous ne pouvons insister, et la phrase : [Mon dessein n'étant point ici de donner un traité complet sur la théorie des hasards], nous permet de penser que déjà il avait conçu le projet de son grand ouvrage, qui ne devait voir le jour qu'en 1812.

Arrivons au Mémoire sur l'inclinaison moyenne des orbites des comètes (M. A. S. P., Savants étrangers, VII, 1773-76). Laplace y rappelle d'abord que D. BernouUi a déjà montré qu'on ne pouvait attribuer au hasard le fait que les planètes et leurs satellites tournent tous dans le même sens, dans des orbites peu inclinées à l'écliptique. Quelle est la cause de ce fait ? a-t-elle été particulière à ces astres, ou bien a-t-elle influé sur le mouvement de tous ceux qui tournent autour du Soleil ? [La première de ces questions me semble fort difficile à résoudre, et j'avoue qu'après y avoir longtemps réfléchi, et après avoir examiné avec attention toutes les hypothèses imagmées jusqu'ici pour expliquer ce phénomène, je n'ai rien trouvé de satisfaisant] : il cherchait donc dès maintenant une hypothèse cosmogonique plausible !

Quant à la seconde question, il est facile d'y répondre, en cherchant l'inclinaison moyenne des orbites de toutes les comètes observées, et voyant combien elle s'éloigne de 45° ; en cherchant aussi le rapport du nombre des comètes directes à celui des rétrogrades, et voyant de combien il s'éloigne de l'unité. C'est ce qu'a fait du Séjour, et il a conclu avec raison qu'il n'existe aucune cause qui détermine les comètes à se mouvoir dans un sens plutôt que dans un autre, et à peu près dans le même plan. Pour donner plus de certitude à cette observation, Laplace va chercher la probabilité que l'inclinaison moyenne des comètes et le rapport du nombre des directes aux rétrogrades seront compris entre les limites données ; la solution de la seconde question

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est immédiate, mais le premier problème paraît être un des [plus compliqués de toute l'analyse des hasards] ; nous devons d'ailleurs faire observer que l'hypothèse de l'égale probabilité de toutes les inclinaisons, dont part ici Laplace, est inadmissible. La solution est extrêmement laborieuse ; plus tard il la simplifiera. On peut se faire une idée du résultat de la façon suivante, en profitant des recherches ultérieures, ainsi que nous le ferons dans tout ce chapitre. Soient p nombres pris au hasard parmi les suivants :

0, a, 2a, ... na ;

la probabilité que leur somme sera sx est le coefficient de t^ dans le développement de l'expression

ce coefficient est aisé à calculer. Faisant ensuite un simple passage à la limite, on trouve pour la probabilité que la somme de p nombres quelconques pris au hasard entre 0 et n soit comprise entre les limites 5^ et s, (s^ <C s^) l'expression :

'■^Va (^-r)-c2jiL 2)>

ni ** \ n / " \ n

en ne prenant que les termes où la quantité élevée à la puissance p est positive ; dans cette formule, la notation p ! représente le produit des p premiers nombres entiers, et Cp désigne le coefficient de x'f dans le développement de (i + .r)p.

La formule ici obtenue par Laplace est analogue, mais moins générale et d'une forme un peu différente. Pour l'appliquer à la nature, il faudrait faire p = 63, [nombre des comètes dont on a présentement calculé les orbites ; mais ce calcul serait pénible à cause de sa longueur ; ainsi l'abandonnant à ceux qui désireront de l'entreprendre], Laplace se contente de la considération des douze dernières comètes observées ; il n'est donc pas encore en possession de méthodes d'approximation pour les formules qui dépendent de grands nombres, mais, sans doute, il y pense déjà.

Dans le Mémoire sur les probabilités (M. A. S. P., 1778- 81), Laplace reprend d'une manière plus approfondie les problèmes qu'il a déjà examinés ; il va traiter deux points : [le premier a pour objet de calculer la probabilité des événements composés d'événements simples dont on ignore les possibilités respectives ; l'objet du second est l'influence des événements passés sur la probabilité des événements futurs, et la loi suivant laquelle, en se développant, ils nous font connaître les causes qui les ont produits. Ces deux objets, qui ont beaucoup d'analogie entre eux, tiennent à une métaphysique très délicate, et la solution des problèmes qui leur sont relatifs exige des artifices nouveaux d'analyse ; ils forment une nouvelle branche de la théorie des probabilités, dont l'usage est indispensable lorsqu'on veut appliquer cette théorie à la vie civile... La principale difficulté que l'on rencontre dans ces recherches tient à l'iî' tégration de certaines fonctions différentielles qui ont pour facteurs des quantités élevées à de très grandes puissances, et dont il faut avoir les intégrales approchées par des suites convergentes.] C'est donc à ce mémoire qu'il faut faire remonter la méthode d'approximation des formules dépen-

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dant de très grands nombres, qui constitue l'une des plus belles découvertes de Laplace.

Ce mémoire est d'une lecture difficile ; on y rencontre bien des obscurités, des points discutables et même des inexactitudes. Parmi les nouveaux sujets traités, on peut signaler les suivants,

Laplace donne une règle générale peu simple pour calculer la valeur moyenne ou probable d'une fonction d'un nombre quelconque de variables positives dont la somme est donnée, ainsi que la loi de possibilité ; et c'est ainsi qu'il trouve la formule donnée plus haut à propos de l'inclinaison moyenne des orbites des comètes. Il résout aussi par la même méthode le problème suivant : on a j& + 1 nombres assujettis aux conditions vq^ yx^yi^ Vs— ^ !/p ^ 0. et dont la somme est s ; on demande la valeur moyenne de i/q, c'est-à-dire le quotient des deux Intégrales d'éléments différentiels respectifs t/q dy\ dyi... et dy\ dyi--, étendues au domaine des valeurs y\, yi, ... i/p vérifiant les conditions données. On trouve aisément la valeur cherchée

égale a — -— r — — 7 + ... + — i -— ; , et I on en

déduit par un passage à la limite convenable, que la loi de probabilité d'une erreur x, inférieure en valeur absolue à a,

doit être prise égale à rr- log — r (le logarithme étant népéla X

rien), si l'on ne sait rien d'autre sur cette loi, que la facilité de X diminue quand sa valeur absolue x' augmente.

Ce résultat, inadmissible en vérité, ne permet pas d'accepter sans défiance quelques-unes des conclusions de Laplace, tirées de considérations analogues ; lui-même convient seulement que les difficultés mé\ itables de l'ana-

lyse rendront d'un très difficile usage la méthode fondée sur cette loi, qui pourra cependant être employée dans des occasions très délicates, lorsqu'il est nécessaire d'obtenir la plus grande précision.

Au livre II de la Théorie analytique, Laplace applique la solution du problème précédent à une question toute différente, relative aux choix des assemblées : [Supposons qu'un effet observé n'ait pu être produit que par l'une des p + I causes. A, B, C, ..., et qu'une personne, après avoir apprécié leurs probabilités respectives, écrive sur un billet les lettres qui indiquent ces causes, dans l'ordre des probabilités (décroissantes) qu'elle leur attribue. On aura, par la formule précédente, la valeur moyenne des probabilités qu'elle peut supposer à chacune des causes, en faisant s = 1 ... De là, il suit que si un tribunal est appelé à décider sur cet objet, et que chaque membre exprime son opinion par un billet semblable au précédent, alors, en écrivant sur chaque billet, à côté des lettres qui indiquent les causes, les valeurs moyennes qui répondent au rang qu'elles occupent sur le billet, en faisant ensuite une somme de toutes les valeurs qui correspondent à chaque cause sur les divers billets, la cause à laquelle répondra la plus grande somme sera celle que le tribunal jugera la plus probable.]

Il faut plaindre les secrétaires qui auraient à dépouiller de tels scrutins ! Comme nous l'avons déjà dit à la fiin du Chapitre II, [cette règle n'est point applicable au choix des assemblées électorales, parce que les électeurs ne sont point astreints, comme les juges, à répartir une même somme prise pour unité sur les divers partis entre lesquels ils doivent se déterminer ; ils peuvent supposer à chaque candidat toutes les nuances de mérite comprises entre le mérite nul et le maximum de mérite, a ; l'ordre des noms

112 l'œuvre scientifique de laplace

sur chaque billet ne fait qu'Indiquer que l'électeur préfère le premier au second, le second au troisième, etc.]

Les nombres yo, y\, ... y^ sont donc ici assujettis aux seules conditions a ^ vq ^ y\ ^ t/2 ^ — ^ î/p ^ 0,

et la valeur moyenne de i/q est alors a ; — =— ; [de là il

suit que l'on peut écrire sur le billet de chaque électeur p à côté du premier nom, p — là côté du second, p — 2 à côté du troisième, ... En réunissant ensuite tous les nombres relatifs à chaque candidat sur les divers billets, celui des candidats qui aura la plus grande somme doit être présumé le candidat qui, aux yeux de l'assemblée électorale, a le plus grand mérite, et doit par conséquent être choisi. 1

Ce mode d'élection, déjà discuté antérieurement par Borda et Condorcet. avait été adopté effectivement pour l'Institut et le Bureau des Longitudes à leur création ; mais nous avons rapporté précédemment comment il fut vite abandonné, pour des raisons dont l'analyse échappe au calcul des probabilités.

Mais revenons au Mémoire sur les probabilités. Laplace reprend le problème de l'urne, dont nous avons parlé plus haut, en appliquant son énoncé à une question qui avait déjà excité l'attention d'Arbuthnot et de Nicolas Bernoulii, celle du rapport entre les naissances des garçons et celles des filles. Dans la quasi-constance de ce rapport, Arbuthnot voyait une preuve dr la Providence divine, que n acceptait pas BernouUi

Sur p -{- q enfants, il est ne p garçons et q hlles , soit x la possibilité de naissance d'un garçon, et regardons comme également probables a priori toutes les valeurs de x entre 0 et 1 ; la probabilité P que la valeur de x soit comprise entre deux limites données a ei h (a<i b) est le quotient des deux

valeurs de l'intégrale de la fonction a:p (1 — x)" dx, prise d'abord entre les limites a et b, puis entre 0 et 1 . Or, comme les nombres p et </ sbnt « furieusement grands », pour parler comme N. Bernoulli, on voit comment se pose nécessairement la question du calcul des fonctions de très grands nombres, afin [d'avoir la solution numérique d'un grand nombre de problèmes intéressants, dont la solution analytique est d'ailleurs assez simple.] C'est ainsi que s'exprime Laplace dans la lettre à Lagrange du 1 0 février 1 783, où il annonce encore que ses recherches sur ce sujet [servent de base à un ouvrage auquel il travaille, sur la théorie des hasards, et qu'il les croit dignes d'attention, du moins s'il en juge par la peine qu'elles lui ont coûtée.]

Le principe de la méthode de Laplace pour résoudre la question ainsi posée est cependant d'une extrême simplicité ; mais lui-même fait remarquer qu'il en est presque toujours ainsi. On peut le présenter très brièvement de la façon suivante, dans le cas le plus simple et le plus usuel.

Soit J une intégrale définie réelle portant sur l'élément différentiel tpzdx, y étant une fonction positive, et l'exposant p très grand positif ; nous supposons de plus que y et r ne dépendent pas de p. Pour une valeur c de x, comprise entre les limites a et è de l'intégrale, la fonction y passe par un maximum ordinaire Y, tandis qu'elle est constamment croissante avant, décroissante après.

On peut alors faire le changement de variable défini par la relation

t/ = Ye-t^

les nouvelles limites de l'intégrale sont t^ et /,, et l'on a si l'on veut, /, < 0 < f.,.